2024-2025学年北师版九年级数学上学期 期末综合模拟测试卷1

2024-2025学年北师版九年级数学上学期期末综合模拟测

试卷

说明:本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器，答题时间90分钟满分100分

一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分）

1.一元二次方程x2+4x=0的一根为x=0,另一根为（）

A.x=2B.x=-2C.x=4D.x=-4

2

2.若反比例函数y=4的图象经过点（-2,m）,那么m的值为（）

x

A.1B.-1C-D,--

22

3把一个正六棱柱如右图水平放置,一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是

()

B

4.小明和小颖做"剪刀、石头、布”的游戏，假设他们每次出这三种手势的可能性相同，则在

一次游戏中两人手势相同的概率是（）

4BlD|

5.如图,MBC中点D,E分别在AB,AC边上,DE〃BC,若AD=2DB,

则AADE与AABC的面积比为（)

D

B?qI（第5题图）

6.下列四个表格表示的变量关系中，变量y是x的反比例函数的是（）

7.在平面直角坐标系中，将四边形OABC四个顶点的横坐标、纵坐标分别乘-2,依次连接得到

的四个点,可得到一个新四边形，关于所得四边形，下列说法正确的是（）

A与原四边形关于x轴对称B.与原四边形关于原点位似，相似比为1:2

C.与原四边形关于原点中心对称D.与原四边形关于原点位似，相似比为2:1

8,股市规定:股每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停:

当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停，现有一支股票某天涨停，之后两天时间又跌回到

涨停之前的价格.若这两天此股票股价的平均下跌率为x,则x满足的方程是（）

A.(1+10%)(1-x)2=1B.(1-10%)(1+X)2=1

C.(1-10%)(1+2x)=1D.(1+10%)(1-2x)=1

9.如图是一个几何体的三视图厕该几何体可能是下列的（）

□%血0A°□

10.书画经装后更便于收藏，如图，画心ABCD为长90cm、宽30cm的

矩形,装裱后整幅画为矩形Z'B'C'。',两矩形的对应边互相平行，且AB

与A'B的距离、CD与C'。'的距离都等于4cm.当AD与的距离、

BC与B'C'距离都等于acm,且矩形ABCD・矩形时,整幅书

画最美观,此时,a的值为（）

A.4B.6C.12D.24

二、填空题（本大题含5个小题，每小题2分，共10分）

3

11.反比例函数j=--的图象位于坐标系的第象限.

x

12.如图，两张宽均为3cm的矩形纸条交又重叠在一起，重叠的部分为四

D

边形ABCD.若测得AB=5cm,则四边形ABCD的周长为cm.

C

13.如图，正五边形ABCDE的各条对角线的交点为M,N,P,QR,它们分

别是各条对角线的黄金分割点，若AB=2,则MN的长为

14新年期间，某游乐场准备推出幸运玩家抽奖活动,其规则是:在一个不透明的袋子里装有若

干个红球和白球（每个球除颜色外都完全相同）,参加抽奖的人随机摸一个球，若摸到红球，则可

获赠游乐场通票一张.游乐场预估有300人参加抽奖活动,计划发放游乐场通票60张,则袋中

红、白两种颜色小球的数量比应为

40

15.如图，点A,C分别在反比例函数.y=--（x<0）与y='（x>0）

xx

的图象上，若四边形OABC是矩形，且点B恰好在y轴上，则点B的

坐标为（第15题图）

三、解答题（本大题含8个小题，共60分）

16.解下列方程:（每题4分，共8分）

(1)X2-8X+1=0;

(2)x(x-2)+x-2=0

17.（本题6分）已知矩形ABCD,AE平分NDAB交DC的延长线于点E

过点E作EFl.AB,垂足F在边AB的延长线上,求证:四边形ADEF是

正方形.

18.(本题9分)花园的护栏由木杆组成，小明以其中三根等高的木杆为观

测对象，研究它们影子的规律图1,图2中的点A,B,C均为这三根木杆的

俯视图(点A,B,C在同一直线上).

