2024-2025学年沪教版九年级数学上学期期中必刷易错、压轴60题（原卷版）

期中真题必刷易错、压轴60题（12个考点专练）

一.比例的性质（共2小题）

1.（2023秋•静安区校级期中）如果a:b=4:7,那么下列四个选项中一定正确的是（）

A.7。=4bB.（b-a）:a=3:1C.4a=7bD.b-a=3

2.（2023秋•闵行区期中）若'=2=三/0,那么…-2z=_.

235x+2y

二.黄金分割（共3小题）

3.（2023秋•崇明区期中）已知M是线段池上的黄金分割点，且那么下列各项正确的是（）

AM^5-1AMA/5-1

'2'MB"2

C.些=避二1D.3M是AM与筋的比例中项

AB2

4.（2023秋•静安区校级期中）己知点3在线段AC上，且生=空，设AC=2s,则A5的长为cm.

ABAC------

5.（2023秋•闵行区期中）已知：点P是线段AB的黄金分割点，其中AP较短，若AB=10,则AP=—.

三.平行线分线段成比例（共5小题）

6.（2023秋•金山区校级期中）在AABC中，点D、E分别在AB、AC的延长线上，下列不能判定DE//BC

的条件是（）

A.EA:AC=DA:ABB.DE:BC=DA:ABC.EA:EC=DA:DBD.AC:EC=AB■.DB

7.（2023秋•浦东新区校级期中）在A/40c中，点£＞、E分别在钻、AC上，如果AD:BD=1:3,那么下

列条件中能够判断DE/ABC的是（）

DE1AD1AE1AE1

AA.——=—B.-----=—C.——=—D.——二一

BC4AB4AC4EC4

8.（2023秋•虹口区期中）如图，在AABC中，点。、石分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式

BACABEA_DAEDEAEAAC

~BD~~CE,~EC~~DBAB-AB

9.（2023秋•浦东新区校级期中）已知线段。、b,求作线段x,使了=〜，正确的作法是（）

2ha

10.（2022秋•长宁区校级期中）如图，已知ADIIBEIICF,它们依次交直线《、4于点A、B、C和点。、

E、F.

（1）如果AB=6,BC=8,DF=21,求DE的长；

（2）如果尸=2:5,AD=9,CF=14,求3E的长.

四.相似三角形的性质（共1小题）

11.（2023秋•长宁区校级期中）已知AA5c三边的比为2:3:4,与它相似的△A8C最小边的长等于12,

那么△ABC最大边的长等于—.

五.相似三角形的判定（共1小题）

12.（2023秋•静安区校级期中）在AABC和△44G中，有下列条件：①组=空，②空=王，③

A^iB£4GAG

ZA=ZA.④NB=NBi,⑤NC=NC1,如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断AABCs△4与⑥

的有（

A.4组B.5组C.6组D.7组

六.相似三角形的判定与性质（共29小题）

13.（2023秋•长宁区校级期中）如图，在AABC中，BC=120,高A£）=60,正方形EFS一边在3c上,

点、E,尸分别在钻，AC上，AD交EF千点、N,则4V的长为（）

A.15B.20C.25D.30

14.（2023秋•宝山区期中）某同学对如下的问题进行探究.如图，AABC中，AB^AC,点、E、F在边BC

上，ZEAF=ZB.由上述条件该同学得到以下两个结论：

①EF-CE=A£2；®BFCE=AC2.

对于结论①和②下列说法正确的是（）

A.①错误，②正确B.①正确，②错误C.①和②都正确D.①和②都错误

15.（2023秋•普陀区期中）如图，在AABC,CD平分ZACB,DE//BC,AD=2,BD=3,BC=5,则

CE=

16.（2023秋•静安区校级期中）如图，在AABC中，AB=AC,NA<90。，点£）,E,尸分别在边AB,

BC,C4上，连接DE,EF,FD,已知点3和点P关于直线DE对称.设生=左，若AD=DF,则丝=

ABFA

（结果用含发的代数式表示）.

BEC

17.（2023秋•虹口区期中）如图，在矩形ABCD中，E、F、G分别是边钻、BC、AD上点，且NFEG=90。,

EG=6,G尸与AC交于点若空=殷=3,则MF=

BCCF4

18.（2022秋•静安区校级期中）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,CD±AB,垂足为

D,E为3c的中点，AE马CD交于点、F,则DF的长为.

19.（2023秋•崇明区期中）如图，在梯形ABCD中，AD〃3c.点P是对角线上的一点.过点P分别

作AZKCD的平行线，与交于点/，与交于点E.联结花交班）于点G.

(2)当AD:3C=1:3,PF:AD=1:3,皮＞=10时，求尸G的长.

BEC

20.（2023秋•黄浦区期中）如图，在AABC中，点。、石分别在边AB、AC上，联结DE、区石，ZABE=ZAED,

DEBD

BE-CE•

（1）求证：DE//BC；

⑵若^^=1，S四边形。皿=8,求ABDE的面积.

