2024-2025学年北师大版七年级数学上册专项复习：有理数及其运算（原卷版）

清单02有理数及其运算（22个考点梳理+题型解读+提升训练）

有

理

数

及

其

运T交换律）

算T运算律I一-1结合律I

，分类律

有理数的运算一T加减

|w|j-|薪

q乘方

T科学记数法，有效数拈近似数|

【清单01】正数和负数

（1）概念

正数：大于。的数叫做正数。

负数：在正数前面加上负号“一”的数叫做负数。

注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。

（不是带“一”号的数都是负数，而是在正数前加“一”的数。）

（2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。

【清单02】有理数

（1）概念

整数：正整数、0、负整数统称为整数。

分数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）

注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称

为非正整数。

(2)分类：两种

⑴按正、负性质分类:⑵按整数、分数分类:

「正有理数正整数正整数

有理数正分数整数40

l-t-J

李有理数负整数

,负有理数「负整数分数「正分数

负分数负分数

【清单03】数轴

(1)概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

三要素：原点、正方向、单位长度

(2)对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。

「比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

(3)应用j求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。

(注意不带“+”“一”号)

【清单04】相反数

(1)概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。(0的相反数是0)

几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。

(2)性质：若a与b互为相反数，贝！］a+b=0,即a=-b；反之，

若a+b=0,则a与b互为相反数。

「两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。

(3)多重符号的化简-

-多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数

(注意：当“一”号的个数是偶数个时，结果取正号当“一”号的个数是奇数个时，结果取负号)

【清单05】绝对值

(1)几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。

厂个正数的绝对值是它的本身(若|a|=|b|,贝1J2=1)或&=-1))

(2)代数意义j一个负数的绝对值是它的相反数

0的绝对值是0

(3)代数符号意义：

-a>0,|a|=a反之，|a|=a,则a20,|a|=-a,则a=0|

-a=0,|a|=0

_a<0,|a|=-a

注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。

(4)性质：绝对值是a(a>0)的数有2个，他们互为相反数。即土a。

(5)非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即间\0。几个非负数之和等于0,则每个非负数都等

于0。故若|a|+|b|=0,则a=0,b=0

1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

(6)比较大小

L2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。

两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。

【清单07】加法法则

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0o

⑶一个数同0相加，仍得这个数。

【清单08】加法运算定律

(1)加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a

(2)加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。

即a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)

【清单09】减法法则

减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a—b=a+(-)b

【清单10】乘法法则

(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

(2)任何数同0相乘，都得0。

(3)多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确

定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。

(4)多个数相乘，若其中有因数0,则积等于0；反之，若积为0,则至少有一个因数是0。

【清单11】乘法运算定律

(1)乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即aXb=ba

(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即aXbXc=(aXb)

Xc=aX(bXc)。

(3)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即aX(b+c)=

aXb+aXc()

【清单12】倒数

(1)定义：乘积为1的两个数互为倒数。

(2)性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数。

注意：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数为±1.

【清单13】除法法则

(1)除以一个(不等于0)的数，等于乘这个数的倒数。

(2)两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

(3)0除以任何一个不等于0的数，都得0。

【清单01】乘方法则运算

(1)正数的任何次事都是正数

(2)负数的奇次幕是负数，负数的偶次事是正数

(3)0的任何正整数次第都是0

【清单01】混合运算

(1)先乘方，再乘除，最后加减。

(2)同级运算，从左到右的顺序进行。

（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两

步走：先确定符号，再求值。

【清单01】科学计数法

1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成axion的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n为正整数）。

