2023中考数学常见几何模型《最值模型-将军饮马》含答案解析

专题09最值模型…将军饮马

最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需

掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主,

中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方

便掌握。

在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法

还有:利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”

等。

模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）

【模型解读】在一条直线机上，求一点P,使融+尸5最小;

（1）点A、5在直线机两侧：（2）点A、5在直线同

侧：

A*

*

B

-------------------------•m

【最值原理】两点之间线段最短。上图中/’是A关于直线机的对称点。

例1.（2022,湖南娄底•中考真题）菱形ABCD的边长为2,NABC=45。，点？、。分别是BC、

BD上的动点，CQ+P。的最小值为.

例2.（2022•四川眉山,中考真题）如图，点?为矩形4BCD的对角线AC上一动点，点£为BC

的中点，连接产£,PB,若AB=4，BC=46,则PE+阳的最小值为.

例3.（2022•贵州铜仁•中考真题）如图，在边长为2的正方形ABC。中，点E为A。的中点，

将ACDE沿CE翻折得ACME,点M落在四边形4BCE内.点N为线段CE上的动点，过点

N作NP//EM交MC于点P,则MN+NP的最小值为.

例4.（2022•江苏南京•模拟预测）【模型介绍】

古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸

同侧的两个军营A8.他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营.如图①，他时

常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决

了这个问题.如图②，作点B关于直线I的对称点B'，连结A?与直线/交于点尸，连接PB,

则AP+5P的和最小.请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答.理由：如图

③，在直线/上另取任一点尸'，连结AP',BP，BP，回直线/是点B,9的对称轴，点

p,P'在/上，

（1）0PB=,PB=,SAP+PB=AP+PR=.在AAP'B'

中，回+^AP+PB<AP'+P'B'，即AP+m最小.

【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点在直线同侧的问

题转化为在直线的两侧，从而可利用"两点之间线段最短"，即转化为"三角形两边之和大于

第三边”的问题加以解决（其中点？为A?与/的交点，即A,P,»三点共线）.由此，可

拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型.

【模型应用】（2）如图④，正方形ABCD的边长为4,£为川?的中点，方是AC上一动点.求

石尸+EB的最小值.

解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点E与。关于直线AC对

称，连结£）£交AC于点/，则针+2的最小值就是线段ED的长度，则转+”的最

小值是__________

图⑥

（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14物，底面周长为16cm,在杯内离杯底3cm的点C处有一

滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4c机与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达峰的最

短路程为cm.

（4）如图⑥，在边长为2的菱形ABCD中，ZABC=60°,将4廊沿射线BD的方向平移，

得到AA'RD'，分别连接AC,A。，B'C,则AC+8'C的最小值为.

模型2.平移型将军饮马（将军过桥模型）

【模型解读】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往8点的军营，桥必须垂直于

河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？

考虑长度恒定，只要求AM+NB最小值即可.问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通

过平移，使AM与A®连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A'位置（图

2）.

问题化为求A'N+N2最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）.

将军A将军A

图1图2图3

【最值原理】两点之间线段最短。

例1.（2022•重庆中考模拟）如图，已知直线/1〃匕，乩/2之间的距离为8,点P到直线/i

的距离为6,点Q到直线匕的距离为4,PQ=4廊，在直线/i上有一动点4直线匕上有一

动点B,满足AB_L/2,且%+AB+BQ最小，此时%+BQ=.

例2.（2022•广西•二模）已知，在河的两岸有A,B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄

的直线距离AB=10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修

建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为（）

A.2>713B.1+3如C.3+后D.屈

模型3.修桥选址模型

【模型解读】已知A、8是两个定点，P、。是直线机上的两个动点，P在。的左侧，且P。

间长度恒定,在直线机上要求尸、Q两点，使得出+PQ+Q8的值最小。（原理用平移知识解）

⑴点A、B在直线机两侧:（2）点A、B在直线m同侧:

A.C

如图1如图2

（1）如图1,过A点作AC〃/"，且AC长等于PQ长，连接8C,交直线机于。，。向左平移PQ

长，即为P点，此时尸、。即为所求的点。

（2）如图2,过A点作AE〃s，且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点8',连接B，E,交

直线根于。，。向左平移PQ长，即为P点，此时P、。即为所求的点。

【最值原理】两点之间线段最短。

例1.（2022.山东青岛九年级一模）如图，已知A（3,1）与B（1,0）,PQ是直线y=x上

的一条动线段且PQ=加（Q在P的下方），当4P+PQ+QB最小时，Q点坐标为（）

A.(―,—)B.(迎，迎)C.(0,0)D.(1,1)

3333

例2.(2022•四川自贡•中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,G是AD的中点,

线段EF在边屈上左右滑动；若郎=1，则GE+CF的最小值为

例3.(2022•广东•九年级期中)如图，CO是直线x=l上长度固定为1的一条动线段.已知

A(-1,0),B(0,4),则四边形ABC。周长的最小值为.

