2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路：点到平面的距离（学生版+解析）

专题04点到平面的距离(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍.............................................1

二、典型题型.............................................2

题型一：等体积法求点到平面的距离......................2

题型二：利用向量法求点到平面的距离....................4

三、专项训练.............................................6

一、必备秘籍

1、等体积法求点到平面的距离

(1)当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从

而快速解决体积问题，是一种常用数学思维方法

(2)在用变换顶点求体积时，变换顶点的原则是能在图象中直接找到求体积所用的高，有

时单一靠棱锥四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系(线面平行,

面面平行)转换顶点，如当线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同理面面平

行也可以变换顶点

2、利用向量法求点到平面的距离

如图，己知平面a的法向量为“，A是平面a内的定点，P是平面a外一点.过点尸作平面

a的垂线/,交平面a于点。，则"是直线/的方向向量，且点尸到平面a的距离就是AP

〃AP,nIAPenI

在直线/上的投影向量QP的长度.PQ=\AP—1=|---------|=--------

\n\\n\\n\

二、典型题型

题型一：等体积法求点到平面的距离

1.(23-24高三下•陕西西安•期中)如图，在圆台。。中，4AB4为轴截面，AB=2A4=4,

=60。，C为下底面圆周上一点，尸为下底面圆。内一点，4E垂直下底面圆。于点E,

Z.COF=AEFO.

(I)求证：平面O0C〃平面AE产；

⑵若为等边三角形，求点E到平面AQ歹的距离.

2.(2024•陕西安康•模拟预测)如图，在四棱台ABCD-4耳GA中，底面四边形ABCD为

菱形，ZABCMGOO.ABMZM：2A耳，A4,‘平面ABCD.

(1)证明：BD1CQ.

⑵若四棱台MG.的体积为受’求点A到平面“QQ的距离.

71

3.(2024・四川•模拟预测)如图，四棱锥S-AB8中，底面ABCO为菱形，ZDAB=-,侧

面_SCD是边长为4的正三角形，SA=25/10.

A—B

(1)证明：平面SCD_L平面A8CD；

(2)求点A到平面SBC的距离.

4.(2024高三・上海・专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA^WABCD,ABHCD,

PA=AB=2CD=2,ZADC=90,分别为尸员AB的中点.

DC

⑴求证：CE〃平面PAO；

⑵求点B到平面PCF的距离.

题型二：利用向量法求点到平面的距离

1.(23-24高三上•山东日照•期中)如图，尸为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AC为

底面直径，△ABD为底面圆。的内接正三角形，点E在母线尸C上，且AB=AE=3,CE=6

(1)求证：平面平面板＞；

(2)若点M为线段尸0上的动点，当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，求此时点M

到平面ME的距离.

2.(23-24高二上•山东济宁•期中)如图所示，正方体。4a的棱长为3,动点M

在底面正方形。由C内，且A7与两个定点O,A的距离之比为

O\___________c}

⑴求动点”的轨迹方程，并说明轨迹的形状;

⑵求动点M到平面QAC的距离的取值范围.

3.(2023•山东潍坊•三模)如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径,

为底面圆。的内接正三角形，且边长为6,点E在母线尸C上，且AE=VLCE=1.

(2)求证：平面BED_L平面ABD

⑶若点"为线段尸。上的动点.当直线DM与平面⑷汨所成角的正弦值最大时，求此时点

M到平面ABE的距离.

4.(23-24高三下•江苏连云港•阶段练习)如图，直四棱柱ABC。-44GA的底面为平行

四边形，河,^^分别为4员。2的中点.

(1)证明：平面ABN；

⑵若底面ABCD为矩形，/W=2AD=4,异面直线AM与AN所成角的余弦值为萼，求

。到平面A的距离.

三、专项训练

L(2024•青海•模拟预测)如图，在三棱锥尸-ABC中，AC,平面E、P分别为3C、

PC的中点，S.PA=AC=2,AB=1,EF=8.

(1)证明：平面PAC.

⑵求C到平面AEF的距离.

2.(23-24高二下・上海金山・期中)如图，在三棱柱ABC-中，底面ABC是以AC为

斜边的等腰直角三角形，侧面AAQC为菱形，点A在底面上的投影为AC的中点。，且

AB=2.

B

⑴求证：BD±CC,；

(2)求点C到侧面AA.B.B的距离.

