直线与圆专题复习第12讲 圆的弦长与弦心距问题 训练题集【老师版】

高中数学精编资源2/2第12讲圆的弦长与弦心距问题一、单选题1．（2021·河南焦作·高二期中（理））圆截轴所得的线段长度为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】令，求出与轴交点的横坐标，进而可得截轴所得的线段长度.【详解】解：圆，令得，解得，故截轴所得的线段长度为.故选：C.2．（2021·天津市武清区杨村第一中学高三月考）已知圆的圆心在直线上，且与直线：相切于点，则圆被直线截得的弦长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】设出圆心坐标，根据圆与直线：相切于点，得到关于m的方程，解出m，再求解圆被直线截得的弦长【详解】∵圆的圆心在直线上∴设圆心为∵圆与直线：相切于点∴，解得：∴圆的圆心为，半径∴圆心到直线距离∴弦长=，故选：D3．（2021·江苏·盐城中学高二月考）在定圆内过点作两条互相垂直的直线与C分别交于A，B和M，N，则的范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，求出两种临界值下的最值，进而求出的范围，再结合基本不等式和对勾函数即可求解【详解】设，当，，，交换位置可得，故，，又，显然能取到，故，由对勾函数性质可知，当或时，，故，故选：D4．（2021·辽宁·铁岭市清河高级中学高二月考）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD面积为（）A． B． C．8 D．13【答案】B【分析】先将圆的方程化为标准方程，根据过点的直线与圆心与M的连线垂直时，弦长最短，过点的直线且过圆心时，弦长最长求解.【详解】圆的方程为，化为标准方程：，圆心为，半径为，当过点的直线与垂直时，弦长最短，且，当过点的直线且过圆心时，弦长最长，且，此时，，所以四边形ABCD面积为，故选：B5．（2021·江苏南京·高二月考）已知直线与圆：交于，两点，为圆心，当的面积最大时，实数的值为（）A． B．-3或1 C．0或1 D．-1或3【答案】B【分析】用m表示出圆心到直线的距离和弦长，即可得到三角形面积的表达式，利用基本不等式求出最大值和取最值时的条件.【详解】圆：的圆心坐标，半径r=2.由圆心到直线的距离，得：.直线被圆截得的弦长为，所以三角形的面积.当且仅当，即或1时取“=”.故选：B6．（2021·四川成都·高二月考（文））圆截直线的最短弦长为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出直线过定点，在圆内，则当时，弦长最短，由勾股定理得弦长．【详解】由已知，半径为，直线方程整理得，由，得，即直线过定点，又，因此在圆内，当时，弦长最短．为弦中点．，所以．故选：C．7．（2021·河南·郸城县第一高级中学一模（文））若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】圆的圆心，由给定条件结合圆的性质可得，求出直线OP斜率即可计算作答.【详解】依题意，圆的圆心，因点为圆的弦的中点，则有，而直线OP斜率为，于是得直线AB斜率，又直线过，因此有，即，所以弦所在直线的方程为.故选：A8．（2021·全国·高二课时练习）直线截圆所得劣弧所对的圆心角为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出圆的圆心到直线距离即可求得劣弧所对圆心角.【详解】圆的圆心O(0，0)，半径，则点O到直线的距离，设劣弧所对的圆心角为，则，解得，即，所以劣弧所对的圆心角为.故选：C9．（2021·山东·高三月考）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积的计算公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）.弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弦长等于，其弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由弧田面积求出矢，设半径为，圆心到弧田弦的距离为，列出方程组求出，，从而得到，再由，即可求解.【详解】如图所示，由题意可得，弧田面积（弦矢+矢矢）（矢+矢矢），解得矢，或矢（舍去），设半径为，圆心到弧田的距离为，则，解得，，所以，所以.故选：D10．（2021·广西河池·高二月考（理））已知圆被直线截得的弦长为，则（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】配方得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，由勾股定理表示出弦长，从而可得参数值．