模型4.求多条线段和(周长)最小值

【模型解读】在直线机、”上分别找两点P、Q,使加+PQ+QB最小。

(1)两个点都在直线外侧：(2)一个点在内侧，一个点

在外侧：

(3)两个点都在内侧:

A1

m

（4）台球两次碰壁模型

1）已知点A、2位于直线“z,”的内侧，在直线72、机分别上求点。、E点、,使得

围成的四边形AOEB周长最短.

2）已知点A位于直线m,n的内侧，在直线m、n分别上求点P、Q点、PA+PQ+QA

周长最短.

【最值原理】两点之间线段最短。

例1.（2022•江苏九年级一模）如图，RQABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,D,E,F分别是

AB,BC,AC边上的动点，则ADEF的周长的最小值是（）

A.2.5B.3.5C.4.8D.6

例2.（2022•湖北武汉市•九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在X轴上，且G（-

3,0）,B（-2,0）,HC与GB关于y轴对称，ZGAH=60°,P、Q分别是AG、AH上的动

点，则BP+PQ+CQ的最小值是（）

A.6B.7C.8D.9

例3.（2022•湖北青山•八年级期中）如图，在RtA/WC中，/ACB=90。，NABC=30。，AC=

2,以BC为边向左作等边A8CE,点。为AB中点，连接CD,点P、Q分别为CE、8上的动

点.

（1）求证：AAOC为等边三角形；（2）PD+PQ+QE

E

例4.（2022•山东泰安,中考真题）如图，ZAQB=30。，点/W、N分别在边。1、06上，且

OM=3,ON=5,息P、Q分别在边08、上，则"尸+PQ+QV的最小值是（）

C.5^4-2D.-J35-2

模型5.求两条线段差最大值

【模型解读】在一条直线m上，求一点P,使与PB的差最大;

（1）点A、B在直线机同侧：

A

A

延长AB交直线机于点P,根据三角形两边之差小于第三边，P,A-P,B<AB,而/H-P8=AB

此时最大，

因此点尸为所求的点。

（2）点A、8在直线机异侧：

B'

*、、

过B作关于直线m的对称点B'，连接AB'交点直线m于P,此时PB=PBPA-PB最大值为AB,

【最值原理】三角形两边之差小于第三边。

例1.（2022・四川成都・中考真题）如图，在菱形ABCD中，过点。作OE1CD交对角线AC

于点£,连接班，点?是线段放上一动点，作p关于直线的对称点P，点。是AC上

一动点，连接尸。，DQ.若恁=14，CE=18,则。。-PQ的最大值为.

Q/EI

例2.（2022•河南南阳•一模）如图，已知0ABe为等腰直角三角形，AC=BC=6,0BCD=15°,

P为直线。上的动点，贝U|B4—P2|的最大值为.

例3.（2022・江苏•九年级月考）如图，点A,B在直线的同侧，A到MN的距离AC=8,

B到肱V的距离即=5,已知CD=4,尸是直线肱V上的一个动点，记Q4+PB的最小值

为a,|P4-尸耳的最大值为。，则的值为（)

C.140D.130

课后专项训练

1.（2022•山东泰安•二模）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,点、E、F分别是边BC、

CO上的动点，且EF=4,点M是EF的中点，点。是AB的中点，连接P。、PM,则PQ+PM

的最小值为（）

A.10B.6A/3C.8D.80

2.（2022・广东广州•二模）如图，在等腰直角三角形ABC中,0ABe=90。，AB=6,线段尸0

在斜边AC上运动，且尸。=2.连接BP,BQ.则"尸。周长的最小值是（）

A

A.6A/2+2B.2A/19+2C.8D.4#+2

3.（2022・安徽合肥•二模）如图，在矩形A2CD中，点£、尸、G、"分别是边A3、BC、CD、

D4上的动点（不与端点重合），若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH,且AB=10、BC=5,