3.（2024高三•全国•专题练习）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A3CD为矩形，侧面

为正三角形，AD=2,AB=3,平面R4T），平面ABCQ,E为棱尸5上一点（不与P,2重

合），平面ADE交棱PC于点尸.

（2）若二面角E-AC-8的余弦值为主画，求点2到平面AEC的距离.

20

4.（23-24高二下•广东广州•期中）如图，三棱柱ABC-所有棱长均为2,/<%2=60。,

侧面ACGA与底面ABC垂直，D、E分别是线段AC、CQ的中点.

（1）求证：AtC±BE.

（2）若点F为棱4cl上靠近用的三等分点，求点F到平面BDE的距离.

7.(2024・全国•模拟预测)如图，在直四棱柱ABC。-中，底面ABCD是直角梯形,

AB±BC,AD||BC,S_AB=BC=BBX=2AD=2.

(1)求证：A4,平面ABC；

(2)求点8到平面AC。的距离.

8.(202小陕西西安•模拟预测)在长方体ABC。-4月中，AD=^AB=1,E在线段CD

上，且满足DE=EC.

(1)求证：平面EBBX1平面AEAt；

(2)若异面直线与DCt所成角的余弦值为半，求到平面AED｝的距离.

9.(23-24高三下•陕西安康•阶段练习)如图，在多面体ABCDE中，A,B,E,。四点共面,

DA_L平面ABC,AB=AC=2,DA=—,EB=43,BE±DE,F为8C的中点.

2

(1)求证：平面平面BCE；

(2)求点E到平面ABC的距离.

10.(21-22高二上•北京•期中)在如图所示的几何体中，四边形A3c»为正方形，AFBE,

AF_L平面A8CD,且AB=3E=2AF=2.

(1)求证：AC//平面DEF；

⑵求直线AC与平面CDE所成角的大小；

⑶求点A到平面CDE的距离.

专题04点到平面的距离（典型题型归类训练）

目录

一、必备秘籍.............................................1

二、典型题型.............................................2

题型一：等体积法求点到平面的距离......................2

题型二：利用向量法求点到平面的距离....................4

三、专项训练.............................................6

一、必备秘籍

1、等体积法求点到平面的距离

（1）当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从

而快速解决体积问题，是一种常用数学思维方法

（2）在用变换顶点求体积时，变换顶点的原则是能在图象中直接找到求体积所用的高，有

时单一靠棱锥四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系（线面平行，

面面平行）转换顶点，如当线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同理面面平

行也可以变换顶点

2、利用向量法求点到平面的距离

如图，已知平面a的法向量为九，A是平面a内的定点，P是平面a外一点.过点尸作平面

&的垂线/,交平面”于点。，则"是直线/的方向向量，且点尸到平面a的距离就是AP

在直线/上的投影向量QP的长度.PQ=\AP—1=|-------1='---------

二、典型题型

题型一：等体积法求点到平面的距离

1.(23-24高三下•陕西西安•期中)如图，在圆台0Q中，4AB与为轴截面，AB=2AiBl=4,

/AAB=6O°,C为下底面圆周上一点，P为下底面圆。内一点，4E垂直下底面圆。于点E,

NCOF=ZEFO.

(1)求证：平面00cli平面AEF；

(2)若为等边三角形，求点E到平面4。P的距离.

【答案】⑴证明见解析；

(2)半.

【分析1(1)依题意可得EF//CO,即可得到EFH平面O0C,再由圆台的性质得到\EHOfl,

即可得到4石〃平面Q0C,从而得证；

(2)由/田0=%w利用等体积法求出点E到平面耳。尸的距离.

【详解】(1)因为NCOF=NEFO,所以EF//CO,

又屈F<Z平面O0C,COu平面O0C,所以EF〃平面O0C.

因为AE垂直下底面圆。于点E,。。垂直下底面圆。于点O,所以AE//。。，

又AEcz平面OQC,OQu平面O0C,

故AE〃平面OQC.

又AEcEF=E,AjE,£771^平面4石厂，

所以平面O.OCH平面AtEF.

(2)在等腰梯形中，易知AE=OE=1,所以AE=AEtan6(T=0.

所以！-EFOVAE-SAEFO=；.

易知4尸="2,OF=1,所以S*=；xlxj2mL

设点E到平面\OF的距离为h,

因为！*。=%一48，所以％.4。厂=；，

所以〃=叵，即点E到平面4。尸的距离为姮.

