2023中考数学常见几何模型《全等模型-半角模型》含答案解析

试题

专题02全等模型--半角模型

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本

专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.半角模型

【模型解读】

过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为

半角模型。

【常见模型及证法】

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形

通过旋转到一边合并成新的三角形,从而进行等量代换,然后证明与半角形成的三角形全等,

再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利

用旋转一一证全等一一得到相关结论.

1.（2022・湖北十堰,中考真题）【阅读材料】如图①，四边形48cD中，AB=AD,

NB+ND=180°,点、E,尸分别在BC,CD±.,若NBAD=2NEAF,则EF=BE+DF.

【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形/8CZ）.已知

CD=CB=100m,ND=60。，ZABC=120°,ZBCD=150°,道路4D,NB上分别有景点

M,N,且DM=100m,BN=50（g-l）m,若在M,N之间修一条直路,则路线MfN

的长比路线/-N的长少m（结果取整数，参考数据：V3«1.7）.

试题1

试题

2.（2022•河北邢台•九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：

“如图1,在正方形4BCD中，乙EAF=45°,求证：EF^BE+DF."

小明同学的思路：••・四边形〃是正方形，.•.48=/。，4B=UDC=90°.

把A45E绕点/逆时针旋转到AADE，的位置，然后证明AAFE2△4FE',从而可得斯=£户.

E'F=E'D+DF=BE+DF,从而使问题得证.

（1）【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2,在四边形N2CD中，AB=AD,

乙8=乙0=90。，ZEAF=-ZBAD>直接写出即，BE,。尸之间的数量关系.（2）【应用】如图

2

3,在四边形N5CD中，AB=AD,48+40=180。，ZEAF=-ZBAD<求证：EF=BE+

2

。?⑶【知识迁移】如图4,四边形/8PC是。。的内接四边形，8c是直径，AB=AC,请

直接写出PB+PC与AP的关系.

图1

3.（2022•福建・龙岩九年级期中）（1）【发现证明】

如图1,在正方形/BCD中，点、E,F分别是2C,CD边上的动点，且NE4F=45。，求证:

E尸=。尸+8E.小明发现，当把△4BE绕点A顺时针旋转90。至ANOG,使43与/。重合

时能够证明，请你给出证明过程.

（2）【类比引申】①如图2,在正方形/BCO中，如果点E,尸分别是C8,DC延长线上

的动点，且NE/尸=45。，贝|]（D中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF,BE,DF之

试题2

试题

间的数量关系（不要求证明）

②如图3,如果点E,尸分别是BC,延长线上的动点，且NE4F=45。，则E尸，BE,

。尸之间的数量关系是（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1,若正方形/BCD的

边长为6,AE=345,求NF的长.

4.（2022•山东省青岛第二十六中学九年级期中）【模型引入】

当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为"半角模型"

【模型探究】（1）如图1,在正方形N8C。中，E、尸分别是/8、8c边上的点，S.AEDF=

45。，探究图中线段ERAE,尸C之间的数量关系.

【模型应用】（2）如图2,如果四边形48c。中，AB=AD,4BAD=LBCD=90°,乙EAF=

45°,且3c=7,Z）C=13,。斤=5,求的长.

【拓展提高】（3）如图3,在四边形48CD中，AB=AD,乙48c与乙4OC互补，点£、尸分

别在射线C3、DC上，且NE4尸一,乙B4D.当2C=4,DC=7,CB=1时，ACE尸的周长等

于.

（4）如图4,正方形/BCD中，ANMV的顶点M、N分别在BC、CD边上，AHVMN,且

=AB,连接AD分别交/〃、AN于点、E、F,若MH=2,NH=3,DF=2四,求斯的

长.

（5）如图5,已知菱形48co中，A8=60。，点E、厂分别是边2C,CD上的动点（不与端

点重合），且NE4尸=60。.连接3。分别与边4E;AF交于M、N,当乙D4F=15。时，求证：

MN2+DN2=BM2.