【详解】配方得，所以圆心为，半径为2，因为圆被直线截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为1，∴，解得．故选：B．11．（2021·全国·高二课时练习）已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于、两点，且，则圆的方程为（）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对称性得到圆心的坐标，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线，利用弦长公式求得半径，进而得到圆的方程.【详解】点关于直线对称的点，圆心到直线的距离为，所以，所以圆的方程为，故：C．12．（2021·全国·高二单元测试）设直线：与圆：相交于、两点，若，则圆的面积为（）.A． B．C． D．【答案】C【分析】将圆的一般方程化为标准方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由勾股定理求出，根据圆的面积公式即可求解.【详解】由题意：，圆的标准方程为，∴圆心到直线的距离，∴，故，∴，故选：C．13．（2021·江西·南昌市第八中学高二月考（文））直线：被圆：所截得的弦中，最短弦所在的直线的方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出直线经过的定点，进而可知点在圆内，从而可知最短弦所在直线必与直线垂直，由此即可求解【详解】因为直线：经过定点，圆心为，，故点在圆内，故最短弦所在直线必与直线垂直，又，因此最短弦所在直线斜率为，方程为，即，故选：B．二、多选题14．（2021·重庆八中高三月考）设动直线交圆于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（）A．直线l过定点 B．当取得最大值时，C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为6【答案】ACD【分析】对于A：整理得，由此可求得直线所过的定点；对于B：由直线l过定点，且定点在圆C的内部，当直线l过圆心时，取得最大值，由此求得m的值；对于C：设直线l过的定点，当时，最小，由余弦定理计算可判断；对于D：当共线，且方向相同时，取得最大值，由此可判断.【详解】解：对于A：由整理得，当，即时，不论为何值时，都成立，所以直线l过定点，故A正确；对于B：因为直线l过定点，将定点代入圆，所以定点在圆C的内部，当直线l过圆心时，取得最大值，此时，解得，故B不正确；对于C：设直线l过的定点，当时，最小，而，所以，所以在中，，故C正确；对于D：，而表示在方向上的投影，所以当共线，且方向相同时，取得最大值，此时，所以的最大值为6，故D正确，故选：ACD.15．（2021·安徽·合肥一中高二期中）在平面直角坐标系中，如果点P的坐标满足，其中为参数．已知直线与点P的轨迹交于A，B两点，直线与点P的轨迹交于C，D两点，则四边形的面积的值可以是（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】先求出点P的轨迹，分析得到直线过定点，定点在直线上，求出四边形的面积为，再求出最大值即得解.【详解】由题得，平方相加得点P的轨迹方程为，点P的轨迹是以点为圆心半径为3的圆.,所以直线过定点，由于所以定点在直线上，由题得四边形的面积为，当最大时，面积最大，此时,所以，所以直线的方程为，经过圆心，所以此时,由题得圆心到直线的距离为.所以面积的最大值为，所以面积的取值范围为.故选：BC16．（2021·湖南郴州·高三月考）已知直线：和圆：，下列说法正确的是（）A．直线恒过定点B．圆被轴截得的弦长为C．直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为4D．直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为4【答案】AD【分析】利用直线系方程求得直线所过定点的坐标判断A；求出圆C被x轴截得的弦长判断B；当直线过圆心时可判断C，当直线时算出弦长可判断D.【详解】由，得，联立，得，无论m为何值，直线恒过定点，故A正确；在中，令，得，所以圆被轴截得的弦长为，故B错误；当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最大，最大值为6，此时直线方程为，故C错误；设，易知P在圆内，当直线时，直线l被圆截得的弦长最小，且最小值为，故D正确.