55

2.(2024•陕西安康•模拟预测)如图，在四棱台ABC。-44GA中，底面四边形ABCD为

菱形，ZABC=60°,AB=2AA[=2\BX,平面ABCD.

_______JDI

(，1)证明：BD±CQ；

⑵若四棱台ABC。-A4G。的体积为次1,求点A到平面CGRO的距离.

3

【答案】⑴证明见解析

(2)中

7

【分析】⑴由线面垂直的性质得到A4J网＞,由菱形的性质得到AC工班＞,即可得到切(1

平面ACC0,即可得证；

(2)设AB=2A4[=2A4=2a(a＞0),由棱台的体积公式求出“，取AD的中点",连接

RM、CM,即可得到平面ABCD,再由匕一师利用等体积法计算可得.

【详解】⑴在四棱台ABCD-aBCQ中，AVCG延长后必交于一点，故A,C，G，A共

面，

因为441_L平面ABCD,BDu平面A3CD,

所以44,J_B。，

连接AC,AC，因为底面四边形ABCD为菱形，故AC13D,

AAjcAC=AAA^ACu平面ACGA,

所以3。工平面ACGA，

因为CGu平面ACC0,所以Bmcq.

(2)设筋=2然=244=24(4>0),又ZABC=60。，

所以6L2s_=2xlx2ax2«xsin60"=2^，

贝！JS.RCn=—SABCD=

所以SA。。='x4x4x^^二46，贝1J匕CDO=%ACD--x4\/3x2=,

AZ7C22、A—C£z£z]±7]—ACL/3，3

取AD的中点M,连接RM、CM,

则4R//AM且AR=AM,所以4RMA为平行四边形，所以AA//RM,

又AX】_L平面ABCD,所以DiM±平面ABCD,

又MCu平面A3CD,所以。

因为ABCD为菱形且NABC=60。，所以AWC为等边三角形，

所以CM=J4?_22=2®，皿=’(4一2丫+2,=2应,1M=2,

所以CR=商+0厨=4,

所以S.c皿=gx2及小_(用=2币,

又匕—CDD]=%「ACD，

设点A到平面CG2。的距离为d,

所以gd-Sc皿则;dx2近=；x2x4石，

解得&=311,即点A到平面CCQQ的距离为WH.

77

TT

3.(2024•四川•模拟预测)如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为菱形，ZDAB=-,侧

面LSCD是边长为4的正三角形，SA=2V10.

(1)证明：平面SCD_L平面ABCD；

⑵求点A到平面SBC的距离.

【答案】⑴证明见解析；

(2呼.

【分析】(1)取C。中点E,通过证明SE，A£,SE，CD,即可由线线垂直证明线面垂直;

(2)根据匕_ABC=5-SBC，结合S3c的面积，即可由等体积法求得结果.

TT

易得SE_LCD,BELCD,因为AB=3C=4,ZDAB=-,

所以CE=2,ZBCD=-,NABE=B,故BE=SE=2«,

32

5L.AE1=AB-+BE2=28,SA=2710,

所以SA?=A£2+s£2,故在_LSE,

因为AEu平面ABC。，CDu平面ABC£>,AEcCD=E,

所以SEJL平面ABC。，又因为SEu平面SCD,

所以平面SCD1平面ABCD.

(2)由(1)知SE_L平面ABCD,且SE=20,

在，ASC中，AB=BC=4,

所以5AAsc=gABxBCxsin/ABC=（x4x4xsing=45/^,

故匕TBC/X%BCXSE=M8'2者=8-

在ASBC中，SC=BC=4,SB=dsE?+BE2=25

所以SB边上的高〃=.一（府=屈,

所以％sBc=gx2&xVIU=2后.

设点A到平面SBC的距离为d,

则匕一SBC=%.ABC，即gxS^cXd=8,解得』=?,

所以点A到平面SBC的距离为生叵.

5

4.（2024高三•上海•专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，24,平面A3CD,AB//CD,

PA=AB=2CD=2,/ADC=90,瓦尸分别为尸8,A5的中点.

(1)求证：CE〃平面

(2)求点B到平面PCF的距离.

【答案】⑴证明见解析

(2)半

【分析】(1)根据面面平行的性质定理，转化为证明平面CE尸//平面B4D,即可证明线

面平行；

(2)方法一，利用等体积转化%即可求点8到平面尸3的距离；方法二，

同样利用等体积转化匕＞-AFC=匕”“，即可求解.

