2024-2025学年江苏省苏州市部分学校高三（上）适应性数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省苏州市部分学校高三(上)适应性数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={x|3<x+lnx<10},则4nZ的元素个数为()

A.4B.5C.6D.7

2.复数Z]、Z2满足Z]+Z2=Z]Z2，若Z]=l+i,则氏|=()

A号B.1C.272D.<2

3.若向量五=(1,1),B=(—2,X),若五与N+3夹角为钝角，则x的可能取值为()

A.1B.0C.-2D.-1

4.随机变量f的取值集合为%/咨+k€N+｝且P(f=&)=去，贝!]()

A.<E(sinf)B.>D(cosf)C.£(f)=|?rD.=~it

5.已知S=33:若正实数x满足Sss=9/，贝卜=()

AT°+3]慢2学C.生产口以叱

乙乙乙乙乙

6.如图，四棱锥&-4BCD截取自棱长为1的正方体,其中_L平面4BCD且4/I=4B=BC=CD=DA=

1.E是线段上靠近4的三等分点，尸是线段BC上最靠近B的四等分点，M,N分别是棱&C和上的动

点且恒有MN14/,垂足为H,贝UEM+M”的最小值为()

B.^<66

7.已知角灯、夕满足cos(a+只=sina+sin,,则sina的最小值为()

A.l-73B.-YC.宁D.AA3-2

8.国表示大于或者等于x的最小整数，⑶表示小于或者等于x的最大整数.已知函数f(x)=

p£+3a：+a],xW°且满足：对寸冷eR有(/一冷)(/(/)一/(久2))<。，贝b的可能取值是()

le,x>0

114

A.-gB.Oc.-D.-

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9,已知函数/(x)=cos|x|+|s讥K|和g(x)=sin|x|+|cosx],下列说法正确的是()

A./(久)和g(x)均为周期函数，且2兀是f(x)、g(x)的周期之一

B.f(%)和。(久)均为周期函数，且兀是/'(X)、g(久)的周期之一

C./Q)的值域为[-

D.g(x)=f(x-1)对Vx>0恒成立

10.如图，对于抛物线y：y2=2px,(p>0),F是它的焦点，y的准线与x轴交于T,过点T作斜率为k的直

线与y依次交于B、4两点，使得恰有西•丽=0,下列说法正确的是()

A.k是定值，p不是定值

B.k不是定值，p也不是定值

C.A、B两点横坐标乘积为定值

D.记48中点为M,则M和4横坐标之比为定值

11.设｛即｝为的=1的单调递增数列，且满足W+1+16a^+1-2(an+1+4an)-8anan+1=0,则下列选

项正确的是()

A.a2=9

B.。2025至多有22022种取值可能

C.47=+47=+…+-^=<+2

V«1"眄飞an

D.£忆式[聋]+[^51)=3n(因表示大于或者等于x的最小整数，㈤表示小于或者等于久的最大整数)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知a,beR+,则7a2-lla"12”的最小值为____.

(a+b)z

13.高三开学，学校举办运动会，女子啦啦队排成一排坐在跑道外侧.因烈日暴晒，每个班的啦啦队两侧已

经摆好了两个遮阳伞，但每个遮阳伞的荫蔽半径仅为一名同学，为了效益最佳，遮阳伞的摆放遵循伞与伞

之间至少要有一名同学的规则.高三(一)班共有七名女生现在正坐成一排，因两边的遮阳伞荫蔽范围太小，

现在考虑在她们中间添置三个遮阳伞厕添置遮阳伞后，晒黑女生人数的数学期望为.

22222

14.若a>0且关于x的不等式+ae>ae+aZn(ae+aex)在(0,+8)上恒成立，贝ija的取值范围

是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

野餐用的三脚架三只脚长度均为r,露营结束后三脚架落在森林里，有白蚁聚集到其中一只脚啃食.

(1)求证：啃食过程中三脚架顶点的运动轨迹是一段圆弧；

(2)啃食完毕后脚长变为】且垂直于地面，若未损坏的两只脚所在平面与地面所成二面角为J,求原三角架

对应四面体的体积(用r表示).

16.(本小题15分)

已知椭圆y：弓'+4=l(a>6>0),y与圆久2+V=一炉在第一、第二象限分别交于Q、P两点，且满

ab

足NPOQ=早PQ=1.

(1)求椭圆y的标准方程；

(2)4是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦BC使得。求证：四边形Q4BC的面积为定值.

17.(本小题15分)

已知正整数列满足的=2,且有£心1瓶="对任意正整数九恒成立.

ak

(1)求证：对任意71CN+，a九均为偶数；

(2)记配=逋*，求证：£忆1夕；<9.

18.(本小题17分)

“三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常

直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系.

(1)利用恒等式siMe+cos2^=1和taMe+1=cos而，求函数%=x—7%/和丫2=+

/—^77+tan20—4tan9+4的最小值.