则四边形EFG”周长的最小值等于（）

C.5后D.50

4.（2022•湖北鄂州•中考真题）如图，定直线MN〃PQ,点8、C分别为MN、尸。上的动点,

且8C=12,8c在两直线间运动过程中始终有SBCQ=60。.点A是脑V上方一定点，点。是

PQ下方一定点，^.AE//BC//DF,AE=4,DF=8,AD=24g,当线段BC在平移过程中,

D.12715

5.（2022•山东潍坊•八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知4（0,1）,司4,2）,尸。是x

轴上的一条动线段，且PQ=1,当AP+PQ+QB取最小值时，点。坐标为.

6.（2022•江苏南通,一模）平面直角坐标系xOy中，已知点P机+2）,点。（n,0）,

点M（l,1）,则PQ+QM最小值为

7.（2022•江苏南通•一模）如图，在AABC中，AB=AC=10,BC=12,AZMBC于点。，点

E、厂分别是线段AB、AO上的动点，且则BF+CE的最小值为

8.（2022•浙江金华・八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2c机的正方形纸片沿着对

角线AC剪开，如图/所示.然后固定纸片AABC,把纸片AADC沿AC的方向平移得到△AOC,

连43,D'B,D'C,在平移过程中：（1）四边形48。。的形状始终是_；（2）4B+ZXB的

最小值为

9.（2022・贵州遵义中考真题）如图，在等腰直角三角形ABC中，N54C=90°,点N

分别为BC,AC上的动点，且4V=CM,A5=V2.当AM+BN的值最小时，CM的长为

A

10.（2022•广西贺州•中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,E,尸分别是AD,

A8的中点，NADC的平分线交于点G,点P是线段。G上的一个动点，贝心他的周

长最小值为.

11.（2022•黑龙江•中考真题）如图，菱形A8C。中，对角线AC,8。相交于点O,ZBAD=60°,

AD=3,AH是ABAC的平分线，CE1AH于点£,点尸是直线AB上的一个动点，则OP+PE

的最小值是.

12.（2022•安徽安庆•八年级期末）如图，在四边形ABC。中，ZBCD=50°,ZB=ZD=90°,

在BC、CD上分别取一点M、N,使△4WN的周长最小，则//VMN=

13.（2021・山东威海•八年级期中）【源模：模型建立】

白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河.一一《古从军行》唐李欣

诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为"将军饮马”问题.关键是利用轴对称变换，把

直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题,从而解决距高和最短的一类问题."将

军饮马”问题的数学模型如图所示：

【新模1:模型应用】

如图1,正方形ABCD的边长为3,点E在边AB上，且胆=1，尸为对角线AC上一动点,

欲使△BEE周长最小.

（1）在图中确定点尸的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）；

（2）△8EE周长的最小值为.

【新模2：模型变式】

（3）如图2,在矩形ABCD中，AB=5,旬=%在矩形ABCD内部有一动点乙满足

SWAB=；S矩形加8,则点户到A,B两点的距离和PA+PB的最小值为.

【超模：模型拓广】

（4）如图3,ZABD=NBDE=90°,AB=2<即=DE=3.请构造合理的数学模型，并

借助模型求J/+4+7（3-X）2+9（X>O）的最小值.

E

BD

14.(2022•江苏•南外雨花分校一模)阅读并解答下列问题：老师给出了以下思考题：如图1,

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3),B(5,1),C(a,0),D(a+2,0),连接

AC,CD、DB,求AC+CD+OB的最小值.

【思考交流】

小明：如图2,先将点A向右平移2个单位长度到点4,作点8关于x轴的对称点3,连

接48/交x轴于点D,将点D向左平移2个单位长度得到点C,连接此时AC+CZXDB

的最小值等于43+CD

小颖：如图3,先将点A向右平移2个单位长度到点4,作点4关于x轴的的的点4，连

接A2B可以求解.

小亮：对称和平移还可以有不同的组合...

【尝试解决】在图2中AC+CD+DB的最小值是,

【灵活运用】如图4,在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3),B(5,1),C(a,1),

ZXa+2,0),连接AC、CD、DB,则AC+CD+DB的最小值是,此时a=.并

请在图5中用直尺和圆规作出AC+CQ+DB最小时CD的位置(不写作法，保留作图痕迹).