故选：AD17．（2021·全国·高二单元测试）已知圆，为圆心）直线，点在直线上运动，直线PA，PB分别于圆切于点，．则下列说法正确的是（）A．四边形的面积最小值为B．最短时，弦长为C．最短时，弦直线方程为D．直线过定点为，【答案】ABD【分析】A选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，又因切线长定理可知，当最短时，面积最小；B选项，等面积法，即由A选项的四边形面积求弦长；C选项，两垂直直线的斜率相乘等于，两平行直线斜率相等；D选项，由向量积公式求定点坐标.【详解】选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，即，又因切线长定理可知，即，当最短时，四边形面积最小．又与及半径构成直角三角形，最短时，最短，即，，，故正确．由上述可知，时，最短，由等面积法可知，．得，故正确．，，，，可设的直线方程为，由半弦长、半径、弦心距构成直角三角形可知，弦心距，圆心到直线的距离，解得，即直线的方程为．故错误．设圆上一点为，，，，，，，，，，，易知，同理，．，原式，将，代入得等号成立，故直线过定点为，，正确．故选:ABD．18．（2021·福建·高三月考）已知点，直线：，圆：，过点分别作圆的两条切线，（，为切点），在的外接圆上．则（）A．直线的方程是 B．被圆截得的最短弦的长为C．四边形的面积为 D．的取值范围为【答案】BD【分析】求出以为直径的圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程判断A；求出直线所过定点，得到圆心到直线的最小距离，再由垂径定理求被圆截得的最短弦的长判断B；直接求出四边形的面积判断C；求解，再分别减去的外接圆半径与加上的外接圆半径求得的取值范围判断D．【详解】对于A，圆的圆心坐标为，，则的中点为，，则以为直径的圆的方程为，又圆：，两式作差可得直线的方程是，故A错误；对于B，直线：可化为，联立，解得直线过定点，且定点在圆内，当且仅当时，弦长最短，又，所以的最小值为，故B正确；对于C，四边形的对角线、互相垂直，则四边形的面积，因为，，所以，故C错误；对于D，由题意知，的外接圆恰好是经过、、、四点的圆，因为的中点为外接圆的圆心，所以圆上的点到点距离最小值是，最大值是，所以的取值范围为，故D正确．故选：BD．19．（2021·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则PAB面积的值可以是（）A． B． C．10 D．8【答案】ACD【分析】根据，得到，设圆心到直线距离为，由求解.【详解】，设圆心到直线距离为，则，所以，令，，令，解得（负值舍去），当时，；当时，，所以当时，取最大值，即取最大值为，故选：ACD.三、填空题20．（2021·河北秦皇岛·二模）已知直线与圆相交于A，B两点，则面积为___________.【答案】2【分析】求得圆心到直线的距离，求得弦长，由此求得三角形的面积.【详解】圆心为，半径，因为圆心C到直线的距离为，所以，所以面积为.故答案为：21．（2021·全国·高三专题练习（理））在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点.当的面积最大时，实数的值为__________．【答案】或【分析】求出圆心与半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，进而求出弦长，从而可得，配方当，取得最值，即求.【详解】由，则圆心，，点到直线的距离，由弦长公式，，设，则，当时，，此时，即，，解得或.故答案为：或22．（2021·广东·清远市第一中学高三开学考试）已知直线与圆相交于A､B两点，O为坐标原点，且的面积为，则实数m=______.【答案】【分析】根据三角形的面积求得，根据圆心到直线的距离列方程，解方程求得的值.【详解】，，，，∴圆心O到直线的距离，即，.故答案为：23．（2021·江苏·星海实验中学高二月考）已知点及圆，若直线过点P，且被圆C截得的弦的长为，则直线的方程为________．【答案】或.【分析】求得圆心坐标和半径，利用圆的弦长公式，求得圆心到直线的距离为，结合斜率不存在和斜率存在，两种情况讨论，即可求解.【详解】由题意，圆，可得，可得圆心，半径，设圆心到直线的距离为，因为直线被圆的弦长为，可得，解得又由直线过点，当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，此时圆心到直线的距离为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，可得直线方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，即，综上可得，所求直线方程为或.24．