2024-2025学年北京市海淀区八年级上学期期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区八年级（上）期中数学试卷

一，选择题：本题共10小题,每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一个三角形两边的长分别是3和5,则这个三角形第三边的长可能是（）

A.1B.1.5C.2D.4

2.下列图中，是轴对称图形的是（）

3.下列运算正确的是()

336236236

A.X+%=XB.X%=XC.(%)=XD.久6+%3=x2

4.如图Nl,N2是四边形ABCD的外角，若41=72°,Z2=108°,贝亚力+ZC=()

A.160°B.170°C.180°D.190°

5.如图,三条公路两两相交,现计划在△ABC中内部修建一个探照灯,要求探照灯的位

置到这三条公路的距离都相等,则探照灯位置是4ABC（）的交点.

A.三条角平分线

B.三条中线

C.三条高的交点

D.三条垂直平分线

6.如图,AD是公ABC的中线，点E,尸分别在AD和AD的延长线匕且DE=DF,连接BF,CE,则下

列说法错误的是（）

A.ABDF^ACDEB.△4BD和AaCD周长相等

C.BF//CED.AaBD和△4CD面积相等

7.已知无机=6,Xn=3,则/m-n的值为()

A.9B.39C.12D.108

8.如图，在△4BC中,NC=30。,将△4BC沿直线/折叠，使点C落在点。的位置，则N1-42的度数是()

C.80°D.60°

9.如图，尸为△48C内一点,过点P的线段MN分别交AB,BC于点M,N,且M,N分别在PA,PC的中垂线上.若

乙4BC=80°,贝此4PC的度数为()

A.120°B.125°C.130°D.135°

10.如图,在平面直角坐标系中,对AdBC进行循环往复地轴对称变换,若原来点C的坐标是(3,1),则经过第2024次变换

后点C的对应点的坐标为()

A.(3,1)B.(-3,1)C.(-3,-1)

二，填空题：本题共6小题,每小题3分，共18分。

11.如图，当自行车停车时,两个轮子和一个支撑脚着地，自行车就不会倒,其中蕴含的数学原理是.

12.己知/+16比+k是完全平方式,则常数k等于.

13.若点P(m,3)与点Q(l,n)关于y轴对称,则m=,n=.

14.若x-爪与2x+3的乘积中不含一次项,则m的值为.

15.如图,△ABC中,AD为ABAC的角平分线，作BD垂直于，△ACD的面积为8,

则△ABC的面积为

16.如图，已知△4BC三个内角的平分线交于点。，点。在CA的延长线上,且0C=BC,AD=A0,若ABAC=100°,则

N8C4的度数为一

三，解答题：本题共10小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题10分）

计算:

(l)x3-x5—(2x4)2+x10+x2,

(2)[(m+n^m—n)+(m—n)2—4m(m—n)]+2m.

18.（本小题5分）

已知3--%-1=0,求代数式(2x+5)(2久一5)+2x(%-1)的值.

19.（本小题6分）

如图，在8X8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,网格中有一格点A/IBC（即三角形的顶点都在格点上）.

⑴在图中作出△力8c关于直线/对称的△a/G，（要求A与4,2与%C与G相对应）

（2）若有一格点尸到点A,B的距离相等,则网格中满足条件的点尸有个,

⑶求△力BC的面积.

（4）在直线/上找到一点Q,使QB+QC的值最小.

20.(本小题5分)

如图,在仆ABC^,AD是高,BE是角平分线,它们相交于点F,^BAC=58",zC=72",求NZMC和乙4FB的度数.

21.(本小题5分)

如图,在4ABC中,AB=AC,。为BC边上一点,过D作NEDF=ZB,分别与AB,AC相交于点E和点凡

⑴求证：乙BED=乙FDC,

(2)若DE=DF,求证：BE=CD.

22.(本小题7分)

(1)填空：/+1=(比+1)2=(X—§2+,

(2)若a+；=5,则a?+—>

⑶若a?—3a+1=0.求a?+(的值.

23.(本小题6分)

在一次数学活动课上,张老师准备了若干张如图1所示的甲，乙，丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种

纸片是边长为y的正方形,丙种纸片是长为y,宽为x的长方形,并用甲种纸片一张，乙种纸片一张,丙种纸片两张拼成了

如图2所示的一个大正方形.