21.（2023秋•金山区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，点石为边3。上一点，联结钻并延长AE

交。。的延长线于点交于点G,过点G作Gb//5。交。。于点尸.求证：空=2"

FCCD

B

M

22.（2023秋•松江区期中）如图，已知在平行四边形A5CD中，对角线AC、8Z）交于点O.点E在3c上,

且生=LDE与AC交于点尸.

BE2

(1)求AO:OF的值;

（2）设丽=万，BC=b,试用。B表示瓦.

23.（2023秋•普陀区期中）如图，点。、E分别在AABC的边AC、AB上，延长DE、CB交于点F,且

AEAB=ADAC.

(1)求证：ZFEB=ZC;

（2）联结AF,如果必=生，求证：EFAB=ACFB.

ABFD

B

24.(2023秋•金山区校级期中)如图，在RtAABC中，NACB=90。，CD_LAB于。，E是AC的中点，DE

的延长线与BC的延长线交于点F.

FDBD

(1)求证:

FCBe

dzhBC5_txBD的/古

（2）右——=—,求一的值.

FC4DC

25.(2023秋•黄浦区校级期中)已知四边形ABCD中，E,尸分别是AB,AO边上的点，DE与CF交于

点G.

(1)如图①，若四边形ABCD是矩形，且。石，。尸.求证：—=—；

CFCD

(2)如图②，若四边形ABCD是平行四边形.试探究：当々与NEGC满足什么关系时，使得匹=四成

CFCD

立？并证明你的结论.

26.(2023秋•长宁区校级期中)如图，已知在△A8C中，ZBAC=2ZB,平分/BAC,DF//BE,点E

在线段BA的延长线上，联结。£,交AC于点G,且NE=NC.

(1)求证：ADr^AF'AB；

(2)求证：AD・BE=DE・AB.

27.(2023秋•青浦区校级期中)如图，在AABC中，3E平分NABC交AC于点E,过点E作a〃3C交

■于点£).

(1)求证：AEBC=BDAC；

(2)如果S皿=3,S^DE=2,DE=6,求BC的长.

28.(2023秋•闵行区校级期中)如图，已知在AABC中M=AC,点。为3C边的中点，点厂在边AB上,

点E在线段DF的延长线上，且44£=40P，点拉在线段加上，且ZEBM=NC.

(1)求证：EB»BD=BM,AB；

(2)求证：AE±BE

A

29.(2023秋•静安区期中)如图，在AABC中，点。、E、尸分别在边3C、AB.CA±,且DE〃C4,

DF//AB.

(1)若A£)_L3C于点D,且a)=CD,求证：四边形AEDF是菱形；

(2)若AE=AF=1,求」-+,的值；

ABAC

(3)设ABDE、△CDF、四边形AS方的面积分别为S［、邑、S,求证:

30.(2022秋•杨浦区期中)如图，梯形A5CD中，AD//BC,点E是边相)的中点，连接跖并延长交C7)

的延长线于点尸，交AC于点G.

（1）若FD=2,-=求线段DC的长;

BC3

（2）求证：EFGB=BFGE.

31.（2022秋•青浦区校级期中）如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC,AB1BC,ZAEBZADC.

(1)求证：AADEs^DBC.

(2)连接EC,^CD2=ADBC,求证：ZDCE=ZADB.

32.（2022秋•黄浦区期中）如图，已知在菱形ABC。，点E是AB的中点，AF_L3C于点尸，连接EF、

ED、DF,DE交AF于点、G,且DELEF.

(1)求证：AE2=EGED；

(2)求证：BC-=2DF-BF.

33.(2022秋•青浦区期中)如图，已知AB〃跖//CD,AD与相交于点O.

(1)如果CE=3,EB=9,DF=2,求AD的长；

(2)如果80:0£:瓦:=2:4:3,AB=3,求CD的长.

34.(2022秋•虹口区校级期中)如图，ZABC=45。，点产为AABC内的一个动点，已知ZBPA=NBPC=135°.

(1)求证：ACPBSABPA；

PC

(2)若AC，BC,试求土的值.

AC

35.(2022秋•黄浦区校级期中)如图，已知四边形ABCD,AD//BC,对角线AC、交于点O,DO=BO,

过点C作CELAC,交33的延长线于点E,交相＞的延长线于点尸，且满足NDCE=N4CB.

(1)求证：四边形ABCD是矩形;

DEAD

(2)求证:

36.(2022秋•奉贤区校级期中)如图，在AABC中，点。在边3c上，联结AD,ZADB=ZCDE,DE交

边AC于点E,DE交54延长线于点尸，且AD?=.

(1)求证：MF*ACAD；

(2)求证：BF»DE=AB»AD.

37.(2022秋•静安区校级期中)如图，已知AABC中，AB=4,BC=5,AC=6,把线段AB沿射线3c方

向平移至尸。，直线尸。与直线AC交于点E,又连接8Q与直线AC交于点。.

(1)若3尸=3,求肺的长；

(2)设3P=x,DE=y,试求y关于无的函数解析式；

(3)当为多少时，以。、D、E为顶点的三角形与AABC相似.