试题3

试题

图5

课后专项训练：

1.（2022•重庆市育才中学二模）回答问题

（1）【初步探索】如图1：在四边形/5CZ）中，AB=AD,乙B=UDC=90。,E、尸分别是3C、

CD上的点，S.EF=BE+FD,探究图中乙B4E1、/.FAD,乙以尸之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是：延长阳到点G,使DG=2E.连接/G,先证明

△ABEmAADG,再证明八4斯三A4GR可得出结论，他的结论应是；

（2）【灵活运用】如图2,若在四边形中，AB=AD,z5+zD=180°.E、尸分别是BC、

CD上的点，且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）【拓展延伸】知在四边形/BCD中，^ABC+zADC=180°,AB=AD,若点E在C2的延

长线上，点尸在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,请直接写出4瓦4尸与

的数量关系.

试题4

试题

G

图1图2图3

2.（2022•江西九江,一模）如图（1）,在四边形N8CD中，ZS+Z£>=180°,48=40,以

点/为顶点作NE4F,S.ZEAF=^ZBAD,连接ER⑴观察猜想如图（2）,当

ABAD=ZB=ND=90°时,

①四边形N8CD是（填特殊四边形的名称）；@BE,DF,族之间的数量关系为

.（2）类比探究如图（1）,线段BE,DF,即之间的数量关系是否仍然成立？若成

立，请加以证明；若不成立，请说明理由.⑶解决问题如图（3）,在中，

ABAC=9Q°,AB=AC=4,点、D,E均在边BC上，且ND/£=45。，若BD=C，求

的长.

（图1）（图2）（图3）

3.（2022•山东聊城•九年级期末）（1）如图1,点E,尸分别在正方形/8C。的边8C,CD

上，ZEAF=45°,连接E尸，求证：EF=BE+DF,试说明理由.

图1图3

试题5

试题

（2）类比引申：如图2,四边形48CD中，AB=AD,4840=90。，点E,尸分别在边

BC,CD上，㈤尸=45。，若D5、ND都不是直角，则当B8与满足等量关系时,

仍有EF=BE+DF,试说明理由.

（3）联想拓展：如图3,在△NBC中，ZBAC=90°,4B=AC,点、D,£均在边BC上,

且N£UE=45,若BD=1,EC=2,求DE■的长.

4.（2022•黑龙江九年级阶段练习）已知：正方形48CD中，ZA仅N=45。，4忆4N绕点N顺

时针旋转，它的两边分别交C8、DC（或它们的延长线）于点M、N.当NM4N绕点/旋转

到BM=DN时，（如图1）,易证BM+DN^MN.

⑴当ZA勿N绕点N旋转到时（如图2）,线段8M、DN和九W之间有怎样的数量关

系？写出猜想，并加以证明；（2）当43N绕点/旋转到如图3的位置时，线段皿公ON和

之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.

5.（2022•重庆南川•九年级期中）如图，正方形中，ZMAN=45°,NK4N绕点A顺

时针旋转，它的两边分别交2C、DC（或它们的延长线）于点M、N.

试题6

试题

⑴当NM4N绕点A旋转到8M=DV时（如图1）,证明：MN=2BM；（2）绕点A旋转到

BMwDN时（如图2）,求证：MN=BM+DN-,⑶当NM4N绕点A旋转到如图3位置时,

线段BM、ZW和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明.

6.（2022•江西景德镇•九年级期中）（1）【特例探究】

如图1,在四边形48C。中，AB=AD,ZABC=ZADC=90a,NB4D=1QQ°,ZEAF=50°,

猜想并写出线段BE,DF,E尸之间的数量关系，证明你的猜想；

（2）【迁移推广】如图2,在四边形/BCD中，AB=AD,ZABC+ZADC=,

ZBAD=2ZEAF.请写出线段BE,DF,E尸之间的数量关系，并证明；

（3）【拓展应用】如图3,在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（。处）北偏东20。的A

处.舰艇乙在指挥中心南偏西50。的B处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指

令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60。的方向以90海

里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C,。处，且指挥中

心观测两舰艇视线之间的夹角为75。.请直接写出此时两舰艇之间的距离.