(1)观察图2,用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式,请你直接写出这个等式，

(2)利用(1)中的等式解决下列问题.

①已知小+丘=io,a+、=6,求淡的值，

②已知(2021-c)(c-2019)=1,求(2021-c)2+(c-2019)2的值.

图2

24.(本小题6分)

如图,在长方形纸片ABCD中，点P在边8C上，将长方形纸片沿4P折叠后，点B的对应点为点B',PB'交于点Q.

(1)判断ND4P和乙4PQ的大小关系，并说明理由，

(2)连结PD,若尸£＞平分NQPC,NPZM=55°,求N4PB的度数.

25.(本小题7分)

在^ABC^,AO,BO分另U平分Z_B4C,乙48c.

(1)如图1,若NC=32°,贝此40B=,

(2)如图2,连结OC,求证：0c平分N4C8,

(3)如图3,若UBC=2乙ACB,AB=4,4C=7,求OB的长.

AAA

CB

26.(本小题5分)

(1)【问题提出】如图1,在RtAABC^RtACDE,已知乙4CD==zF=90°,AC=CD,B,C,E三点在一条直线

上,AB=5,DE=6.5,则BE的长度为.

(2)【问题提出】如图2,在Rt△ABC中,NABC=90°,BC=4,过点C作CD14C,且CD=AC,求ABCD的面积.

(3)【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境.如图3所示,在河流BD的周边规划一个四边形

ABCD巨无霸森林公园,按设计要求,在四边形ABCD中,N4BC=^CAB=AADC=45°,AC=BC,AACD面积为

12km2,且CD的长为6km,则河流另一边森林公园4BCO的面积为km2.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：设三角形第三边的长为x,贝U：

5—3<%<5+3,即2<x<8,

只有选项。符合题意.

故选：D.

先根据三角形的三边关系求出x的取值范围,再求出符合条件的x的值即可.

本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.

2.【答案】C

【解析】解：选项A,B,D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是

轴对称图形，

选项C能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形，

故选：C.

本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进

行分析即可.

3.【答案】C

【解析】【分析】

此题考查了同底数幕的除法,合并同类项，同底数幕的乘法，以及幕的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关

键.

原式各项计算得到结果，即可做出判断.

【解答】

解：A,原式=2%3,错误,

B,原式=%5,错误，

C,原式=x6,正确，

D,原式=错误.

故选：C.

4.【答案】C

【解析】解：由题意知，乙4BC=180°-Z1=108°,^ADC=180°-Z2=72。，

,­.乙4+"=360°-/.ABC-/.ADC=180°,

故选：C.

根据NABC=180°-zl,AADC=180°-N2,NA+NC=360。-4ABe-AADC,计算求解即可.

本题考查了邻补角，四边形内角和.明确角度之间的数量关系是解题的关键.

5.【答案】A

【解析】解：••・探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，

••・探照灯位置是△力8c三条角平分线的交点.

故选：A.

根据角平分线的性质进行判断.

本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了线段垂直平分线的性质.

6.【答案】B

【解析】解：•••7!£）是△ABC的中线，

BD=CD,

又乙CDE=乙BDF,DE=DF,

:.&BDF9&CDE,故A不符合题意.

•••/.DBF=Z-DCE,

BF〃CE,故C不符合题意，

AB丰AC,BD=CD,

••.AABD^^4CD周长不相等,△ABD^\L4CD面积相等,故B符合题意,D不符合题意，

故选：B.

本题先证明△BDF^LCDE可判断A,由全等三角形的性质可得ADBF=乙DCE,可判断C,由为三角形的中线可判

断2,D,从而可得答案.

本题考查的是三角形的中线的含义,全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键.

7.【答案】C

【解析】解:xm=6,xn=3,

,.•Av2m-n

=（xm）2+xn

=62+3

=12.

故选：C.

先将/巾变形为（%巾）2+xn；然后将=6,#=3代入求解即可.

本题考查了同底数塞的除法,解答本题的关键在于先将/租一九变形为。与2一燃,然后将工机=6>xn=3代入求解.