7cos"

(2)在△ABC中，角/、B、C对应的边为a、b、c：

(i)求证：cos27l+COS2B+cos2c+2cosAcosBcosC=1；

(ii)已知实数x,y满足/+y2+42xy=j,求二元函数/'(久,、)=

J%2—4y[?.x+9+2-/2y+2J2x2+2V_2xy+1+x的最大值.

19.(本小题17分)

a1

已知函数f(%)=x(ex-cos-),其中a为正实数.

(1)若aGg,+8),讨论/(x)在C，a)的单调性.

⑵若a=L且方程式f(x)—皿)=段-根在(|,+8)至少有一个根，求实数m的取值范围.

参考答案

l.B

2.D

3.A

4.B

5.4

6.C

7.4

8.X

9.CD

1Q.ACD

U.AC

当

i1X2-72

13.1

14.(0,#T]

则有P4=PB=PC=r,设PO1平面ABC,D,E分别为48,PC的中点,

假设白蚁聚集到脚PC进行啃食，则啃食过程中顶点P向下移动，

在APAB中，PD的长度保持不变，故顶点P到点。的距离为定值，

故三脚架顶点P的运动轨迹是一段以。为圆心，PD为半径的圆弧；

(2)解：由题意，啃食完毕后脚长变为且垂直于地面，如图所示,

AE

D\//

B

则PE=：,且PE_L平面力BE,贝!|PE14B,

由P4=PB,。为AB中点，可得PD14B,

又PDCPE=P,所以ABI平面PDE,

又DEu平面PDE,所以DE148,

故NPDE即为未损坏的两只脚所在平面与地面所成二面角，

则“DE*,故DE=PE=?所以功=苧乃

从而得力B=2A/PA2-PD2=<2r，

所以。。=|xJ_（苧J=?r，

PO=VPD2—DO2=J=~Yr，

故原三角架对应四面体的体积为：

Vp-ABC=^SAABC.PO="亨X（Vlr）2x苧r=g

16.（1）解：由对称性知，|OP|=\OQ\,

因为NPOQ=（PQ=1,所以AOPQ是边长为1的等边三角形,

因为Q位于第一象限，所以Q（¥3）,

31

代入椭圆y的方程有马+彳=1，

azb

代入圆％2+y2=02_卜2的方程有,+J=十一62,

44

联立解得a2=5,b2=l，

%2y2

所以椭圆y的标准方程为于+号=L

22

(2)证明：设/(皿n)，mn0,则直线。4的斜率为巴，且?++=1,即/+3几2=|,

m222

因为。所以四边形。ABC是平行四边形，\BC\=\OA\=Vm2+n2,

设直线的方程为y='('-t),8(%i，yi),C(x2,y2),

、(y=t(%T)

联立《，得(2血2+6n2)%2—12n2tx+6n2t2—3m2=0,

、等9v2+2y2=1

222

_12九2t6nt—3m

所以％i+x

22m2+6n2"62=2m2+6足'

Ic/--------------------------/——-------2/6-Jm2-2n2t2+3n2

所以田C|=J1+Qn)2.](叼+工2)2-4尤62=7m2”2，—美谈-----=Vm2+n2•

-/6-Jm2-2n2t2+3n2

3

2

因为|8C|=1041=Vm2+n2,

V6-Jm2-2n2t2+3n2

所以m2+九2.22

A/3=Vm+n»

2

整理得64一2712t2)=4即|岗=A

Z44

I^(m-t)-nl_\\

d—nt

22

而点力到直线BC的距离为一l~^2Vm+nf

、鼠2+I

所以四边形%BC的面积S=2S.ABC=2^\BC\.d=\OA\.d=百E.誓=阳=为定

值.

17.证明：⑴由题，瑞谓=斯什+2+…+方=层,

1,1,,1n2

即nn1----F…4---=一,

。2a?ia?t

同工.1.,1,1,d+l)2n2,1

火(JIr***।I——r,

ala2anan+lan+lanan+l

22

即有[(九+l)-l]an=nan+1,

整理得：%±l=w,

an九

则有应="|,臭1=号，…，”=3,

an-ln—1an-2n—2a1

即工X—x…x”=安x-^x…x3,

a九-1un-2九—171-2

即幺=以警，又的=2,贝1]即=71。1+1),

L

若几为奇数，则几+1为偶数，此时时=九(荏+1)为偶数，

若九为偶数，则册=n(n+1)亦为偶数，

故对任意TIEN+，时均为偶数;

(2)由(1)知,an=n(n+1),

UI..,_n2(n+l)2+2n(n+l)n2(n+l)2+2n(n+l)+l_[n(n+l)+l]2

则篇=审V审=审

故病<峋*=等2+或，

-bfrVn/h<rVnrk(k+l)।1-I_ynk(k+l)y1

取“"k<Zk=iL淤+/I-Uk=i型+Zn/c二i环，

其中》=弓=匕孕=1G，

Vnk(k+l)_2612n(n+l)