7.（2022・上海•九年级专题练习）小明遇到这样一个问题如图1,在中，乙BAC=

90°,AB=AC,点、D,£在边8c上，乙0/£=45。.若5D=3,CE=1,求。£的长.

试题7

试题

小明发现，将A4AD绕点/按逆时针方向旋转90。，得到△/（下,联结所（如图2）,由图

形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及乙CUE=45。，可证△E4E三△可£,得FE=

DE.解△“£,可求得尸£（即DE）的长.⑴请回答在图2中，Z.FCE的度数是,

DE的长为.

参考小明思考问题的方法，解决问题：

（2汝口图3,在四边形N8CD中，AB=AD,乙8+4。=180。.E,尸分别是边8C,CD上的点,

且NE/尸猜想线段BE,EF,尸。之间的数量关系并说明理由.

8.（2022•黑龙江・哈尔滨市九年级阶段练习）已知四边形/BCD是正方形，一个等腰直角

三角板的一个锐角顶点与4点重合，将此三角板绕/点旋转时，两边分别交直线2C,CD

于MN.

（1）如图1,当M,N分别在边2C,CD上时，求证：BM+DN^MN

（2汝口图2,当跖N分别在边2C,CZ）的延长线上时，请直接写出线段DN,之间

的数量关系______________

（3）如图3,直线NN与BC交于尸点，MN=10,CN=6,MC=8,求CP的长.

试题8

试题

9.（2022•浙江•九年级阶段练习）如图1,等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形

的顶点/重合，将此三角板绕点N旋转,使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边8C,

DC于点、E,F,连接EF.

（1）猜想BE、EF、。下三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）在图1中，过点/作斯于点请直接写出和48的数量关系；

（3）如图2,将比A42C沿斜边NC翻折得到必A4DC,E,尸分别是2C,CD边上的点,

Z.EAF=^BAD,连接斯，过点/作/Ml斯于点"，试猜想与48之间的数量关

系.并证明你的猜想.

10.（2022•北京四中九年级期中）如图，在A4BC中，乙4c8=90。，C/=C8,点尸在线段45

上，作射线CP（0。〈乙4cp<45。），射线CP绕点C逆时针旋转45。，得到射线C0,过点/

作ND1CP于点。，交C。于点瓦连接8E.⑴依题意补全图形；（2）用等式表示线段/D,

DE,2E之间的数量关系，并证明.

试题9

试题

专题02全等模型--半角模型

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本

专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.半角模型

【模型解读】

过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为

半角模型。

【常见模型及证法】

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形

通过旋转到一边合并成新的三角形,从而进行等量代换,然后证明与半角形成的三角形全等,

再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利

用旋转一一证全等一一得到相关结论.

1.（2022・湖北十堰,中考真题）【阅读材料】如图①，四边形48cD中，AB=AD,

NB+ND=180°,点、E,尸分别在BC,CD±.,若NBAD=2NEAF,则EF=BE+DF.

【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形/8CZ）.已知

CD=CB=100m,ND=60。，ZABC=120°,ZBCD=150°,道路4D,NB上分别有景点

M,N,且DM=100m,BN=50（g-l）m,若在M,N之间修一条直路,则路线MfN

的长比路线/-N的长少m（结果取整数，参考数据：V3«1.7）.

试题10

试题

【答案】370

【分析】延长/民。。交于点£,根据已知条件求得/£=90。,进而根据含30度角的直角三

角形的性质，求得EC,EB,AE,AD,从而求得NN+的长，根据材料可得跖V=DM+2N,

即可求解.