8.【答案】D

【解析】解：由题意得:

Z.C=Z.D,

zl=Z.C+z.3,z.3=z2+Z-D,

・•・zl=z2+zC+zD=z2+2zC,

••・zl-z2=2zC=60°.

故选：D.

由轴对称的性质得出NC=Z.D,再由41=zf+z3,z3=z2+乙D,即可得到=z2+zC+zD=z2+2zC,从而求

出答案.

本题主要三角形外角的性质及轴对称的性质,熟知如果两个图形关于某直线对称,那么这两个图形全等是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：v/-ABC=80°,

・•・乙BMN+乙BNM=180°-80°=100°,

•・•M,N分别在PA尸。的中垂线上，

MA=MP,NC=NP,

・•・^MPA=Z.MAP,乙NPC=乙NCP,

AMPA+NNPC=：(4BMN+4BNM)=50°,

AAPC=180°-50°=130°,

故选：C.

根据三角形内角和定理求出NBMN+乙BNM,根据线段垂直平分线的性质得到MA=MP,NC=NP,根据等腰三角形的

性质得到NMP4=乙MAP,乙NPC=NNCP,计算即可.

本题考查的是线段垂直平分线的性质,三角形内角和定理,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等

是解题的关键.

10.【答案】A

【解析】解:由题意知,每经过4次变换后点C回到原来的位置,坐标是(3,

•••2024=4X506,

•••经过第2024次变换与经过第4次变换后点C的对应点相同，

•••经过第2024次变换后点C的对应点的坐标为(3,1).

故选：A.

由题意知,每经过4次变换后点C回到原来的位置,且经过第2024次变换与经过第4次变换后点C的对应点相同,进而

可得答案.

本题考查坐标与图形变化-对称,规律型：点的坐标,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.

11.【答案】三角形具有稳定性

【解析】解：蕴含的数学原理是三角形具有稳定性，

故答案为：三角形具有稳定性.

根据三角形具有稳定性解答.本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键.

12.【答案】64

【解析】【分析】

此题考查了完全平方式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值.

【解答】

解:因为/+16%+k是完全平方式，

所以k=64.

故答案为64.

13.【答案】-1,3

【解析】解：•••点P(m,3)与点Q(l,n)关于y轴对称,

■■■m=—1,n=3,

故答案为：—1,3,

直接利用关于y轴对称点的性质,进而得出答案.

此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确把握横纵坐标关系是解题关键.

14.【答案】1

【解析】解：由题意得：(％—血)(2%+3)

=2x2+3%—2mx—3m

=2x2+(3—2m)x—3m,

,・•式子不含一次项，

•••3—2m=0,

解得：m=

故答案为：|.

根据题意列出相应的式子,利用多项式乘多项式的法则进行运算,再根据不含一次项，则一次项的系数为0,即可求m的

值.

本题主要考查多项式乘多项式,合并同类项,解答的关键是明确不含一次项即一次项的系数为0.

15.【答案】16

【解析】解：如图所示，延长8。交AC于瓦

•・•为血1C的角平分线,AD1BD,

・•・Z.BAD=LEAD,乙ADB=AADE=90°,

又•・,AD=AD,

也△4DEQ4S4),

BD=DE,

**•S—OB=S^ADE'S^EDC=S^BDC，

，/

^^ABC=^^ADB+S—OE+S^EDC+SLBDC,

1

•••S—DE+S^EDC=2s△ABC，

即SMBC=2s>ACD=16,

故答案为：16.

如图所示,延长BD交AC于瓦利用ASA证明△ADB^AADE,得到8。=DE,进而推出S0OB=S^ADE,SAEDC=S^BDCf

即可得到答案.

本题主要考查了全等三角形的性质与判定,角平分线的定义,正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

16.【答案】30°

vAO,BO,CO是^ABC三个内角的平分线，

Z.BAO=/.CAO,Z.ABO=乙CBO,Z-BCO=DCO,

在△BC。和△DC。中，

0C=0C

Z-BCO=Z.DCO,

BC=DC

:小BCO”bDCO(SAS),

Z.CBO=Z-D,

又・・•ABAC=100°,

・•・/.CAO="BAC=1X100°=50°,

又・・•AD=AO,

•••Z-D=Z.AOD,

又・・•/.CAO=ZD+AAOD,

1i

CD=^CAO=/50。=25°,

・•・乙CBO=25°,

Z.CBA=50°,

又•・•ABAC+Z.ABC+乙BCA=180°,

・•・(BCA=180°-100°-50°=30°,

故答案为30。.