【拓展提升】如图6,在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3),C是一次函数方尤图像

上一点，。与y轴垂直且C£>=2(点D在点C右侧),连接AC,CD,AD,直接写出AC+CD+DA

的最小值是,此时点C的坐标是.

15.(2022•浙江,九年级专题练习)在平面直角坐标系中，矩形OAC8的顶点。在坐标原点,

顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A(3,0),B(0,4),。为边。2的中点.

(1)若E为边OA上的一个动点，求ACDE的周长最小值；

(2)若E、E为边上的两个动点，且EF=1,当四边形CDE尸的周长最小时，求点E、尸的

坐标.

16.(2022・广东•九年级专题练习)如图已知EF//GH,AC_LE尸于点C,BD±

EF于点、D交HG于点、K.AC=3,DK=2,BK=4.(1)若CD=6,点M是CD

上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM的长；(2)若CD=4

2

点尸是上一点，点。是以'上一点，连接AP,PQ,QB,求AP+PQ+Q8的

最小值.

G-----------------------------------------------H

B

专题09最值模型…将军饮马

最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需

掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主,

中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方

便掌握。

在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法

还有:利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”

模型1.求两条线段和的最小值(将军饮马模型)

【模型解读】在一条直线机上，求一点P,使BL+P3最小;

(1)点A、5在直线机两侧：(2)点A、5在直线同

侧：

AA

A

B

【最值原理】两点之间线段最短。上图中，'是A关于直线，"的对称点。

例L（2022・湖南娄底•中考真题）菱形ABCD的边长为2,ZABC=45。，点P、Q分别是BC、

8。上的动点，CQ+PQ的最小值为.

【答案】72

【分析】过点C作CE0AB于E,交B。于G,根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短

可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形

BEC中，勾股定理即可求解.

【详解】解：如图，过点C作CE0AB于E,交BD于G,根据轴对称确定最短路线问题以及

垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，。与G重合时，PQ+QC最小,

BPFC

•.•菱形ABC。的边长为2,ZABC=45°,.1RtABEC中，EC=—BC=y[l

2

PQ+QC的最小值为0故答案为：V2

【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的

最小值是解题的关键.

例2.（2022・四川眉山・中考真题）如图，点尸为矩形A3CD的对角线AC上一动点，点E为BC

的中点，连接PE,PB,若AB=4,BC=4币,则PE+P3的最小值为.

【答案】6

【分析】作点B关于AC的对称点交AC于点F,连接B'E交AC于点P,则PE+PB的

最小值为B'E的长度；然后求出B力和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案.

【详解】解:如图，作点B关于AC的对称点B,交AC于点F,连接BE交AC于点P,则PE+PB

的最小值为3Z的长度；

B

S4C是矩形的对角线，a4B=CD=4,EMBC=90°,

在直角0WBC中，AB=4,BC=4A/30tanZACB=—==—,回ZACB=30°,

BC4石3

由对称的性质，得B，B=2BF,B'BIAC,0BF=1BC=273,0B'B=2BF=4也

@BE=EF=26，NCB/=60。，瓯BEF是等边三角形,

SBE=BF=B'F,团ABES'是直角三角形，

0B'E=yjBB'2-BE2=7（4^）2-（2A/3）2=6.国产石+尸3的最小值为6；故答案为：6.

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，

特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得FE+PB有

最小值.

例3.（2022•贵州铜仁•中考真题）如图，在边长为2的正方形A8CD中，点£为的中点，

将ACDE沿CE翻折得ACME,点M落在四边形A8CE内.点N为线段CE上的动点，过点

N作NP//EM交MC于点P,则MN+NP的最小值为

【分析】过点M作AW3CD于凡推出MN+NP的最小值为的长，证明四边形。EMG为

菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可.