【详解】解：如图，延长交于点£,连接CA/,CN,

ZD=60°,ZABC=nO°,NBC。=150°,=30°,/£=90°,

DC=DM=100.•.ADCA/是等边三角形，.•./。0/=60。,，/33=90。，

在RM8CE中，SC=100,ZECB=1800-ZBCD=30°,

EB=；BC=5Q,EC=43EB=5073,DE=DC+EC=100+5043,

RLA/OE中，AD=2DE=200+100。,=百。£=1006+150,

AM=AD-DM=200+1006-100=100+100A/3,

AN=AB-BN=(AE-EB)-BN=(100A/3+150-50)-50(V3-1]=5073+150,

+NN=100+10073+5073+150=250+15073,R3CMB中，

BM=ylBC2+CM2=100V2

•­-EN=E8+8N=5O+5O(G-1)=5OK=EC,AECN是等腰直角三角形

ZNCM=NBCM-NNCB=ZBCM-(ZNCE-/BCE、=75°=-ZDCB

试题11

试题

由阅读材料可得AGV=DM+^=100+50(73-1)=50(73+1),

.1路线MfN的长比路线Mf4fN的长少250+15073-50(V3+1)=200+100A/3®370

m.答案：370.

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键.

2.（2022•河北邢台•九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题:

“如图L在正方形/BCD中，4E4F=45°,求证：EF=BE+DF."

小明同学的思路：••・四边形是正方形，.•.48=/。，AB=AADC=90°.

把A4AB绕点/逆时针旋转到4ADE'的位置，然后证明AAFE^/\AFE',从而可得斯=£户.

E'F=E'D+DF=BE+DF,从而使问题得证.

图1

（1）【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2,在四边形/BCD中，AB=AD,

乙B=ZD=90。，ZEAF=-ZBAD^直接写出即，BE,。尸之间的数量关系.（2）【应用】如图

2

3,在四边形N2CD中，AB=AD,48+40=180。，NE4F」NB4D，求证：EF=BE+

2

。足⑶【知识迁移】如图4,四边形48PC是0°的内接四边形，8C是直径，AB=AC,请

直接写出PB+PC与AP的关系.

【答案】（1）8£+。尸=EF（2）证明见解（3）PB+PC=叵PA

【分析】（1）将A45E绕/点逆时针旋转，旋转角等于如。得△/£）£，，证明

AAEF=/\AE'F,等量代换即得结论；（2）将A48E绕点/逆时针旋转，旋转角等于4B4D,

先证明乙&4尸=NEFF,再证明A4E尸三△/£户，等量代换即得结论（3）将A4AP绕点Z逆

时针旋转90。得到△/CP,先利用圆内接四边形的性质证明尸，C,〃在同一直线上，再证

明△打〃为等腰直角三角形，等量代换即得结论.

（1）解：结论：BE+DF=EF,理由如下：

试题12

试题

证明:将A48E绕点/逆时针旋转，旋转角等于N8/O,使得N8与40重合，点E转到点£

的位置，如图所示，

E'

7\

/

BEC

可知AABEmAADE',：.BE=DE'.

由N4DC+NNZ）£C=180。知，C、D、£'共线，

•••NEAF=|NBAD,/.BAF+/-DAF=/.EAF,

:/DAE'+^DAF=^EAF=ZE'AF,

■■/^AEF=AAE'F,；.EF=E'F=BE+DF.

（2）证明：将A48E绕点N逆时针旋转，旋转角等于4BAD,使得N8与/。重合，点E转

到点牙的位置，如图所示，

由旋转可知丝△/〃£1',.•.5E=DE',NB=NADE',NBAE=NDAE',AE=AE'.

•./3+Z/WC=180。，.•.N/OC+NND£'=180°,.•.点c,D,夕在同一条直线上.

ZEAF=-ZBAD,ZBAE+ZDAF=-ABAD,

22

/.DAE'+ZDAF=-BAD,ZFAE'=-ZBAD,-.ZEAF=ZFAE'.