由角平分线的定义得NBA。=Z.CAO,^ABO=/.CBO,/_BCO=DCO,边角边证明△BCO^ADCO,根据其性质求得

ZCBO=ZD,再根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理求得N8C4的度数为30。.

本题综合考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质，角平分线的定义,三角形的内角和定理等相关知识点,重

点掌握全等三角形的判定与性质.

35蚤

17.【答案】解：(I)%-X-(2X4)2+x10x2

—x8—4xa+x8

=—2x8,

(2)[(m+n)(m—n)+(m—n)2—4m(m-n)]+2m

=(m2—n2+m2—2mn+n2—4m2+4mn)+2m

=(—2m2+2mn)+2m

=—m+n.

【解析】(1)先算乘方,再算乘除,后算加减，即可解答，

(2)先利用完全平方公式,平方差公式,单项式乘多项式的法则计算括号里,再算括号外，即可解答.

本题考查了整式的混合运算,准确熟练地进行计算是解题的关键.

18.【答案】解：原式=4/-25+2/-2x=6/-7.x-25,

••13x2-%-1=0,

3x2—x=1.

.•.原式=2(3/—无)-25=2x1—25=-23.

【解析】首先利用多项式乘以多项式,多项式乘以单项式进行计算,然后再合并同类项，化简后,再代入求值即可.

此题主要考查了整式的混合运算,掌握多项式乘以多项式,多项式乘以单项式的运算法则是解题关键.

19.【答案】4

【解析】解:(1)如图,△A/1品即为所求,

(2)由图可知,Pi，P2,P3,P4满足到点AB的距离相等,

•••网格中满足条件的点P有4个.

故答案为：4,

11

(3)S4/BC=4X3——x1x3x2——X2X4=5,

(4)如图，点。即为所求.

(1)根据轴对称的性质作图即可，

(2)利用网格,作线段AB的垂直平分线,所经过的格点即为满足条件的点P的位置，

(3)根据割补法即可求得三角形的面积，

(4)连接CBi，交直线/于点Q,连接BQ,此时QB+QC的值最小.

本题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题,线段垂直平分线的性质,熟练掌握轴对称的性质以及线段垂直平分线

的性质是解答本题的关键.

20.【答案】解：•••4。是高，

AADC=90",

•••Z.BAC=58°,ZC=72",

4ABe=180°-^BAC-ZC=50°,

Z.DAC=180°-^ADC一乙C=18°,

•••^BAD=ABAC-ZCXD=40°,

BE是N&BC的平分线，

1

••・4ABF=卷乙ABC=25°,

・•・乙AFB=180°一乙ABF-乙BAD=115°.

【解析】由高线可得乙4DC=90°,由三角形的内角和可求得乙=50°,^DAC=18°,从而可求得乙44。=40°,再利

用角平分线的定义可得N48F=25°,再次利用三角形的内角和即可求乙4/揖的度数.

本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为180。.

21.【答案】证明：(1)•・•乙BED=180°-AB-乙BDE,乙FDC=180°-乙EDF-乙BDE,乙EDF=乙B,

•••(BED=乙FDC,

(2)AB=AC,

•••Z.B=Z.C,

在ABDE与△CFO中，

NB=lC

乙BED=4CDF,

、DE=DF

CFD(AASy

BE=CD.

【解析】(1)根据三角形的内角和定理和平角的定义即可得到结论，

(2)根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.

本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键.

22.【答案】2223

【解析】解:(1)•••(x+i)2=X2+2+昼,(%-1)2=%2-2+5,

•••/+专=(久+$2-2=(久一；)2+2,

故答案为：2,2,

1

(2)a+-=5,

a

I.

(a+»=25,

11

•**a2+—=(q+/)2—2—23,

故答案为：23,

(3)va2—3a+1=0,

a2+1=3a,

CLH—=3,

a

••・(a+，=9,

11

a?H———(a4—尸—2=7.

(1)根据完全平方公式计算即可，

(2)根据(1)中结论计算,得到答案，

(3)根据等式的性质得到a+；=3,计算即可.