(1)图1中线段AD是点A处的木杆在阳光下的影子,请在图1中画出表示另外两根木杆同一

时刻阳光下的影子的线段；

⑵图2中线段AD,BE分别是点A,B处的木杆在路灯照射下的影子，其中DEllAB,点。是路

灯的俯视图,请在图2中画出表示点C处木杆在同一灯光下影子的线段；

⑶在⑵中，若0,A的距离为2m,AD=2.4m,OB=1.5m,则点B处木杆的影子线段BE的长为

_________m

19.(本题6分)王叔叔计划购买一套商品房，首付30万元后，剩余部分用贷款并按"等额本金"

的形式偿还，即贷款金额按月分期还款，每月所还贷款本金数相同，设王叔叔每月偿还贷款本

金y万元,x个月还清，且y是x的反比例函数，其图象如图所示

(1)求y与x的函数关系式；

(2)王叔叔购买的商品房的总价是万元；

(3)若王叔叔计划每月偿还贷款本金不超过2000元，则至

少需要多少个月还清？

20.（本题6分）新年联欢会，班里组织同学们进行才艺展示,如图所

示的转盘被等分成四个扇形，每个扇形区域代表一项才艺：1-唱歌

2-舞蹈；3-朗诵；4-演奏.每名同学要随机转动转盘两次,转盘停

止后，根据指针指向的区域确定要展示的两项内容（若两次转到同

一区域或分割线上，则重新转动，直至得出不同结果）.求小明恰好展示"唱歌"和"演奏"两

项才艺的概率.

21.（本题6分）为了弘扬山西地方文化，我省举办了"第三届山西文化博览会"，博览会上一种

文化商品的进价为30元/件，售价为40元/件，平均每天能售出600件.调查发现,售价在40

元至60元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其每天的销售量就减少10件,为使这种商品

平均每天的销售利润为10000元，这种商品的售价应定为多少元?

22.(本题12分)综合与实践:

问题情境:

如图1,矩形ABCD中,BD为对角线,—=k，且k>1.将AABD

AB

以B为旋转中心按顺时针方向旋转彳导到△FBE(点D的对应点为

点E,点A的对应点为点F),直线EF交直线AD于点G

(1)在图1中连接AF,DE,可以发现在旋转过程中存在一个三角

形始终与SBF相似,这个三角形是，它与AABF的相似比为(用含k的式子表示);

数学思考：

(2)如图2,当点E落在DC边的延长线上时，点F恰好落在矩形ABCD

的对角线BD上，此时k的值为

实践探究

(3)如图3,当点E恰好落在BC边的延长线上时,求证:CE=FG;

B

4

⑷当k=-时在AABD绕点B旋转的过程中探究下面的问题:

3

请从A,B两题中任选一题作答：

A:当AB的对应边FB与AB垂直时，直接写出—的值.

AB

B:当AB的对应边FB在直线BD上时，直接写出—的值

AB

23.体题12分)如图1,平面直角坐标系中,AOAB的顶点A,B的坐标分别为(-2,4)、(-5,0).将△

OAB沿0A翻折，点B的对应点C恰好落在反比例函数y=-(b0)的图象上

(1)判断四边形OBAC的形状，并证明.

(2)直接写出反比例函数v=幺(kHO)的表达式.

X

(3)如图2,将AOAB沿y轴向下平移得到AOAB,设平移的距离为m(0<m<4),平移过程中△

CTAB与AOAB重叠部分的面积为S.探究下列问题

请从A,B两题中任选一题作答，我选择

A:若点B的对应点B，恰好落在反比例函数y=幺(丘0)的图象上，求m的值,并直接写出此

X

时s的值

B:若S=gsA。dB，求m的直

(4)如图3,连接BC,交A0于点D,点P是反比例函数y=-(k/0)的图象上的一点,

X

请从A,B两题中任选一题作答，我选择

A:在x轴上是否存在点Q使得以点O,D,P,Q为顶点的四

边形是平行四边形?若存在，直接写出所有满足条件的平

行四边形的顶点P,Q的坐标;若不存在，说明理由；

B:在坐标平面内是否存在点Q,使得以点A,O,P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在，直接写出所

有满足条件的点Q的坐标;若不存在，说明理由

参考答案

说明:本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器，答题时间90分钟满分100分

一、选择题(本大题含10个小题，每小题3分，共30分)

1.一元二次方程x2+4x=0的一根为x=0,另一根为()

A.x=2B.x=-2C.x=4D.x=-4

【答案】D

2

【解析】Vx+4x=0/.x(x+4)=0/.Xj=0,x2=-4.