22

■■AF^AF,.-./^FAE'^/^FAE,：.FE=FE',gpBE+DF^EF.

(3)结论：PB+PC=4iPA,理由如下：

证明：将A42P绕点/逆时针旋转90。得到△/(?「，使得48与NC重合，如图所示，

试题13

试题

由圆内接四边形性质得：^ACP'+^ACP=1SO°,

即尸，C,P在同一直线上..•.8P=CP,AP=AP,

■：BC为直径,；ZB4C=9O°=44P+4P4C=4CAP'+乙PAC=NP/P,

・•.△P/P为等腰直角三角形，・•・/＞「=扬'，即P3+PC=0P/.

【点睛】本题考查了旋转与全等三角形的综合应用、直径所对的圆周角是直角、圆内接四边

形的性质、等腰直角三角形的判定及性质等知识点.解题关键是利用旋转构造全等三角

形.

3.（2022•福建•龙岩九年级期中）（1）【发现证明】

如图1,在正方形48c。中，点、E,尸分别是2C,C。边上的动点，且NE4尸=45。，求证:

E尸=。尸+8E.小明发现，当把绕点A顺时针旋转90。至ANOG,使43与4。重合

时能够证明，请你给出证明过程.

（2）【类比引申】①如图2,在正方形"BCD中，如果点E,尸分别是C8,℃延长线上

的动点，且NE/F=45。，贝|]（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出E尸，BE,DF之

间的数量关系（不要求证明）

②如图3,如果点E,厂分别是BC,C。延长线上的动点，且NE/F=45。，则E尸，BE,

。产之间的数量关系是（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1,若正方形/BCD的

边长为6,AE=3#,求""的长.

【答案】（1）见解析；（2）①不成立，结论：EF=DF-BE；@BE=EF+DF,见解析;

试题14

试题

(3)2A/10

【分析】(1)证明A£4F=AG4F,可得出EF=FG,则结论得证；

(2)①将AA8E绕点A顺时针旋转90。至A4DM根据“S可证明AE/尸=AM4F,可得

EF=FM,则结论得证；②将根。尸绕点A逆时针旋转90。至A48N,证明=

可得出所=加，则结论得证；

(3)求出。G=2,设。尸=x,则EF=PG=x+3,CF=6-x,在RtAEFC中，得出关于x

的方程，解出》则可得解.

【详解】(1)证明：把AA8E绕点A顺时针旋转90。至A4OG,如图1,

ZBAE=ZDAG,AE=AG,ZB=ZADG=90°,

AADF+AADG=\^°,：.F,D,G三点共线，

•••AEAF=45°,:.ZBAE+ZFAD=45°,

ZDAG+/.FAD=45°,NEAF=ZFAG,

AF=AF,A£4F=AGAF(SAS),

:.EF=FG=DF+DG,EF=DF+BE■,

(2)①不成立，结论：EF=DF-BE；

证明：如图2,将\ABE绕点A顺时针旋转90°至\ADM,

试题15

试题

ZEAB=ZMAD,AE=AM,ZEAM=90°,BE=DM,

ZFAM=450=ZEAFf

•・,AF=AF,••=\MAF(SAS),

EF=FM=DF-DM=DF-BE；

②如图3,将ZUO尸绕点A逆时针旋转90。至AA8N,

图3

/.AN=AF,/NAF=90。,

•/ZEAF=45°,;.NNAE=45。,:.NNAE=NFAE,

vAE=AE,A\AFE^\ANE{SAS),：.EF=EN,

:.BE=BN+NE=DF+EF,

即5E=E/+。尸.故答案为：BE=EF+DF.

(3)解：由(1)可知4石=46=3指，

试题16

试题

图4

正方形ABCD的边长为6,ADC=BC=AD=6,

22

DG=yjAG-AD=J（3病2-62=3.