本题考查的是分式的化简求值,完全平方公式,掌握完全平方公式是解题的关键.

23.【答案】解：(1)由题意得：阴影部分的面积=M+y2=(%+y)2—2%y,

即X2+y2=(%+y)2_2xy,

(2)①由(1)可得：a2+b2=(a+6)2-2ab,

a2+b2=10,a+b=6,

・•・10=36-2ab,解得：ab=13,

②设2021-c=a,c-2019=b,

・,・a+b=2021—c+c—2019=2,

v(2021-c)(c-2019)=1,

•••ab=1,

v(2021-c)2+(c-2019)2=a2+b2

=(a+b)2—2ab

=4-2x1

=4—2

=2.

【解析】(1)利用面积法进行计算,即可解答，

(2)①利用(1)的结论可得：小+82=缶+by_2ab,然后进行计算即可解答，

②设2021-c=a,c-2019=b,则Q+b=2,ab=1,然后利用(1)的结论进行计算即可解答.

本题考查了整式的混合运算-化简求值,完全平方式,完全平方公式的几何背景,准确熟练地进行计算是解题的关键.

24.【答案】解:(l)NDAP=4PQ,

理由：•・•长方形纸片A5CD沿AP折叠，

・•・Z-APB=/-APQ,

••・四边形ABC。是长方形，

・•.AD//BC,

•••乙APB=匕DAP,

••・/-DAP=/-APQ,

(2)PO平分“PC,

・•.Z.DPC=乙DPQ,

•••AD//BC,

・•・乙DPC=^PDA=55°,

•••乙DPQ=乙DPC=55°,

・•・乙BPQ=180°-乙DPC-乙DPQ=70°,

•••乙APB=/-QPA,

1

••・乙APB="BPQ=35°.

【解析】(1)利用折叠的性质可得乙4PB=^APQ,然后利用长方形的性质可得4D〃BC,从而可得=^DAP,进而

可得乙口4P=乙4PQ,即可解答，

(2)先利用角平分线的性质可得NDPC=乙DPQ,然后利用平行线的性质可得ADPC=^PDA=55。,从而可得NDPQ=

乙DPC=55°,再利用平角定义可得NBPQ=70°,从而可得乙4PB=35。，即可解答.

本题考查了翻折变换(折叠问题),平行线的性质,根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键.

25.【答案】106°

【解析】⑴解：•••NC=32。，

4CAB+"BA=180°-ZC=148°,

•••AO,80分另ij平分NBAC,乙ABC,

：./-BAO=~^BAC,^ABO=2BC,

.­.乙BAO+/.ABO=|^BAC+41BC)=1x148°=74°,

ZXOB=180°-(N84。+/.ABO}=180°-74°=106°,

故答案为：106。，

(2)证明：如图2,过。作。E14B于E,OF1AC于F,OG1BC于G,

■：AO,B。分另U平分NBAC,N4BC,

•••OE=OF,OE=OG,

•••OF=OG,

：.。。平分NACB,

(3)解：在AC上截取AM=AB,连接OM,

图3

•••4。平分乙8",

・•・/-BAO=Z-MAO,

AO—AO,

•••△840^ZkMA0(S/S),

・•.OM=OB,乙4M。=2ABO,

•・•8。平分NZBC,OC平分4ACB,

1i

・•・乙ABO=^ABC,AACO=^ACB,

乙ABC=2Z-ACBf

•••乙ABO=2Z-ACOy

••・乙AMO=£.MOC+乙MCO=2Z-ACO,

・•・乙MOC=乙MCO,

.・.OM=CM=AC-AM=AC-AB=3,

OB=3.

⑴根据三角形的内角和定理得到NC4B+ACBA=180。一NC=148°,根据角平分线的定义得到NBA。+AABO=

|(ZBXC+N4BC)=|x148°=74°,根据三角形的内角和定理得到NAOB=180°-(NBA。+41B。)=180°-74°=

106°,

(2)如图2,过。作。E12B于E,OF12C于F,OG1BC于G,根据角平分线的性质和角平分线的定义即可得到结论，

⑶解：在AC上截取AM=AB,连接OM,根据角平分线的定义得到NBA。=NAM。,根据全等三角形