【详解】(1)证明连接所,

E

DC

,:E,F分别为PB,AB的中点，，E尸〃总，

,直线斯不在平面PAD内，24匚平面夫40,二£7;7/平面巴4。，

•，-AB//CD,AB=2CD,AFI/CD,且AF=C£>.

二四边形ADCF为平行四边形，即CF〃AD,

,直线CP不在平面PAD内，ADu平面PAD,，Cr〃平面PAD,

EFCF=F,EF,CFu平面EFC,

二平面A4D7平面EFC,CEu平面£FC,则CE〃平面PAD.

（2）方法1：设5到平面PCF的距离为心

因为PA_L平面ABC。，所以P4LCF,

由于CD〃AF,CD=AF,所以四边形ADCP是平行四边形，

由于ZADC=90,所以CF1AB,由于ABcPA=A,A3,P4u平面PAB,

所以CF_L平面PAB,而P产u平面PAB,则CFJLPP,

由VB-PCF=V<?-PBF得3XS.PCFX/?=§xSPBFxCF,

即h-SPBFXCF_]BF义PAXCF_BFxPA_1x2_2小

22

S.PCF—CFxPFPFVl+25

2

方法2：ZADC=90,AB//CD,AB±AD,CF1AB,

又PA_L平面A3CD,二PA1CF,又AB=A,平面上钻，

CPI■平面R4B,而尸尸u平面E4B,，CF1PF.

CF=x,贝ISA”=；xlxx=：,SPCF=—x>j5xx=—x,

2222

设点A到平面尸C尸的距离为心由VpYFC=%“FC，

x—x2=—x^-x/z,贝!Jh=^^~.

32325

•・•点/为A3的中点，.•・点B到平面PCF的距离等于点A到平面PCF的距离为乎.

题型二：利用向量法求点到平面的距离

1.（23-24高三上•山东日照•期中）如图，尸为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AC为

（1）求证：平面平面板＞；

（2）若点M为线段尸0上的动点，当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，求此时点M

到平面ABE的距离.

【答案】⑴证明见解析

⑵也.

14

【分析】

（1）利用余弦定理与勾股定理推得/石，PC,再利用线面垂直与面面垂直的判定定理与性

质定理即可得证;

（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量表示得到关于4的表达式，从而求得4的值,

进而利用点面距离公式即可得解.

【详解】（1）

由圆锥的性质可知尸O人底面

因为ACu平面所以尸

又因为是底面圆的内接正三角形，由33,可得小半焉"C,

解得AC=2g\又AE=3,CE=6,

所以AC?=隹2+“2,即^/^。=90。，AELPC,

所以在RtAAEC中，cosNEAC—————。产=，

AC2V32

在△回尸中，由余弦定理：

EF2=AE2+AF2-2AE-AF-COSZEAF=9+--2-3----=~,

4224

所以E尸2+Ab2=A£2,故£7?，AC.

因为PO工底面ABD,尸Ou面PAC,所以平面R4CL平面ABD,

又EFu面PAC,AC=面PAC「,面ABD,EF1AC,故所上面ABD,

又EFu平面5ED,所以平面BED_L平面ABD；

(2)

易知PO=2EF=3,以点歹为坐标原点，FA,FB,用所在直线分别为x轴，y轴，z轴,

o，V°],E0,0,|

,P0,3,O,0,0,

<o/7、、

33百03当，丽uuu=(0,0,3),

所以A5=-^,-,0,AE=,DO=

22〒

I777

,n303八

AB-n=-----x+—y=0

22

设平面ABE的法向量为"=(x,y,z),则＜

4"3石上3n

22

令x=l,贝！|〃=(1,66),

，［，32，

^OM=2OP(0<A<l),可得。M=QO+OM=

乙7

n-DM|3后+2国

设直线DM与平面ME所成的角为0,则sin6=cos(n,DM

Z7||DMV7xj9—+3'

9万+124+4

即sin26=

7（322+l）If

令尸Q，T。』］,

12x+l4

则49

11441

XH--------F

12上16

12

49

当且仅当x+3=」半，即x=1时，等号成立，

12尤J2

12

无+

所以当工=:1时，＞二1f221有最大值4,

23%+1

"3、

即当4=51时，sin。的最大值为1,此时点M^-,0,-

所以MA=［百,0,-|

所以点M到平面ABE的距离_叵,

开一布F

故当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，点M到平面ABE的距离为叵.