BE=DG=3,:.CE=BC-BE=6-3=3,

设。E=x,贝!|£F=尸G=x+3,CF=6-x,

在五以£尸C中，CF2+CE2=EF-,.-.（6-%）2+32=（X+3）2,

解得：x=2.,-.DF=2,

AF=^AD2+DF2=A/62+22=2厢.

【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判

定与性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角

形的对应边相等进行推导.

4.（2022•山东省青岛第二十六中学九年级期中）【模型引入】

当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为"半角模型"

【模型探究】（1）如图1,在正方形/BCD中，E、尸分别是/8、8C边上的点，且乙红甲=

45。，探究图中线段ERAE,BC之间的数量关系.

【模型应用】（2）如图2,如果四边形4BCZ）中，AB=AD,LB4D=KBCD=9N,4EAF=

45°,且2c=7,DC=13,CF=5,求AE■的长.

【拓展提高】（3）如图3,在四边形中，AB=AD,乙48c与乙LDC互补，点£、尸分

别在射线C2、OC上，且乙取尸—5乙8/0.当2c=4,DC=7,C户=1时，ACE尸的周长等

于.

（4）如图4,正方形N8CD中，A/MN的顶点M、N分别在3C、CD边上，AHLMN,且

=AB,连接RD分别交/"、AN于点、E、F,若MH=2,NH=3,DF=25，求所的

长.

试题17

试题

(5)如图5,已知菱形/BCD中，乙8=60。，点£、尸分别是边2C,CD上的动点(不与端

点重合)，且NE4F=60。.连接AD分别与边/£、4F交于“、N,当ZD4F=15。时，求证：

图4图5

【答案】(1)EF=FC+AE,理由见解析；(2)BE=5；(3)13；(4)EF==；(5)见解析

2

【分析】(1)求证△£)£p三△£)〃？，即可推出£尸与EW的数量关系；

(2)在DC上取一点G,使得。G=8£,证明A43E三A<DG(MS),推出/£=/G,

乙BAE=d)AG,证明△AFE三A4尸G(.SAS),推出EF=FG,设BE=x,贝l|CG=13-x,

EF=FG=18-x,在放△£(?/中，根据E772=EC2+cp,构建方程求出x即可解决问题；

(3)证明AlDAf三AIBE(SAS)和△£/尸三△M4F,即可求解；

(4)先求出BM,DN,进而求出正方形的边长，再判断出N£NF=45。，借助探究的结论即可

得出结论.

(5)将尸绕/顺时针旋转120。，与重合，尸转至UG,在NG上取N〃=/N,连

接BH、MH,利用△AB/feAlDN和ZUMfeAOW,证明DN=BH,再证明△AWH

为直角三角形即可.

【详解】(1)EF=FC+AE,理由如下：

证明：将£绕点。逆时针旋转90。，得到△DCM,••・△/)/£三ADCW,

：.DE=DM,AE=CM,UDEuCDM,B、C,M三点共线，

♦./EDF=45°，:.UDE+^FDC=ACDM+AFDC=AMDF=45°,

在ADEF和△DA/F中,

试题18

试题

DE=DM

</EDF=/MDF=45。，；,ADEFwADMF(SAS),，EF=FM

DF=DF

・・.EF=FM=FC+CM=FC+AE；

(2)解：如图，在。。上取一点G,使得。

•・•乙BAD=乙BCD=90°,・・・43C+zD=180°,UBE+UBC=180°,,4BE=m

•・,AB=AD,BE=DG,'.AABE=AADG("S),；.AE=AG,乙BAE二乙DAG,

vz£L4F=45o,，乙EAB+乙BAF=ZJ)AG+乙BAF=45°,

,.ZBAD=90°,・・・^FAG=dAE=45°,

,：AE=AG,AF=AF,.-.AAFE=AAFG(S/S),：.EF=FG,

设BE=x,贝lj£C=防+5G=x+7,EF=FG=18-x,

在用产中，-EF2=EC2^CF2,

•••52+(7+x)2=(18-x)2,・・・x=5,:.BE=5；

(3)解：在上截取

图3

，叱D+~LBC=Z-ABE-\-Z-ABC=180°,•,•Z-D=Z-ABE,

乙二乙

-AD=AB,.-.AADM=AABE(SAS)f：.AM=AE,DAMBAE；

•.2EAF=乙BAE+Z-BAF=—乙BAD,：/MAF二—乙BAD,:，EAF=Z-MAF；

22

,・弘尸是△£AF与方的公共边，•••△EAF三AMAF,:.EF=MF；

试题19

试题

■：MF=DF-DM=DF-BE,：.EF=DF-BE.