2

2.若反比例函数y=4的图象经过点(-2,m),那么m的值为()

x

A.1B.-1C-D,--

22

【答案】B

22

【解析】..反比例函数y=*的图象经过点(-2,m).“==:.m=-l

x-2

3.把一个正六棱柱如右图水平放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是

()

ABC0

【答案】B

4.小明和小颖做"剪刀、石头、布”的游戏，假设他们每次出这三种手势的可能性相同，则在

一次游戏中两人手势相同的概率是()

A-B-C-D-

3693

【答案】A

【解析】

开始

布

，J镇剪子

/T\

小明剪子石头布剪子石头布剪子布

共有9种等可能的结果，在一次游戏中两人手势相同有3种情况

二在一次游戏中两人手势相同的概率是23=-1

93

5.如图,AABC中，点D,E分别在AB,AC边上,DE〃BC若AD=2DB则

△ADE与AABC的面积比为（）

ABD

t?彳l（第5题图）

【答案】B

【解析】•."DEllBC,.-.△ADE-MBC,.•.也匹_=（殁）2=（2）2=3

^AABC研3-9

6.下列四个表格表示的变量关系中，变量y是x的反比例函数的是（）

【答案】C

【解析】根据反比例函数的自变量与相应函数值的乘积是常数，可得答案

7.在平面直角坐标系中，将四边形OABC四个顶点的横坐标、纵坐标分别乘-2,依次连接得到

的四个点,可得到一个新四边形，关于所得四边形，下列说法正确的是（）

A与原四边形关于x轴对称B.与原四边形关于原点位似，相似比为1:2

C.与原四边形关于原点中心对称D.与原四边形关于原点位似，相似比为2:1

【答案】D

【解析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形

对应点的坐标的比等于k或-k.

8,股市规定:股每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停:

当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停，现有一支股票某天涨停，之后两天时间又跌回到

涨停之前的价格.若这两天此股票股价的平均下跌率为x,则x满足的方程是（）

A.(1+10%)(1-x)2=1B.(1-10%)(1+行=1C.(1-10%)(1+2x)=1

D.(1+10%)(1-2x)=1

【答案】A

【解析】（1+10%）（1-x）2=1;

9.如图是一个几何体的三视图，则该几何体可能是下列的（）

□□□0WO刁0勺

【答案】A

【注意】左视图左内右外

10.书画经装后更便于收藏，如图，画心ABCD为长90cm、宽30cm的

矩形,装裱后整幅画为矩形,两矩形的对应边互相平行，且AB

与A'B的距离、CD与CD'的距离都等于4cm.当AD与4。的距离、

BC与BC距离都等于acm,且矩形ABCD・矩形时,整幅书

画最美观,此时,a的值为（）

A.4B.6C.12D.24

【答案】C

ABBC.9030

【解析】•.矩形ABC"矩形a=12

~AB'^C7"90+2a30+2x4

二、填空题（本大题含5个小题，每小题2分，共10分）

3

11.反比例函数j=--的图象位于坐标系的第象限

x

【答案】二、四

【解析】

当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大

而减小；

当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大

而增大；

两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.

12.如图，两张宽均为3cm的矩形纸条交又重叠在一起，重叠的部分为四

边形ABCD.若测得AB=5cm,则四边形ABCD的周长为cm.

【答案】20

【解析】过点A作AELBC于E,AFLCD于F,

,.,两条纸条宽度相同，，AE=AF.

：AB〃CD,AD〃BC,...四边形ABCD是平彳亍四边形.

：S°ABCD=BC・AE=CD・AF.AE=AF.；.BC=CD,...四边形ABCD是菱形.