14

2.（23-24高二上•山东济宁•期中）如图所示，正方体4G的棱长为3,动点出

在底面正方形Q4BC内，且M与两个定点。，A的距离之比为

⑴求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状;

(2)求动点M到平面AC的距离的取值范围.

【答案】①见解析

⑺4右-2n<心2白

(2)--------------<a<------

33

【分析】

(1)建立平面直角坐标系根据平面上轨迹的求法求解；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求点面距离，再由三角代换求取值范围即可.

【详解】(1)以。为坐标原点，0Aoe所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图,

设M(x,y)(JC>0,y>0),

MO1zb4+>2

由立方=彳，得/,。

2

化简得丁+>2+2苫-3=0,

即(x+l)2+y2=4(04x41,04y4后),

故曲线C是以(T,0)为圆心，2为半径的圆在正方形。LBC内一段圆弧以"

(2)以。为坐标原点，OAOCO。所在直线分别为x,%z轴建立平面直角坐标系，如图,

则4(3,0,0),C(0,3,0),&(0,0,3),

所以AC=(-3,3,0),AO1=(-3,0,3),

设平面QAC的法向量附=(x,y,z),

n•AC=-3x+3y=0

则-令％=1,贝Uv=i,z=l,故〃=(LLD,

h•AO】=-3x+32=0

由(1)可设M(a,b,O),其中(^+叶+/=4(0WaWl,0W6W也),

贝ljAM=("3,6,0),

设M到平面QAC的距离为d，

\n-AM\\a-3+b\3-(a+Z?)

TT

由(1)可令a+l=2cose,Z?=2sine,其中

则〃+〃=2cos6+2sin0—1=2后sin(8+-1,

因为凡we+工(办，所以Xiwsin[o+巴]Wl,

44122I4)

i—.।4A/3—2A/63—(a+b)2A/3

即Rn14a+642近一1，所以^-----<—

3y/33

故迪F后巫

33

【点睛】关键点点睛：第二问中求圆弧上动点到平面距离范围时，首先利用向量法表示出动

点到面的距离是解题的第一个关键点，再根据圆的性质进行三角代换求距离的取值范围是第

二个关键点，本题难度较大，属于难题.

3.(2023•山东潍坊•三模)如图，尸为圆锥的顶点，0是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，

为底面圆。的内接正三角形，且边长为有，点E在母线PC上，且AE=VLCE=1.

(2)求证：平面3£D_L平面板>

⑶若点"为线段尸。上的动点.当直线与平面4组所成角的正弦值最大时，求此时点

V到平面ABE的距离.

【答案】⑴证明见解析

(2)证明见解析

喈

【分析】（1）设AC交8。于点/，连接EP,利用三角形相似证得跖工AC,从而证得

PO//EF,进而证得直线尸。/平面BDE；

（2）通过平面证得上平面所以平面3即_1_平面MD；

（3）建立空间直角坐标系，^OM=20P（0<2<1）,通过向量和平面ABE的法向量建

立直线八暇与平面梃所成角的正弦值的关系式，并利用基本不等式，即可求最值.

【详解】（1）如图，设AC交班）于点/，连接班由圆锥的性质可知PO1底面加，

3

又因为是底面圆的内接正三角形，由AO=g,可得A/=],

AD

=AC解得AC=2，

sin60°9

又AE=6,CE=1,所以AC?=A£；2+C£2,即ZA£C=90。，AEYPC,

又因为竺=竺=正，所以—ACES/ARE,

ACAE2

所以/AFE=NAEC=90。，即EV1AC,

又尸O,AC,EFu平面PAC,直线EF〃尸O,尸OU平面比）E,EFu平面BDE,

所以直线尸。，平面也定.