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（文））已知直线，则圆截直线所得的弦长的取值范围是__________________.【答案】【分析】求出直线l恒过的定点P，圆的圆心C和半径r，再判定点P与圆C的位置关系，根据圆的性质即可得弦长范围.【详解】依题意，直线恒过定点，圆的圆心，半径，因，则点P在圆C内，由圆的性质知，过点P的最长弦是圆C的直径，即过点P的弦长最大值为6，过点P的最短弦是圆C内过点P垂直于过点P的直径的弦，该弦长为，即过点P的弦长最小值为，所以所求弦长的取值范围是.故答案为：25．（2021·全国·高三专题练习）如图，椭圆，圆，椭圆的左右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为___________．【答案】【分析】先利用圆的弦长问题将转化为求，再利用平面向量的模长、椭圆的定义、焦点三角形的余弦定理进行求解.【详解】设圆的半径为，由已知，得：，则，所以.故答案为：6.四、解答题26．（2021·辽宁·沈阳市第二十八中学高二月考）在平行四边形ABCD中，，，.（1）若圆过，，三点，求圆的方程；（2）过点作圆的切线，切点为，，求.【答案】（1）（2）【分析】（1）设出圆的一般方程，待定系数法求解即可.（2）首先求出点的坐标，进而求出以为圆心为半径的圆的方程，从而得到直线的方程，再结合勾股定理即可求出结果.（1）设圆的方程为,将，，代入方程，可得，解得，所以圆的方程为,（2）设，因为平行四边形ABCD，所以,，显然直线,的斜率均存在，所以，解得，故，由（1）知圆的方程为的圆心，半径为则,因此，所以，因此以为圆心为半径的圆的方程为，则直线的方程为，则圆心到直线的距离为，故.27．（2021·陕西·西北工业大学附属中学高二月考（理））已知圆：及其上一点.（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点，，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或（3）【分析】（1）利用圆与直线相切，圆与圆外切的性质求出圆的圆心，进而得到圆的标准方程；（2）由直线平行得出斜率相等，再利用点到直线的距离公式以及垂径定理即可求解；（3）先将，的坐标关系表示出来，再将坐标代入圆中进行坐标转化，得到两个圆有公共点，进而求出实数的取值范围.（1）解：将圆化为标准方程得：圆心，半径为由圆心在直线上，可设圆与轴相切，与圆外切于是圆的半径为，从而，解得圆的标准方程为：（2）解：直线平行于直线的斜率为设直线的方程为即则圆心到直线的距离且解得或故直线的方程为：或（3）解：设，，，，①在圆上②将①代入②得于是点既在圆上，又在圆上圆与圆有公共点解得：实数的取值范围为：.【点睛】方法点睛：直线与圆的位置关系有：相离，相切，相交；圆与圆的位置关系有：外离，外切，内切，相交，内含；要求熟练掌握各种位置关系时，圆心和直线间的距离与半径的关系以及圆心与圆心的距离与半径和与差的关系.28．（2021·河北·汇文二中高二月考）已知圆，圆.（1）试判断两圆的位置关系；（2）直线过点与圆相交于两点，且，求直线的方程.【答案】（1）相交；（2）或.【分析】（1）由圆的方程可确定两圆圆心和半径，根据圆心距与关系可得两圆位置关系；（2）易知直线斜率存在，假设直线方程，利用垂径定理可构造方程求得，由此可得直线方程.（1）由圆的方程知：圆圆心为，半径；圆圆心为，半径；，，圆和圆相交.（2）当直线斜率不存在，即时，直线与圆相离，不合题意；当直线斜率存在时，设，即，圆心到距离，，解得：或，或，即直线方程为或.29．（2021·全国·高三专题练习）在平面直角坐标中曲线与坐标轴的交点都在圆上，若直线被圆截得的弦长最短，求的值.【答案】2【分析】先求出曲线与坐标轴的交点，根据题意求出圆心坐标和半径，即可写出圆的方程，由直线系求出直线所过定点M，利用圆的平面几何性质，可知当时所得弦长最短.【详解】曲线与轴的交点为，令，解得，即曲线与轴的交点为，故可设圆的圆心为，则有解得，则圆C的圆心为，半径为，所以圆的方程为.由可得，所以直线恒过定点，设圆心到直线的距离为，则弦长为，所以弦长最短时，最大，即时，故，解得.故直线被圆截得的弦长最短时.30．（2021·全国·高三专题练习）在平面直角坐标中曲线与坐标轴的交点都在圆上，若直线被圆截得的弦恰以为中点，求的值.【答案】【分析】先求出曲线与坐标轴的交点，根据题意求出圆心坐标和半径，即可写出圆的方程，设点，由垂径定理可知与直线垂直，结合斜率关系可求得的值.【详解】曲线与轴的交点为，令，解得，，即曲线与轴的交点为、，故可设圆的圆