.菱形四边相等...四边形ABCD的周长为4AB=20

13如图，正五边形ABCDE的各条对角线的交点为M,N,P,QR,它们分

别是各条对角线的黄金分割点，若AB=2,则MN的长为

【答案】3

AM-1DM3-45

【解析】:M为线段AD的黄金分割点，=

AD2DA2

DN3-V5MNDM

同理可得”=土上：NMDN=NADB，AMND〜A4O5..丝上=也即

DB2ABDA

MN3-V5r

=：.MN=3-y/5

22

14新年期间，某游乐场准备推出幸运玩家抽奖活动,其规则是:在一个不透明的袋子里装有若

干个红球和白球（每个球除颜色外都完全相同）,参加抽奖的人随机摸一个球，若摸到红球，则可

获赠游乐场通票一张.游乐场预估有300人参加抽奖活动,计划发放游乐场通票60张,则袋中

红、白两种颜色小球的数量比应为

【答案】1:4

【解析】设红球m个，白球y个，根据大量反复试验下频率稳定值即概率可得改=上一

300m+n

化简得4m=n

•••袋中红、白两种颜色小球的数量比应为m:n=1:4

15.如图,点人工分别在反比例函数了=-（x<0）与尸，（x>0）\

的图象上，若四边形OABC是矩形，且点B恰好在y轴上厕点B的//；/'

坐标为_____________一X

（第15题图）

【答案】B（0,空J

6

【解析】如图，作AD，x轴,垂足为D,CEJ_x轴，垂足为

E.

约定-■土］,（m<0,n>0）

_4_

由k字形结论可得丝=型即，1=:

丁化简得mn=-6

OECEn

n

xB=m+n-0=Q

再根据平行四边形坐标特点相邻之和减相对可得49

力=——+——0A

mn

.R=—跖〃=跖3-卷+》粤

苧）

6

三、解答题（本大题含8个小题，共60分）

16.解下列方程:（每题4分，共8分）

（1）X2-8X+1=0;

解：移项得：X2-8X=-1

配方得：X2-8X+42=-1+42

即（x-4）2=15

直接开平方得x-4=±而

•••原方程的根为X1=4+A/15,X2=4-V15

（2）x（x-2）+x-2=0

解：提取公因式（x-2）得（x-2）（x+1）=0

原方程的根为七=2,々=-1

17.（本题6分）已知矩形ABCD,AE平分NDAB交DC的延长线于点E

过点E作EFl.AB,垂足F在边AB的延长线上,求证:四边形ADEF是

正方形.

【解析】•.矢巨形ABCD..ND=NDAB=90°,•.EF±AB.-.zF=90°

二四边形ADEF是矩形

".zD=90°.-.ED±DA

.AE平分NDAB,EF±AB/.ED=EF

四边形ADEF是正方形

18.（本题9分）花园的护栏由木杆组成，小明以其中三根等高的木杆为观

测对象，研究它们影子的规律图L图2中的点A,B,C均为这三根木杆的

俯视图（点A,B,C在同一直线上）.

（1）图1中线段AD是点A处的木杆在阳光下的影子,请在图1中画出表示另外两根木杆同一

时刻阳光下的影子的线段；

（2）图2中线段AD,BE分别是点A,B处的木杆在路灯照射下的影子，其中DEIIAB,点。是路

灯的俯视图,请在图2中画出表示点C处木杆在同一灯光下影子的线段；

⑶在（2）中，若QA的距离为2m,AD=2.4m,OB=1.5m,则点B处木杆的影子线段BE的长为

m

【解析】（1）如图1,线段BE,CF即为所求（太阳光是平行光，考查平行投影）

（2）如图2,线段CG即为所求；（考查点投影）

(3)1.8

r)A

­.DE//AB.'.—==—即———=————--=———BE=1.8m

0DOEOA+ODOB+BE2+2.41.5+BE

19.(本题6分)王叔叔计划购买一套商品房，首付30万元后，剩余部分用贷款并按"等额本金"

的形式偿还，即贷款金额按月分期还款，每月所还贷款本金数相同，设王叔叔每月偿还贷款本

金y万元,X个月还清，且y是x的反比例函数，其图象如图所示

(1)求y与x的函数关系式；

(2)王叔叔购买的商品房的总价是万元；

(3)若王叔叔计划每月偿还贷款本金不超过2000元，则至

少需要多少个月还清？

【解析】⑴设y与x之间的函数关系式为y=勺(k^O).