（2）因为PO〃E£PO_L平面ABD,所以£F工平面ABD,

又EFu平面3即，所以平面BED_L平面战）；

（3）易知PO=2EF=6,以点P为坐标原点，E4,FB,FE所在直线分别为％轴，V轴，z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则呜,0,0

所以42=

U2424

设平面ABE的法向量为"=(x,y,z),

AB,n=—x+y=0

则22令％=1,则〃=（l,g,石）,

3

AE•ri——x+z=0

t22

设OM=XOP(OW2〈1),可得。M=OO+OM=—,732

设直线ZMf与平面71BE所成的角为0,

ri-DM|32+2|

则sin0=cos（",DM

,7IIDMg，3J+l'

9A2+122+41<122+1

BPsin23==-3+

7（322+l）73/l2+lJ，

12x+l

令>=

3X2+1

11

x----XH------

12x+l4

y=---------=412二412

则3x2+lx2+；11~49

x-\----------J+N-1

121214

12J6

12

<=4

49、

144£

16

Xd------

127

12x+1

当且仅当X时,等号成立'所以当x时,y=岩三有最大值4,

3%+1

即当几=1时，sin。的最大值为1,此时点“

2

所以M一A=（1,0,一⑻十，

所以点加到平面ABE的距离八阿J"'-⑹.近，

斤-丁-瓦

故当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，点M到平面ABE的距离为五.

14

4.（23-24高三下•江苏连云港•阶段练习）如图，直四棱柱A3C。-4月£。的底面为平行

四边形，出,^^分别为4艮。口的中点.

（1）证明：。0//平面42"；

（2）若底面A3C。为矩形，AB^2AD^4,异面直线ZM/与AN所成角的余弦值为巫，求

5

。到平面ABN的距离.

【答案】⑴证明见解析

⑵当

3

【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由向量的夹角得异面直线所成的角求得AA的长，

然后由空间向量法求点面距.

【详解】（1）连接A与，交48于点E,连接NE,ME,

则E为4B的中点,

因为M为A8的中点，所以ME7/AA，且=

因为N为。A的中点，所以zw//4幻次二:①，

所以ME//DN,豆ME=DN,

所以四边形EMDN为平行四边形，

所以EN//DM,

又因为OWN平面ABMENu平面48N,

所以m///平面ABN；

(2)由题意(1)及几何知识得，

在直四棱柱ABCD-ABIGR中，AB=2AD=4,

AB,AD,A4,两两垂直，以A为坐标原点，分别以AB,仞,招所在直线为x轴、y轴、轴建立如

图所示的空间直角坐标系.

设朋=2t(t>0),

则3(4,0,0),0(0,2,0),A(0，°，2r),M(2,0,0),N(0,2j),4(4,0,2t),

故DM=(2,-2,0),AN=(0,2,V),

设异面直线DM与AN所成角为。，

贝Ucos0=1|cosDM,\N1\=J"：；[=/%=-7=^=萼,

阿也叫曲2+(一2»百+5VW5

解得：t=l,

故A(0,0,2),N(0,2,1),。(0,2,0)

则\B=(4,0,-2),AN=(0,2,-1),BD=(T,2,0)

设平面ABN的一个法向量为〃=(x,y,z),

。到平面ABN的距离为"，

A^B-n=0,(4x—2z=0,,、

所以—即cc取z=2,得力=1,1,2).

A,N-n=0,[2y-z=0,

|BD-n|_|-4xl+lx2+0x2|_而

所以d=

\n\jF+F+22I

即耳到平面4BN的距离为逅.

3

三、专项训练

1.（2024•青海•模拟预测）如图，在三棱锥尸-ABC中，AC,平面E、尸分别为3C、

PC的中点，S.PA=AC=2,AB=1,EF=—.

2

（1）证明：平面PAC.

⑵求C到平面AEF的距离.

【答案】⑴证明见解析

⑵*

3

【分析】（1）先利用勾股定理得出再利用AC,平面PAB,证A5人AC,最后

根据线面垂直的判定定理即可证明平面PAC；'

（2）根据已知条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求距离即可.

【详解】（1）因为E、b分别为8C、PC的中点，所以EF为PBC的中位线，

所以PB//EF,PB=1EF,因为£F=或，所以良=后；

2

在，中，PA=2,AB=l,PBf，所以+四2=心2,

所以/B4B=90。，即

因为AC_L平面PAB,ASu平面PAB,所以ABSAC；

又上4u平面PAC,ACu平面PAC,PAAC=A,所以ABJ,平面PAC.