Lk=l-jr-―/衣+不+…+2-'

ZZZ4

1

贝H£nfc(fc+l)_2,6,12n(n+l)

u2-k=1

2k—22237+•••+方k，

则£%暇-扛%竽

_1ynk(k+l)_2462nn(n+l)

一2乙上二12k一5十22十23十十2rl2n+1，

制1ynk(k+l)_242nn(n+l)

则必=1淤-/+/+,,,+^H+T.2计2，

miliyn々(々+D_2।2।2।।22n九5+1).n(n+l)

叫Zk=l淤―]+/+/+…+尹一^1一20I+2九+2

1x(1-+)

4n+n(n+l)_„n2+5n+8

-=Z-2n+2'

miivn依/c+l)_o层+5几+8、_、n2+5n+8

火」Z/c=i-Tk~~-41/^7+28尹，

zz乙

即有£匕Q；<£忆1答+

cn2+5n+8.1

=8----=+t1-7

cn2+5n+9

=9

<9.

18.解：(1)设％=cos。，0G[0,TT]，则yi=cosO-sin6=V_2cos(0+7),

4

因为ee[o,TT],所以e+[c邑圣，所以cos(e+g)E[—1,苧],所以％r—1,

4444z

即yi=x-7\-/的最/J、值为一1；

当cos。>0时，y2=+I~2ff+tan?。—4tan9+4

=+ta#e-4tme工

=V4tan26+4+V4tan26—4tan3+7

=7(2tan0-0)2+(0-2)2+J(2tan0-l)2+(0+76)2,

表示点(2tcm8,0)到点(0,2)和(1,-，石)的距离之和，

所以先>J1+(2+血2=2/2+73；

2

当cos。<0时，y2=■—7；+/3+tan0—4ttm6+4

,4COS，7cos"

=-JzS++tan20-4t^^+4

=—V4tan23+4+V4tan20—4tan9+7

二7(2tcm8—0)2+(0-2尸+J(2tcm0-l)2+(0-76)2,

表示点(2tcm8,0)到点(0,2)和(1,，石)的距离之差，

所以先>-J1+(2-皿2=73-2/2.

综上，力的最小值为：V^-2/2.

(2)证明：(i)因为cosC=COS[TT—(A+B)]=—cos(4+B)=sinAsinB—cosAcosB,

所以cos27l+COS2B+cos2c+2cosAcosBcosC

=cos2?!+COS2B+sin2Asin2B+cos2Acos2B—2sinAsinBcosAcosB+2cosAcosBcosC

=COS2T4+COS2B+(1-COS2T4)(1—cos2B)+cos2Acos2B—2sinAsinBcosAcosB+2cosAcosBcosC

=1+2(COS2ACOS2B—cosAcosBsinAsinB)+2cosAcosBcosC

=1+IcosAcosB(cosAcosB—sinAsinB)+2cosAcosBcosC

=1+2cosAcosBcos{A+8)+2cosAcosBcosC

=1—IcosAcosBcosC+IcosAcosBcosC=1,证毕；

(i)在(i)中,令C=7,则cos?/+cos2B+y/~2cosAcosB=1且4+B=乎，

4L4

因为％2+y2+y/~2xy=设久=cosA,y=cosB,

所以/(%,y)=x2—4y[~2x+9+2V-2y+2/2x2+2y/~2xy+1+%,

可得/⑷=Vcos2i4—4y/~2cosA+9+4sinA+cosA(AE(0,当)，

贝疗⑷=V2cos2A—4y/~2cosA+4+sin2i4+4sinA+4+cos/

=J(yTlcosA—2)2+(sinA+2)2+cosZ

=J(V^cos/—2尸+(siw4+2)2—(V2—cosA)+V-2

=J[yTlcosA—2)2+{sinA+2)2—J-cos/)2+yj~2

=Jcos/—2,+(sin/+2尸—V2cos2A—2y[2cosA+1+sin2i4+V~2

=/(yflcosA—2)2+{sinA+2)2—(yTlcosA—l)2+(smi4—0)2+

其表示点(VZosAs讥4)到点(2,-2)和(1,0)的距离之差再加上，L

所以/⑷<J(1-2)2+(0—(-2))2+72=,

当日右7也sin/—0_sinA+2

基且乂二VIcosZ-l-<2cosA-29

即cosA=史了,sirM=空手时等号取得，此时满足2e(0,乎).

yy4

aAai

19.解：(1)因为函数/(%)=x(e^—cos-)=xex—xcos-,

acii-1-1a.na111a_-1

所以/'(%)=e1+xex(—n—cos-+xsin-(―=ex--ex—cos---sin-=ex■—r—n(cos-+

、

-1si.n-1),

XX，

因为％e(,a)，aeg+8)