【详解】解：作点P关于CE的对称点P,

由折叠的性质知CE是SDCM的平分线，回点P在CD上，

过点M作MFBC。于R交CE于点G,

0MN+NP=MN+NP'4MF,©MN+NP的最小值为MF的长，

连接DG,DM,由折叠的性质知CE为线段的垂直平分线，

SAD=CD=2,DE=1,0CE=^/i2+22=A/5,

El-CExDO=-CDxDE,回。。=述，回E0=@，

2255

回AffiaCD,0£DC=9O°,0DE0MF,^\EDO=^GMO,

EICE为线段OM的垂直平分线，^\DO=OM,SDOE=^MOG=90°,

^DOESBMOG,^DE=GM,团四边形OEMG为平行四边形，

aWOG=90°,回四边形。EMG为菱形，®EG=2OE=q5,GM=DE=1,EICG=孑叵，

55

回。EELWF,即DE3\GF,00CFG0ECDE,

FGCG338

团---=---,即/G二飞-0FG=—，^\MF=1+—=—,

DECE555

1-V5

QQ

回MV+NP的最小值为丁故答案为：

【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何

时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键.

例4.（2022,江苏南京•模拟预测）【模型介绍】

古希腊有一个著名的"将军饮马问题"，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸

同侧的两个军营48.他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营.如图①，他

时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解

决了这个问题.如图②，作点B关于直线/的对称点玄，连结A9与直线/交于点尸，连接PB,

则AP+BP的和最小.请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答.理由：如图

③，在直线/上另取任一点P',连结AP，BP',B'P,回直线/是点3,B'的对称轴，点尸，

P'在/上，

中，SAB'<AP'+P'B',SAP+PB<AP,+P'B',即AP+3P最小.

【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点在直线同侧的问题

转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为"三角形两边之和大于第

三边”的问题加以解决（其中点尸为48'与/的交点，即A,P,夕三点共线）.由此，可拓

展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型.

【模型应用】（2）如图④，正方形ABCO的边长为4,E为48的中点，尸是AC上一动点.求

EF+W的最小值.

解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点3与。关于直线AC对

称，连结DE交AC于点尸，则所+£8的最小值就是线段即的长度，则EF+FB的最小

值是.

蚂蚁力

（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm,底面周长为16c〃z,在杯内离杯底3cm的点C处有

一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4。"与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达峰的

最短路程为cm.

（4）如图⑥，在边长为2的菱形A5CD中，ZABC=60°,将A4BD沿射线8。的方向平移，

得到AAE。'，分别连接AC,AD,B'C,则A'C+3'C的最小值为.

【答案】（1）PB',P'B',AB'；（2）275;（3）17；（4）273

【分析】（1）根据对称性即可求解；

（2）根据正方形的对称性知B关于AC的对称点是D,连接ED,则ED是砂+EB的最小值；

（3）先将玻璃杯展开，再根据勾股定理求解即可；

（4）分析知：当AZ'与B'C垂直时，AC+3'C值最小，再根据特殊角计算长度即可；

【详解】解：（1）根据对称性知：PB=PB,PB=PB,AP+PB=AP+PB=AB,

故答案为：PB',P'B',AB';

（2）根据正方形的对称性知B关于AC的对称点是D,连接ED回£口是郎+^6的最小值

又回正方形的边长为4,E是AB中点回£0=在彳=26回跖+用的最小值是2百；

（3）由图可知：蚂蚁到达峰的最短路程为AC的长度：

[?]AE=AE=4cm,BF=3cm,BC=Scm,EB=11cm[?]AB=15cm

回AC=y/AB2+BC2=7152+82=17cm

（4）团在边长为2的菱形ABCD中，ZABC=60°,将AABZ）沿射线8。的方向平移，得到

AA'B'D'

SAB=AB=2,ZABD=30°当4月与垂直时，A'C+3'C值最小

0AB//AB//CD,AB=AB=CD回四边形A力CO是矩形，ZBAC=30°

0BC=—,A'C=^^AC+B'C=2y/3

33

【点睛】本题考查"将军饮马"知识迁移，掌握"将军饮马”所遵循的数学原理，判断出最小是

解题关键.

模型2.平移型将军饮马（将军过桥模型）

【模型解读】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往8点的军营，桥必须垂直于

河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？

考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可.问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通

过平移，使AM与A®连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在4位置（图

2）.

问题化为求A'N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）.

将军A将军A

图1图2图3

【最值原理】两点之间线段最短。

例1.（2022•重庆中考模拟）如图，已知直线/1〃匕，乩/2之间的距离为8,点P到直线/i

的距离为6,点Q到直线匕的距离为4,PQ=4回，在直线/i上有一动点4直线/2上有

一动点B,满足AB_L/2,且%+AB+BQ最小，此时%+BQ=.