38.(2022秋•浦东新区校级期中)已知：如图，已知AABC与AADE均为等腰三角形，BA=BC,DA=DE.

果点。在3c边上，且NEDC=NBAD.点。为AC与DE的交点.

(1)求证：AABC^MJDE；

(2)求证：DA-OC=ODCE.

39.(2022秋•青浦区校级期中)已知：如图，在RtAABC中，NC=90。，BC=2,AC=4,尸是斜边钻

上的一个动点，PDYAB,交边AC于点。(点。与点A、C都不重合)，E是射线DC上一点，且

ZEPD=ZA.设A、P两点的距离为x,ABEP的面积为y.

(1)求证：AE=2PE；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

(3)当ABEP与AABC相似时，求ABEP的面积.

40.(2022秋•浦东新区校级期中)已知：梯形ABCD中，AD//BC,AD^AB,对角线AC、BD交于点、

E,点P在边上，且NBEF=NS4C.

(1)求证：AAED^ACFE；

(2)当EF//DC时，求证：AE=DE.

41.（2022秋•静安区校级期中）已知：如图，梯形ABCD中，DC//AB,AD=BC=DC,AC.是对

角线，E是钻延长线上一点，且NBCE=ZACD,联结CE.

（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；

七.相似三角形的应用（共1小题）

42.（2023秋•宝山区期中）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地.如图，这两条小道、〃之间

的距离为9米，AA5c表示这块空地，3C=36米.现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它

的一边在BC上，其余两个顶点分别在边4?、AC上.

（1）如果矩形花坛的边「6:止=1:2,求出这时矩形花坛的两条邻边的长;

（2）矩形花坛的面积能否占空地面积的工？请作出判断并说明理由.

9

八.锐角三角函数的定义（共2小题）

43.（2023秋•黄浦区校级期中）在RtAABC中，NC=90。，AB=2,AC=1,那么cosB的值是（）

A.—B.—C.-D.2

222

44.（2022秋•青浦区校级期中）如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=BC=6,点。为AC中点，点E为

边AB上一动点，点尸为射线3c上一动点，且NFDE=90。.

（1）当Z）尸//AB时，连接£F,求NDEF的余切值；

（2）当点F在线段上时，设钻=x,BF=y,求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围;

（3）连接CE,若ACDE为等腰三角形，求3b的长.

九.特殊角的三角函数值（共5小题）

45.（2023秋•宝山区期中）tan45。的值等于（）

A.2B.1C.—D.—

23

req

46.（2023秋•闵行区期中）计算：——tan60°-cot45°.

1-sin30°

（秋•黄浦区校级期中）计算：一回空——（）22

47.2023Jsin300-l+2cos45°.

sin600-cot300n

（秋•长宁区校级期中）计算：（咄兰----

48.20232|l-sin6F|+-------

cot300-2cos45°

（2023秋•浦东新区校级期中）计算：sm45°+cos30o_30°（cos45°-sin60°）

49.sin

3-2cos60°

一十.解直角三角形（共7小题）

50.（2023秋嚼安区校级期中）在RtAABC中，ZB=90°,如果=BC=a,那么AC的长是（）

A.atanaB.a-colaC.---D.a

cosasina

4

51.（2023秋•浦东新区校级期中）如图，在AABC中，AD1.BC,BD=5,CD=3,tanZBAC=-,则线

3

段AD的长

A

52.(2023秋•静安区校级期中)如图，是AABC的高，。是边Afi上一点，CD与AH交于点E.已知

2

AB=AC=6,cosB=—,AD:DB=1:2.

3

(1)求AABC的面积；

一4

53.(2023秋•金山区校级期中)在RtAABC中，ZACB=90°,AB=5,sinZCAB=-,O是斜边AB上一

5

点，过点A作AELCE),垂足为£,AE交直线于点尸.

(1)当tanZBCD='时，求线段5方的长；

2

(2)当点尸在边6C上时，设AZ>=x,BF=y,求y关于x的函数解析式，及其定义域；

(3)当=»时，求线段AD的长.

4

54.(2022秋•奉贤区期中)已知：如图，在四边形ABCD中，AB=3,3c=4,AD!IBC,ZADB=90°,

cosA=-

3

求：（1）DC的长；

（2）如果点E为CD的中点，联结BE,求NEBC的正切值.

3

55.（2022秋•青浦区期中）如图，己知AABC中，AB=BC=5,tanNABC=-.

4

（1）求边AC的长;

（2）设边3c的垂直平分线与边脑的交点为求老的值・

56.（2022秋•浦东新区校级期中）如图，在RtAABC中，ZC=90°,点。是BC边上的一点，CD=6,

32

cosZADC=—,tanB=—.

53

（1）求AC和的长；

（2）求sinN3AD的值.

一十一.解直角三角形的应用（共1小题）

57.（2023秋•静安区期中）图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2

所示，两支脚OC=OD=10分米，展开角NCOD=60。，晾衣臂（M=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6

分米，且H0=H?=4分米.（参考数据：括a1.73）

（1）当NAOC=90。时，求点A离地面的距离AM约为多少分米；（结果精确到0.1）

（2）当从水