X

根据题意彳导点(120,0.5)在y=-的图象上,,0.5=上解得k=60

x120

,­,y与x之间的函数关系式为v=—(x>0)

X

(2)90;

..王叔叔每月偿还贷款本金y万元,X个月还清.•.贷款金额xy=60万元

王叔叔购买的商品房的总价为首付与贷款金额的和即30+60=90(万元)

⑶2000元=0.2万元

根据题意彳导y=0.2,x=300

由图，y42000的图像位于II区域即X2300

..•至少需要300个月还清.

In

20.(本题6分)新年联欢会，班里组织同学们进行才艺展示,如图所

示的转盘被等分成四个扇形，每个扇形区域代表一项才艺：1-唱歌

2-舞蹈；3-朗诵；4-演奏.每名同学要随机转动转盘两次,转盘停

止后，根据指针指向的区域确定要展示的两项内容(若两次转到同

一区域或分割线上，则重新转动，直至得出不同结果).求小明恰好展示“唱歌"和"演奏"两

项才艺的概率.

【解析】转动转盘两次所有可能出现的结果列表如下:

第二次34

辑一次12

](1,2)CL3)(L4)

2(2.0(33〉(2.4)

G,1)32)(3,4》

43.__|

.(4,1)(4.2)(%3〉

由列表可知共有12种结果，每种结果出现的可能性相同

小明恰好展示"唱歌"和"演奏”才艺的结果有2种:(1,4),(4,1)

71

所以小明恰好展示"唱歌"和"演奏”才艺的概率是e=乙

126

21.(本题6分)为了弘扬山西地方文化，我省举办了“第三届山西文化博览会”，博览会上一种

文化商品的进价为30元/件，售价为40元/件，平均每天能售出600件.调查发现,售价在40

元至60元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其每天的销售量就减少10件,为使这种商品

平均每天的销售利润为10000元，这种商品的售价应定为多少元？

解:设这种商品的涨价x元，根据题意彳导

(40-30+x)(600-1Ox)=10000

即(10+x)(60-x)=1000

(10+x)+(60-x)=70(20+50=70,20x50=1000)

解得XI=10,X2=40

..售价为40+10=50或40+40=80

••售价在40元至60元范围内.•.售价应定为50元

答:售价应定为50元.

22.体题12分）综合与实践：

问题情境：

如图1,矩形ABCD中,BD为对角线,——=k，且k>1.将SBD

AB

以B为旋转中心，按顺时针方向旋转彳导到"BE（点D的对应点为

点E,点A的对应点为点F）,直线EF交直线AD于点G

（1）在图1中连接AF,DE,可以发现在旋转过程中存在一个三角

形始终与SBF相似,这个三角形是，它与AABF的相似比为（用含k的式子表示）;

【答案】（1）ADBE;VF+1:1

【解析】本题考查子母牵手模型

由旋转性质可得△ABD学FBE

.-.BA=BF,BD=BE,ZABD=ZFBE

—=—,ZABF=ZDBE.-.MBF-^DBE

BDBE

嗡-BE与MBF相似比为着彳

数学思考：

（2）如图2,当点E落在DC边的延长线上时，点F恰好落在矩形ABCD

的对角线BD上，此时k的值为

【答案】V3

【解析】由旋转性质可得AABD率FBE

.'.BD=BE,AD=FEv矩形ABCD..AD=BC.-.EF=BC

•/BD・FE=DE,BC（等面积转换），BD=DE...等边三角形BDE

Qn60。

实践探究

(3)如图3,当点E恰好落在BC边的延长线上时,求证:CE=FG;

【解析】(首推方法2)