这种记数的方法叫做科学记数法。（lW|a|<10）

注：一个n为数用科学记数法表示为aX10"i

2.近似数的精确度：两种形式

（1）精确到某位或精确到小数点后某位。

（2）保留几个有效数字

注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示

例如：256000（精确到万位）的结果是2.6X105

3.有效数字：从一个数的左边第一个非。数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。

注：

（1）用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0X104的有效数字是3o

（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。

例如:2.605万的有效数字是2,6,0,5o

型需单

【考点题型一】正负数

【典例1】《夏阳候算经》说：“满六以上，五在上方.六不积算，五不单张.”意思就是说，在用算筹

计数时，1〜5分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6〜9则以上面的算筹再加下面相应的算筹

来表示.我国是世界上最早使用负数的国家，在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放

一支算筹表示负数的方法.如:II=TTT'表不+238,则JI表不—238.那么，

I=T’表示的数是（）

A.-136B.+136C.-132D.+132

【变式1-1】如果向南走10米记作+10米，那么向北走5米记作（）米

A.+5B.+15C.0D.-5

【变式1-2】体育老师对六年级学生进行了仰卧起坐测试.以每分钟25个为达标，记作0.小明的成绩

记作-2,则他仰卧起坐的个数是（）

A.27B.24C.23D.25

【变式1-3］如果节约用电30千瓦时记作+30千瓦时，那么浪费用电20千瓦时可以记作（）

A.一50千瓦时B.一30千瓦时C.-20千瓦时D.+20千瓦时

【考点题型二】相反意义的量表示

【典例2】早在公元前2世纪，中国古代劳动人民就认识到负数的存在.如果把收入8元记作+8元,

那么支出6元记作（）

A.一6元B.—8兀C.+6元D.+8元

【变式2-1】中国是最早采用正负数表示相反意义，并进行负数运算的国家.若粮库把运进20吨粮食

记为“+20”，则“-20”表示（）

A.卖掉20吨粮食B.运出20吨粮食C.吃掉20吨粮食D.亏损20吨粮食

【变式2-2】如果向东走8m,记作+8m,那么向西走10m,记作.

【变式2-3】一次数学测试，如果80分为优秀，以80分为基准简记，例如90分记为+10,那么70分

应记为分.

【考点题型三】有理数的概念辨析

【典例3】下列说法正确的个数为（）

①有理数与无理数的差都是有理数；

②无限小数都是无理数；

③无理数都是无限小数；

④两个无理数的和不一定是无理数；

⑤无理数分为正无理数、零、负无理数.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式3-1】在-1,0,-6.8和2024这五个有理数中，正数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式3-2】如果a为有理数，则下列结论中正确的是（）

A.一a一定是负数B.2a是偶数C.|可是正数D.（-a）3=-a3

【变式3-3］在0,p1.3434434443...,y,3.14中，有理数的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点题型四】有理数的分类

【典例4】把下列各数分别填在它所在的集合里:

—5,—2004,—(—4),弓，+(—5)，—13|,-36%,0,6.2

(1)正有理数集合｛｝

(2)负有理数集合｛｝

(3)分数集合｛｝

(4)非负整数集合｛｝

【变式4-1】把下列各数填入它所在数集的大括号内：

107T••

一2.4,3,7.004,-y,I，-0.15,0,-(-6.28)-14,-|-4|

正有理数集合：｛

非负整数集合：｛…｝

负分数集合：｛...｝

1221

【变式4-2］把下列各数分别填入相应的集合：0,-7,5.6,-4.8,—%，15-

整数集合(

分数集合(...)

非负数集合(…)；

负数集合(

【变式4-3】把下列各数分别填入相应的大括号内：

12,22

—4,10%,—1-1—2,101,—1.5,0,0.6,—3,―,—3.1；

正数集合：｛____________________

负数集合：｛____________________

负分数集合：｛____________________

整数集合：｛___________________

非负数集合：｛

【考点题型五】有理数的大小比较

【典例5】如果—1<。<0,那么关于—a,a,!三者的大小关系，下列正确的是()

1

A.-aV—a<aB.—aV—CL<CL

1

C.aV—u<Za~D.—aVa<-CL

【变式5-11—1、0、—2的大小顺序是().

11

A.—>0>—1>-2B.-1<-2<-<0

1-1

C.0>—2>-1D.-2>-l>->0

【变式5-2】大于-3.5且小于2.3的整数共有()

A.6个B.5个C.4个D.3个

11

【变式5-3】比较大小：-5-5（填“”y"或“=”）

【考点题型六】数轴的三要素及其画法

【典例6】如图各图中，表示的数轴正确的是（）

II__________|_______|_____|_________|L

A.-3-2-10123

II1I11A

B.-3-2-1123

―।--------1---------1-►

C.-101

____I______I___________II»

D.-1012

【变式6-1】下图中是数轴的为（）

----------'------------>

A.0B.210-1-2

_______IIIII___________

C.-2-1012-2-1012

【变式6-2】下列是四位同学画的数轴，正确的是（）

C.通<_®3WD.

【变式6-3】下列图形表示数轴正确的是（）

【考点题型七】利用数轴比较有理数的大小

【典例7】在数轴上表示下列各数：—|,0,-4,（一2）2,|一3且，并用号把它们连接起来.

II___I___|___|___|___|___|___I»

-4-3-2-101234

【变式7-1］有理数〃，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（）

-b=46~~ai>

A.a+b>0B.b-a<0C.ab>0D.\a\>\b\

【变式7・21若有理数〃在数轴上对应的点如图所示，则〃，-a,-1的大小关系是（）

鹏息13

A.CL<—CL<-1B.-aVa<—1C.-aV—1VuD.CLV—1<-CL

【变式7-3］把下列各数在数轴上表示出来，并将各数按从小到大的顺序排列，用连接.