【答案】16.

【详解】作PELi于E交卜于F,在PF上截取PC=8,连接QC交I2于B,作BALi于A,此

时PA+AB+BQ最短.作QD_LPF于D.在RtAPQD中，VZD=90°,PQ=/J^,PD=18,

DQ=^PQ：-PDZ',•,AB=PC=8,AB〃PC,...四边形ABCP是平行四边形，；.PA=BC,

CD=10,.•.PA+BQ=CB+BQ=QC=J0Q：+CD：=J156+100=16.故答案为16.

例2.（2022•广西•二模）已知，在河的两岸有A,B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄

的直线距离AB=10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修

建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为（）

A.2^/13B.1+375C.3+737D.底

【答案】A

【分析】作BB，垂直于河岸，使BB，等于河宽，连接AB-与靠近A的河岸相交于M,作MN

垂直于另一条河岸，则MNIBBB，且MN=BB-于是MNBBJ为平行四边形，故MB-BN；根据

“两点之间线段最短”,AB，最短，即AM+BN最短,此时AM+BN=AB'.

【详解】解：如图，作BB，垂直于河岸，使BB，等于河宽，连接AB，，与靠近A的河岸相交于

M,作MN垂直于另一条河岸，则MNI3BB，且MN=BBT于是MNBB，为平行四边形，故MB，

=BN.

根据"两点之间线段最短"，AB，最短，即AM+BN最短.

回AB=10千米，BC=l+3+4=8千米，团在RTAABC中，AC=A/AB2-BC2=6>

在RTAAB（中，B，C=l+3=4千米，I3AB，=JAC?+B'C一=2如千米;故选A.

【点睛】本题考查了轴对称一最短路径问题，要利用"两点之间线段最短"，但许多实际问题

没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之

间线段最短的问题.目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化.

模型3.修桥选址模型

【模型解读】已知A、B是两个定点，P、。是直线机上的两个动点，尸在Q的左侧，且P。

间长度恒定,在直线机上要求尸、。两点，使得B4+PQ+Q8的值最小。(原理用平移知识解)

(1)点A、B在直线相两侧:(2)点A、B在直线”2同侧:

如图1如图2

(1)如图1,过A点作AC〃叫且AC长等于长，连接BC,交直线加于0,Q向左平移P。

长，即为P点，此时尸、。即为所求的点。

(2)如图2,过A点作AE〃九且AE长等于PQ长，作B关于根的对称点方,连接方及交

直线机于Q,。向左平移P。长，即为P点，此时P、。即为所求的点。

【最值原理】两点之间线段最短。

例1.(2022.山东青岛九年级一模)如图，已知人(3,1)与B(1,0),PQ是直线y=x上

的一条动线段且PQ=^(Q在P的下方)，当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为()

B.(返，返)C.(0,0)

D.(1,1)

A包33

【解答】解：作点B关于直线y=x的对称点B，（0,1）,过点A作直线MN,使得MN平行

于直线y=x,并沿MN向下平移加单位后得A（2,0）连接AF交直线y=x于点Q,如图

理由如下：,:AA'=PQ=®,AA〃PQ.•.四边形APQA是平行四边形：.AP=A'Q

:AP+PQ+QB=8'Q+AQ+PQ且PQ=J^.•.当AQ+8'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小

根据两点之间线段最短,即A,Q,三点共线时AQ+BC值最小

VB'(0,1),A(2,0)直线AB'的解析式)/=-」x+l

2

—x+1,即X=2，Q点坐标（2,—）故选：A.

；.x=

2333

例2.（2022•四川自贡・中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,G是AD的中点,

线段所在边48上左右滑动；若EF=1,则GE+CF的最小值为

【答案】3亚

【分析】如图，作G关于AB的对称点G,在C。上截取C”=l,然后连接HG咬AB于E,在

EB上截取EF=1,此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到

G'H=EG'+EH=EG+CF,再由勾股定理求出HG'的长，即可求解.

【详解】解：如图，作G关于A8的对称点G,在8上截取CH=1,然后连接HG咬AB于E,

在EB上截取EF=1,此时GE+CF的值最小，

H

D

0G'E=G£,AG=AG',

团四边形ABC。是矩形，EMB0CD,AD=BC=2SCH^iEF,

团CH=EF=1,El四边形EFCH是平行四边形，

B1EH=CF,BG'H=EG'+EH=EG+CF,

EL4B=4,BC=AD=2,G为边4。的中点，EMG=AG'=1

WG'=AD+AG'=2+1=3,DH=4-1=3,

0HG'=ylDH2+DG'2=V32+32=30，

即GE+CF的最小值为34.故答案为：3也

【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定

GE+CF最小时E,F位置是解题关键.