方法1：常规法

设EF与BD交于点0

由旋转性质可得AABDVAFBE，NADB=NFEB,BD=BE,AD=FE,

..四边形ABCD是矩形,AD〃BC,AD=BC..NADB=NDBC/FEB=NEGD

NADB=NEGD/FEB=NDBC

0D=OG,OE=OB

OD+OB=OG+OE,即BD=GE

.BD=BE..BE=EG

•.CE=BE-BC,GF=GE-EF,E且BC=AD=FF

.-.CE=GE

方法2面积法

由旋转性质可得AABD%FBE「.NBAD=NBFE,BA=BF,AD=FE,

..四边形ABCD是矩形AD〃BC,AB=DC

S^BDE=S\BGE■■BE.DC=GE*BF

.BA=BF,AB=DU.DC=BF，BE=GE

•.CE=BE-BC,GF=GE-EF,E且BC=AD=FF

.-.CE=GE

4

⑷当k=-时在SBD绕点B旋转的过程中，利用图4探究下面的问题

3

请从A,B两题中任选一题作答，我选择

A:当AB的对应边FB与AB垂直时，直接写出生的值.

AB

17

【答案】―或―

33

【解析】如图

B:当AB的对应边FB在直线BD上时，直接写出——的值

AB

【答案】3或"

63

【解析】如图

情况1:

AF)FD.4

cosZADB=———:.GD=-m

BDGD,'5GD2

5

nc—m

DG二？5

AB3m6

3m

23.(本题12分)

如图1,平面直角坐标系中,AOAB的顶点A,B的坐标分别为(-2,4)、(-5,0).将AOAB沿OA翻

折，点B的对应点C恰好落在反比例函数.v=-(b0)的图象上

(1)判断四边形OBAC的形状，并证明.

【解析】(1)四边形OBAC是菱形

证明:过点A作AEx轴于点E

■.A(-2,4).-.OE=2,AE=4-.B(-5,0)/.BE=OB-OE=3

在RMABE中,由勾股定理得AB=yjAE2+BE2=5

AB=BO

••"AAOB沿AO折叠，点B的对应点是点C.-.AB=AC,OB=OC.-.AB=OB=AC=OC.

..四边形OBAC是菱形

(2)直接写出反比例函数v=&(kHO)的表达式.

X

【答案】歹=上12

x

【解析】％二猫+%-马二-2+0-(-5)=3/c=外+%-为=4+0-0=4

AC(3,4)

・・・C恰好落在反比例函数y=£的图象上.•.4=£.♦.左=12・・.y=上

x3x

⑶如图2,将2AB沿y轴向下平移得到△0AB,设平移的距离为m(0<m<4),平移过程中△

O，AB与AOAB重叠部分的面积为S.探究下列问题

请从A,B两题中任选一题作答，我选择

A:若点B的对应点B，恰好落在反比例函数y(丘0)的图象上，求m的值,并直接写出此

x

时S的值

【解析】连接BB'

△OAB沿y轴向下平移得到AOA'B',

BB'lly轴,BB'=m

12

•.8(-5,0)二点歹的横坐标为-5将*=-5代入了=匕得丫=24

x

B'(-5,-2,4),BB,=2.4,即m=2.4

求m的值；

【解析】连接AA，并延长AA'交x轴于点H,设AB,A'O'交

OB

于点M,N则AA'=m,

由平移可知NMAN=NBAO,AH，OB,A'MilAB,

."A'MNSAABO

1,A'H_1

AH=4,

S“B。2"AHV2

A'H=2V2

..AA'=AH-A'H=4-2立即m=4-2A/2

⑷如图3,连接BC,交AO于点D,点P是反比例函数y=-(kHO)的图象上的一点,

X

请从A,B两题中任选一题作答，我选择

A:在x轴上是否存在点Q使得以点O,D,P,Q为顶点的四

边形是平行四边形?若存在，直接写出所有满足条件的平

Bx

行四边形的顶点P,Q的坐标;若不存在，说明理由;

【答案】存在，点P与Q的坐标如下:

Pi(6,2)与Qi(7,0);P2(6,-2)与Q2(-7,0);P3(-6,-2)与Q3(-7,0);

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【解析】由题意D为AO中点「A(-2,4).'.D(-1,2)设Q(t,0