21，一万，—（+3），|—3|»0.

-5-4-3-2-101234

【考点题型八】数轴上两点之间的距离

【典例8】在数轴上，距离表示数-2的点4个单位长度的点是()

A.-6B.6C.2D.一6或2

【变式8-1】数轴上与原点距离是2的点有两个，它们表示的数是()

A.一2和0B.2和0

C.一2和2D.一1和1

【变式8-2】数轴上点P表示的数为-3,与点P距离为4个单位长度的点表示的数为.

【变式8-3】如果数轴上的点4对应的数为3,那么与点4相距4个单位长度的点所对应的数为.

【考点题型九】数轴上的动点问题

【典例9】【阅读材料】若数轴上点力、点B表示的数分别为a,b(6>a),则力、B两点间的距离可表示

为b-a,记作AB=b—a.

【解决问题】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点4再向右移动10个单位

长度到达点B.

(1)请画出数轴，并在数轴上标出尔B两点的位置；

(2)若动点P,Q分别从点48同时出发，沿数轴向左运动.已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q

的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为t秒(t>0).

①用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为；

②t为何值时，点P表示的数与点Q表示的数互为相反数？

③t为何值时，P,Q两点之间的距离为4?

【变式9-1】已知数轴上/、2两点对应的数分别为a、b,且满足|a+l|=-(6—3)2

AB

------------1----1------------1--------->

(1)求点/、5两点对应的有理数是；

(2)若点P所表示的数为8,现有一只电子蚂蚁从点尸出发，以2个单位每秒的速度向左运动，经过一

秒时，P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍.

【变式9-2】如图，点4表示的数是—5.

AB

J111111111A

(1)在数轴上表示出原点。；

(2)点B表示的数是；

(3)将点B向左移动3个单位长度到点C,那么点C表示的数是；

(4)在数轴上找点。，使点。到4、C两点的距离相等，那么点。表示的数是

(5)点E在数轴上，与点B的距离为3个单位长度，那么点E表示的数是.

【变式9-31点4B在数轴上分别表示有理数a、b,4、B两点之间的距离表示为48,在数轴上4、8两

点之间的距离4B=\a-b\.利用数形结合思想回答下列问题：

⑴数轴上表示4和8两点之间的距离是.

(2)数轴上表示%和7的两点之间的距离表示为.

(3)若久表示一个有理数，则|x—2|+|x+4|的最小值=.

(4)已知，如图4B分别为数轴上的两点，4点对应的数为-10,B点对应的数为90.若当电子蚂蚁P从

B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从4点出发，以2个单位/秒的速

度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？

4擘

【考点题型十】倒数的概念和相反数的概念

【典例10］-6的倒数是（）

_1

A.6B.-6cJ-6D.~6

【变式10-11-2023的相反数是（)

]

c—^―D.

A.-2023B.202320232023

【变式10-2］—9的倒数是（）

334

---C-

A.4B.43D.以上答案都不对

【变式10-3】下列各组数中，互为相反数的是（）

A.3和1B.3和—3C.和:D.1和—（一g）

【考点题型十一】相反数的性质运用

【典例11］已知a+4与2互为相反数，那么a=.

【变式11-1］若6、n互为相反数，则|加一5+旬=.

【变式11-2】若a,b互为相反数，c,d互为倒数，则3（a+b）—4（cd）=

【变式11-3］若（a—2）2与区+3|互为相反数，贝必-6=

【考点题型十二】绝对值定义、绝对值的性质

【典例12】一个数的绝对值等于;，则这个数是_______.

4-

【变式12-1】-3的绝对值是（）

A.-3B.3C.D.1

【变式12-2］若d=9,|y|=4,且x<y,则x-y的值为（）

A.±7B.±1C.一7或-1D.7或一1

【变式12-3】化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的祛码，经过测量，超

出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（）

A.B.C.D.

【考点题型十三】化简绝对值

【典例13】已知有理数4、b、。在数轴上位置如图所示，化简：|a+l|一|c-b|—|a+b+c|.

【变式13-1】有理数冽、〃在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是()

——।-----------1---------------1---------►

mn0

A.\m-n\=m-nB.\m-n\=n-mC.\n-m\=n^mD.\m-n\=-m-n

【变式13-2］若a>0,瞿=；若a<0,瑞=；

①若高+卷则粤=---------；

②若abc<0,则卷+卷+亩=.

【变式13-3］已知x为有理数，则|x+5|+|x—3|的最小值是.

【考点题型十四】非负性的性质

【典例14］已知(x+y+3)2+|2x—4|=0,则丫=.

【变式14-1］已知佃一3|+(4—b)2=0则a+b=.