(2)

由（1）可知AB、AC、AP两两垂直，

建立如图所示分别以AB、AC、针为％、V、z轴的空间直角坐标系,

4（0,0,0）,EQ，1，。]，F（0,1,1）,C（0,2,0）,

AC=（0,2,0）,=AF=（O,l,l）,

/、AEn=0

设平面的'的法向量为力=（4如4）,则有，

AF•〃=0

即+令％=1,则占=-2,z1=-l,所以〃

%+4=0

IAC-n|o

设C到平面但的距离为d,贝”[=^^=彳=也.

\n\V63

2.（23-24高二下•上海金山•期中）如图，在三棱柱ABC-A81G中，底面A3C是以AC为

斜边的等腰直角三角形，侧面A41cle为菱形，点4在底面上的投影为AC的中点D,且

AB=2.

⑴求证：BD±CCl；

（2）求点C到侧面AA.B.B的距离.

【答案】⑴证明见解析

（2）组

7

【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直即可;

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.

【详解】（]）由点4在底面A3C上的投影为AC的中点。，知4。，平面ABC,

又BDu平面ABC,

ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，」.AC，8D,

A。cAC=D，Ar）,ACu平面ACGA,二台/），平面ACCIA,

CGU平面ACC[4,BD1CCj.

（2）A,D±AC,。是AC中点，侧面A41GC是菱形，，AC=4A=AC,

一ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AB=2,

：.DB=DA=DC=y/i，D%=屈,

由（1）知直线D3,DC,两两垂直，

.•・以。为坐标原点，DB,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标

系，如图，

则。(0,0,0),A(0,-后,0),可志,0,0),C(0,也,0),4(0,0,

则AB=(0,应,0),A4=(0,72,76),AC=(0,2A/2,0),

设平面AA.B.B的一个法向量为n=(x,y,z),

n-AB=A/2X+y/2y=0(「「\

则「/，取Z=l,得”=返,一6,1

n-A4j=\J2y+J6z=0

|AC-/?|2A/4^

•・・点C到平面的距离为：d=_丁=¥=£?.

AC|.|/7V77

3.（2024高三・全国,专题练习）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A3CD为矩形，侧面24。

为正三角形，AD=2,AB=3,平面PAD_L平面ABCD,E为棱产8上一点（不与P,2重

合），平面ADE交棱PC于点E

p

⑴求证：AD//EF；

⑵若二面角E-AC-5的余弦值为之叵,求点8到平面A£C的距离.

【答案】⑴证明见解析

⑺3M

10

【分析】(1)由线面平行的性质定理证明线线平行；

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角确定E点位置，再由空间向

量法求点面距.

【详解】⑴证明：因为四边形A3CD为矩形，所以AD//BC.

又ADU平面PBC,3。匚平面尸3(7,

所以AD//平面P3C.

又平面E?Cc平面AEFD=£F,ADu平面AEFD,

所以AD//EF.

(2)如图，取的中点O,连接P。，取3C的中点G,连接。G,则OGLAD.

因为侧面PAD为正三角形，所以尸O_LA。.

因为平面R4Z)_L平面ABCD,平面PAOc平面ABCD=AD,尸Ou平面PAD,所以PO工

平面A5CD

又OGu平面ABCD,所以尸O_LOG,

以。为坐标原点，OAOG,。尸所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图,

因为AD=2,且侧面PAD为正三角形，所以20=6.

又钻=3,所以A(l,0,0),8(1,3,0),C(-l,3,0),P(0,0,退)

AB=(0,3,0),PB=(1,3,一道),AP=(-1,0,43),AC=(-2,3,0),

设PE=fPB，显然fe(0」)，

所以AE=A尸+PE=AP+/PB=(-1,0,g)+*1,3,-73)=(/-1,3t,6-8),

设平面AEC的一个法向量为机=(x,y,z),

则m-ML=(t-l)x+3ty+(y/3--j3t)z=0

m•AC=—2x+3y=0

取x=3得y=2,z=®^,则)=(3,2,迫丝3),

取平面BAC一个法向量为〃=(0,0,1),

石(31)

3屈.._,(3f-l)22

।It-1B

则COSW=＞旨==三7,化间付EF=9'斛将'二屋

所以加=(3,2,-36)，所以AE=(-g,2,

1ni

BE=AE-AB=(--,2^)~(0,3,0)=(--,-1,

BErm|-1-2-3|_3A/T0

所以点B到平面诋的距离为一

\m\A/9+4+2710

4.(23-24高二下•广东广州•期中)如图，三棱柱ABC-AqG所有棱长均为2,ZC,CA=60°,

侧面ACC