:ACEF的周长=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF=BC+CD+2CF=13,故答案为：13；

(4)解：•••四边形N8CO是正方形，UBC=UDC=9Q°,

•:AHLMN,；HM=^ABC=90°,在此ZUA/8和M中，

AM=AM

……，：.Rt^AMBmRtAAMH,：/MAB=LMAH,BM=MH=2,

AB=AH

同理可证用A4A©三比DN=NH=3,

：2AMAH+2^NAH=90°,；.^MAH+乙NAH=45°,

.•.ZA£4N=45。.设正方形的边长为a,.•.CM=a-2,CN=a-3,

2

根据勾股定理得，(a-2)2+(a-3)=25,

■■.a=-l(舍)或a=6,：.BC=6,；.BD=6G,

逆时针旋转至AADG,

.■.AABE=AADG,：.AE=AG,UBE=UDG=45°,

；ZGDF=UDG+UDB=9O°,连接GF,根据勾股定理得，GF2^DG2+DF2^BE2+DF2,

■：AABE=AADG,；.AE=AG,4BAE=3AG,

•••乙GAF=4DAG+乙DAF=£BAE+乙DAF=90°-4EAF=45°=LE4F,

:AF=AF,.♦.△GAFm4EAF,：.GF=EF,：.EF2=BE2+AD2；

设也.：72_

EF=x,•:BD=&6,DF=2.BE=&2A/2_X=441.x,

•­•(4V2-x)2+(272)2=x2,解得x=£Z,；.EF=也;

22

(3)将AID尸绕/顺时针旋转120。，此时4D与48重合，尸转到G,在/G上取

连接BH、MH,如图：

试题20

试题

•••AADF绕/顺时针旋转得A45G,.•.乙B/G=ZZ%R

又AH=AN,AB=AD,.-.AABH=AADN(&4S),:.DN=BH,/ABH=/-ADN,

•./3=60°,且4EAF=60°.；.乙BAD=120°,；.乙DAF+4BAE=4EAF=60°,

；/BAG+乙BAEMEAF,即而/〃=/N,AM=AM,

:.4AMHm4AMN(SAS),^AMN=^AMH,

•••菱形/BCD4=60。，：./-ABD=/-ADB=30°,:.乙HBD=UBH+UBD=60°,

■.■^DAF=15°,N£/F=60°,中，乙DAM=UMD=75°,：.UMN=AMH=75°,

.■.^HMB=1S00-^AMN-AAMH=30°,.-.^BHM=90O,-.BH2+MH-=BM2,.-.D^+MN^BM2.

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的

性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线,

构造全等三角形解决问题，学会利用探究的结论解决新的问题，属于中考压轴题.

课后专项训练：

1.(2022•重庆市育才中学二模)回答问题

(1)【初步探索】如图1：在四边形48cA中，AB=AD,乙B=UDC=9Q°,E、尸分别是2C、

CD上的点，且EF=BE+FD,探究图中N8/E、乙FAD、NE/尸之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE.连接NG,先证明

△ABE三4ADG,再证明△AEF三△/GF可得出结论，他的结论应是；

(2)【灵活运用】如图2,若在四边形4BCD中，AB=AD,乙B+zD=180。.E、尸分别是2C、

CD上的点，且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；

(3)【拓展延伸】知在四边形/BCD中，AABC+^ADC=180°,AB=AD,若点£在C8的延

试题21

试题

长线上，点尸在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,请直接写出乙以尸与

乙D/2的数量关系.