【变式14-2】已知|3a—9|+(4+b『=0,则.

【考点题型十五】有理数的加减运算

【典例15】计算：

(1)5.6+4.4+(-8.1)(2)(-7)+(-4)+(+9)+(-5)

(3)14+(-23)+56+(-14)+(-13)(4)5|+(-5|)+4|+(-1)

【变式15-1］不改变原式的值，将6-(+3)-(-7)+(-2)中的减法改成加法并写成省略加号和的形式是

()

A.-6-3+7-2B.6—3—7—2

C.6—3+7—2D.6+3—7—2

【变式15-2］计算：

(1)(-7)-(-5)+(-4)-2

(3)(-3.2)+12.5+(-16.8)-(-2.5)(4)—14—(―2)—|—3|+4

【变式15-3】计算：

(1)(+18)-(+6)-(+19)—(一20)—(一5)；

(2)(+4|)-(+3|)一(一3》一(+1|).

【考点题型十六】有理数乘除法运算

【典例16】计算：

⑴25+(-5)*"+(一|)；⑵l"(-10)x(—39+(-3|).

【变式16-1】计算：,十(一4+|)x(一|)

【考点题型十七】有理数的乘方

【典例17】下列各组数中，最后运算结果相等的是()

A.1()2和54B.-42和(—4)2

C.-53和(一5>D.§和(|)3

【变式17-1】生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型.在营养和生存

空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2.来表示即；21=2,22

=4,23=8,24=16,25=32,…，请你推算?2。24的个位数字是()

A.6B.4C.2D.8

【变式17-2］对于式子(-3>,下列说法正确的是()

A.指数是—3B.底数是3C.塞为-9D.表示3个一3相乘

【考点题型十八】有理数混合运算

【典例8】计算

22

(l)-3-|-5x|1-(_4)|

⑵16+(-2)3—(x(-4)+(-1产22

【变式18-1】计算：-l2023-(l-0.5)x|x[2-(-3)2]

【变式18-2］计算

1(2)—22-(—2)2+(—3)2x(-|)-42-|-4|

【变式18-3】计算：

(D(-n)+-5)+|-2|；(2)-22+5+(一9x(-2)-(1-32)x2；

【考点题型十九】算“24”点

【典例19】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题：

I-3II0II+3Ir+4-

(1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大.这两张卡片上的数字分别是，积为

(2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算(可加括

号)，使其运算结果为24,写出运算式子及运算过程.(写出一种即可)

【变式19-1】嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意

抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24.每张牌都必须使用一次，

但不能重复使用.嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式.

【变式19-2]“算24”是我国民间传统的益智游戏，游戏规则为：随机给出四个数，每个数必用且仅能

用一次，只利用“加号、减号、乘号、除号”（可以重复使用）及括号（含小括号、中括号）连接，使得

四个数的运算结果等于24.如：给出1、2、3、4四个数，则得到24的式子可以是：（1+2+3）

X4=24.

现给出“3、3、8、8”四个数，则得到24的式子可以是.

【变式19-3]“24点”游戏是一种益智游戏，要求玩家将4个给定的有理数进行加、减、乘、除四则混合

运算（允许使用括号，每个数只能使用一次）使最后的计算是24.四个有理数-1,3,4,-5,请运用

上述规则，使其结果为24,这个算式可以是.

【考点题型二十】科学计数法

【典例20】近日多彩贵州网讯，随着气温持续回暖，各色杜鹃花陆续绽放，百里杜鹃景区也迎来了

2024年赏花旅游小高峰.百里杜鹃景区自3月30日以来，景区已接待游客约309000人次，较2023年

同期接待游客人次同比增长55.88%.全国各地前来百里杜鹃游客络绎不绝.309000这个数用科学记数

法可表示为（）

465

A.30.9X10B.3.09x106CQ.309X10D.3.09x10

【变式20-1】2022年11月29日23时08分，我国神舟十五号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，

并成功与“天宫一号”顺利对接.据测量，“天宫一号”据地面高度大约为343000米，这个数用科学记数

法表示为（）

A.3.43X103B.3.43XIO4C.34.3X105D.3.43X105

【变式20-2】新型冠状病毒蔓延全球，截至到北京时间2020年6月20日，全球新冠肺炎累计确诊病

例超过8500000例，数字8500000用科学记数法表示为（）

A.0.85X107B.85x105C.8.5x107D.8.5x106

【变式20-3】北京时间2022年11月30日，神舟十五号飞船与中国空间站对接成功，中国航天员首次

太空会师，中国空间站距离地球大约为400公里（400000米），请将400000米用科学记数法表示为

（）

A.4x105B.