例3.(2022・广东•九年级期中)如图，C。是直线x=l上长度固定为1的一条动线段.已知

A(-1,0),B(0,4),则四边形ABC。周长的最小值为.

【答案】3应+而+6

【分析】在y轴上取点E,使BE=CO=L则四边形BCDE为平行四边形，根据勾股定理得

到AB,作点A关于直线x=l的对称点A,得到A、E、。三点共线时，AO+DE最小值为AE

的长，根据勾股定理求出AE,即可得解；

【详解】解：如图，在y轴上取点E,使BE=CD=1,则四边形BCDE为平行四边形，

；B(0,4),A(-1,0),；.0B=4,0/(=1,：.0E=3,/4B=712+42=V17-

作点A关于直线x=l的对称点A,(3,0),AD=A'D,

：.AD+DE=A'D+DE,即A、E、。三点共线时，AO+DE最小值为AE的长，

在RtZWOE中，由勾股定理得AE=J32+32=3立，

：.C四边形ABC。最小值=4B+CO+BC+/W=4B+CO+AE=7F7+l+5=VF7+6.故答案为：

3应+至+6.

【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、位置与坐标，准确分析作图计算是解

题的关键.

模型4.求多条线段和(周长)最小值

【模型解读】在直线机、〃上分别找两点P、Q,使协+尸。+。3最小。

(1)两个点都在直线外侧:(2)一个点在内侧，一个点

在外侧:

A

B

A

m

B

Br

（3）两个点都在内侧:

（4）台球两次碰壁模型

1）已知点A、B位于直线九"的内侧，在直线小机分别上求点。、E点，使得

围成的四边形仍周长最短.

2）已知点A位于直线m,n的内侧，在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA

周长最短.

【最值原理】两点之间线段最短。

例1.（2022•江苏九年级一模）如图，RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,D,E,F分别是

AB,BC,AC边上的动点，则ADEF的周长的最小值是（）

A.2.5B.3.5C.4.8D.6

【答案】C

【分析】如图作。关于直线AC的对称点M,作。关于直线BC的对称点N,连接CM,CM

CD,EN,FM,ON,DM.由N/WC4=NOC4,ZBCN=ZBCD,ZACD+ZBCD=90°,推出N/WCD+

ZNCD=180°,可得M、B、N共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF,FM+EN+EF>MN,可知当M、F、

E、N共线时，且CD_LAB时，OE+EF+FO的值最小，最小值=2CD,求出CD的值即可解决问

题.

【详解】解：如图，作。关于直线AC的对称点M,作。关于直线BC的对称点N,连接CM,

CN,CD,EN,FM,ON,DM.

：.DF=FM,DE=EN,CD=CM,CD=CN,：.CD=CM=CN,

:/MCA=/DCA,ZBCN=ZBCD,ZACD+ZBCD=90°,

：.ZMCD+ZNCD=180°,：.M,C、N共线，:DF+DE+EF=FM+EN+EF,

'：FM+EN+EF>MN,.•.当M、F、E、N共线时，且CO_LAB时，OE+EF+FD的值最小，最小值

为MN=2CD,

,11.AB-AC12

\'CD±AB,：.-*AB*CD=-»AB»AC,..CD=------------=—=2.4,

22AB5

.•.DE+EF+FD的最小值为4.8.故选：C.

【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关

键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题.

例2.(2022・湖北武汉市•九年级期中)如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G(-

3,0),B(-2,0),HC与GB关于y轴对称，NGAH=60。，P、Q分别是AG、AH上的动

点，则BP+PQ+CQ的最小值是()

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】分别作B、C关于AG和AH对称的点£、C,连接BP、CQ、B'C.C'Q,PQ,得

出BP+PQ+CQ的最小值为8'C',再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得

B'P+PN和C'Q+QN即可求得.

【详解】解：分别作B、C关于AG和AH对称的点g、C,连接BP、CQ、B'C、C'Q,PQ

：HC与GB关于y轴对称，