【答案】(1)4BAE+乙FADEEAF；(2)仍成立，理由见解析；(3)乙EAF=18Q°-=4D4B

2

【分析】(1)延长FD到点G,使。G=8£,连接/G,可判定三A4DG,进而得出

乙BAE=")AG,AE=AG,再判定△AE7WA4GR可得出

/.EAF=/.GAF=U)AG+/-DAF=/-BAE+/-DAF,据此得出结论；

(2)延长ED到点G,使。G=2E,连接/G,先判定A45E三A4DG,进而得出

乙BAEMDAG,AE=AG,再判定A/1E尸三△/GF,可得出

^EAF=Z.GAF=ZJDAG+^DAF=ABAE+^DAF；

(3)在DC延长线上取一点G,使得。G=5E,连接/G,先判定A4DG三A42E,再判定

AAEF=AAGF,得出ZK4E=Z"G,最后根据NE4E+NE4G+NG/E=360。，推导得到

2^FAEMDAB=360°,即可得出结论.

【详解】解：(1)Z^AE+/.FAD=/.EAF.理由：

如图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接NG,

■■AB=^ADF=90°,UDG=UDF=90°,:zB=UDG=90°,

又♦:AB=AD,;&BE三想DG(SAS),•••乙BAE=£DAG,AE=AG,

■■EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,:&EFmAAGF(SSS),

:.乙EAF=LGAF=LDAG+乙DAF=LBAE+3AF：故答案为：4BAE+乙FAD=4EAF；

试题22

试题

(2)仍成立，理由：如图2,延长尸。到点G,使DG二BE,连接4G,

-^B+^ADF=180°fZADG+^ADF=18O°f“B二乙4DG,

又・；AB=AD,.••△ABE三AADG(SAS),；/BAE二乙DAG,AE=AG,

•；EF二BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,.'.AAEF=AAGF(SSS),

••・乙EAF=乙GAF二功AG+乙DAF=(BAE+乙DAF；

(3)4EAF=180°-g4D4B.证明：如图3,在。C延长线上取一点G,使得DG=8E,连接

AG,

■.■^ABC+^ADC=180°,^ABC+AABE=180a,“DC4BE,

又•:AB=AD,:.△ADGmAABE(SAS),：.AG=AE,乙DAG=cBAE,

■.■EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,:.LAEFmAAGF(SSS),；zFAE〃FAG,

■：/-FAE+/-FAG+/.GAE=3&0°,；24FAE+(4GAB+乙BAE)=360°,

；2乙FAE+QGAB+3AG)=360°,BP2^FAE+/LDAB=360°,：.^EAF=1?>G°-L^DAB.

【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综

合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推

导变形.解题时注意：同角的补角相等.

2.（2022•江西九江•一模）如图（1）,在四边形/5CD中，NB+ZD=180。，AB=AD,以

点/为顶点作N及4尸，且=连接EG⑴观察猜想如图（2）,当

ABAD=ZB=ND=90°时,

①四边形N2CD是（填特殊四边形的名称）；②BE,DF,所之间的数量关系为

.（2）类比探究如图（1）,线段BE,DF,即之间的数量关系是否仍然成立？若成

立，请加以证明；若不成立，请说明理由.（3）解决问题如图（3）,在A/BC中，

ABAC=90°,AB=AC=4,点、D,E均在边3C上，且ZD/E=45。，若BD=M,求DE

的长.

试题23

试题

（图1）（图2）（图3）

【答案】⑴①正方形；②2£+。尸=斯（2）详见解析⑶详见解析

【分析】（1）①根据正方形的判定定理即可得出；

②延长CD至点G,使得DG=BE,证得会A4DG,得出/E=/G,由

/LEAF=\ABAD,证得A/E尸多A/G尸，从而得出8£,DF,之间的数量关系；（2）同