2024-2025学年北京市大兴区高一数学上学期期中考试卷及答案解析

本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.

考试结束后，将答题卡交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

A=[a\a2=1]

1.设集合1I>,则不正确的是（）

A.-leAB.{1}=NC.0^AD.{-1,1}

【答案】B

【解析】

【分析】先求出集合A,再根据元素与集合、集合与集合的关系及子集的性质逐一判断.

【详解】^={a|«2=,显然A正确；B不正确；

因为0是任何集合的子集；任何集合都是它本身的子集，故C、D正确；

故选：B.

2.命题“。》62,|刈〉0"的否定是（）

A.Vx^Z,|x|>0B.VXGZ,|X|<0

C.3x^Z,|x|>0D.3xeZ,|x|<0

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称命题的否定结构直接判断即可

【详解】命题“▼》€2,|刘〉0”的否定为：3xeZ,|x|<0.

故选：D

3.下列函数中，是奇函数且值域为（-8,+8）的是（）

A.y-VxB.y=x2C.y=x3D.y=x~l

【答案】C

【解析】

【分析】先判断定义域，再判断函数的奇偶性，最后再根据定义域得到值域即可求出结果.

【详解】对于A,y=正定义域为{x|x»O},定义域不关于原点对称,

所以该函数不是奇函数，该选项不符合题意；

对于B,y=x2定义域为R,一力―(_耳2,

所以该函数不为奇函数，该选项不符合题意；

对于C,y=x3定义域为R,

则该函数为奇函数，又值域为(-8,+8),该选项符合题意；

对于D,>=汇|=4定义域为{x|x*O},—=

X—XX

则该函数为奇函数，但值域为{川ywO},该选项不符合题意；

故选：C.

4.已知。力eR,且ab=2,则二7+1的最小值为()

ab

11

A.-B.-C.1D.2

42

【答案】C

【解析】

【分析】对条件变形，结合基本不等式计算即可.

2

【详解】因为ab=2,所以b=—,a2>0,

a

11111/n~,

所以/+庐=/+1=/+彳24/*彳=1，

ClUCI(一)2a*■+VCL*■+

a

当且仅当与=土，即a=±J2,6=±0时，等号成立.

a4

所以一j'+yy的最小值为1.

ab~

故选：C.

5.设a,b,c,d为实数，则"a>b,Qd”是“a+c>b+d”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式的可加性可得。>b,c>dna+c>b+d成立；反之不成立，例如取c=5,d=l,

a=2,b=3.

【详解】根据不等式的可加性可得a>b,c>d=a+c>b+d成立;

反之不成立，例如取c=5,d=1,a=2,b=3,满足a+c〉b+d,但是。>6不成立，

:.a>b,c>d^a+c>b+d的充分不必要条件，故选A.

【点睛】本题主要考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

6.设函数/（x）=x+L在区间3+8）上单调递增，则。的取值范围是（）

X

A.（0,1]B,[1,+w）C,（0,2]D.[2,+s）

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的解析式求解函数/（X）在（0,+8）上的单调区间，再结合题给的区间求解参数的范

围，最后得出答案.

【详解】根据题意，》70.设国,》2€（°，+°°），且石〉》2〉0，

I（11（1,

/（X1）-/（X2）=X1HX2H=（七一刀2）1------，

X1\X2J\X\X2

'：Xj>x2>0Xj-x2>0.

x1>x2>lBt,1—提>>°，此时/（xj—/（》2）>°，/（x）在（1,+°°）上单调递增；

》2<西三1时，1-提卜<0,此时/（xj—/（%2）<0，/（X）在（0,1）上单调递减.

根据题意，函数/（X）在区间（。,+8）上单调递增，所以（a,+co）=1,+8）,

解得，ae[l,+oo）.

故选：B.

7.下列四个条件中，使。>6成立的充分而不必要的条件是（）

A.a2>b2B.a3>b3C.a>b+\D.a>b-\

【答案】C

【解析】

【分析】根据充分不必要条件的定义依次分析各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，a2〉b2=|a|〉|b|，故由同〉网不能得到。>6,充分性不成立，故不正确；

对于B选项，或=a>b，两者互为充要条件，故不成立；

对于C选项，a>b+l^>a>b,反之，不然，故满足条件；

对于D选项，a>bna>b-1,故是的必要不充分条件，不满足；

综上，只有C正确.

故选：C

【点睛】本题考查充分不必要条件，是基础题.

8.若不等式——(q+2)x+2aV0对任意的xe[-1,1]恒成立，则。的取值范围是()

A.[-1,1]B,[-1,+®)C,[-1,2]D.

【答案】D

【解析】

2

【分析】令/(x)=x-(a+2)x+2a,将问题转化为/(x)max<0,分类讨论£+140与]+1〉0两种情

况讨论，得到关于。的不等式，解之即可得解.

【详解】令/(幻=/一伍+2"+2。，，/(x)的对称轴为》=曰一=£+1,

2

当■|+1WO,即2时，/(x)max=/(l)=l-(a+2)+2a=a-l,

所以a—1W0,则〃<1,故。<一2；

2

当■|+1〉0,即a>—2时，/(x)max=/(-1)=(-1)+(«+2)+2a=3o+3,

所以3a+3<0,则。<一1,故一2<口三一1；

综上，a<-\,即实数。的取值范围是。<-1.

故选：D.

9.定义在R上的偶函数/(x)满足：/(2)=0,且对任意的西/26[0,+8)(西。々)，都有

""A/(而)<o,则不等式切(x)〉0的解集是()

x2一再

A.(-2,0)B.(―2,0)U(2,+00)

C.(-a),-2)U(0,2)D.(-g-2)U(2,+s)

【答案】C

【解析】

【分析】先判断单调性，结合奇偶性，分xNO和x<0讨论即可得解.

【详解】因为对任意的毛/2曰0，+。)(工尸乙)，都有)'3J\"<0,

一■々f

所以/(X)在［0,+“)上单调递减，

因为/(x)为偶函数，所以/(x)在(-8,0］上单调递增，

又/(2)=0,所以/(一2)=0,

当x»0时，#(x)>0=/(x)>0,可得0<x<2；

当x<0时，M(x)>0=/(x)<0,可得x<—2.

综上，不等式犷⑴〉0的解集为(-叫-2)u(0,2).

故选：C

10.已知函数/(x)=ax?+bx+c,a〉b〉c,a+b+c=0,集合/={机|/(机)<0},贝［J()

A.VmG^4,/(m+3)>0B.Vme^4,/(m+3)<0

C三加£4/(加+3)=0D,3mG^4,/(m+3)<0

【答案】A

【解析】

【分析】根据己知判断二次函数的开口方向和色的范围，利用韦达定理求/(x)=0的根，然后可得

a

/(加)<0的解集，利用二次函数单调性即可得解.

【详解】因为。>6>。,。+6+。=0,所以。

又0=a+b+c<2〃+。，所以色>-2,

a

c1c1

又0=a+6+c>。+2。，所以一<一大，所以一2<一<——,

。2a2

因为a+6+c=0,所以/(l)=a+3+c=0,所以/(x)=0的一个根为1,

由韦达定理可得，/(x)=0的另一个根为反，

a

所以/(加)<0的解集为二(机<1,所以机+3〉£+3〉1,

aa

由单调性可知/(m+3)>/(1)=0恒成立.

故选：A

【点睛】关键点睛：关键在于利用韦达定理求解不等式/(机)<0的解集，然后结合单调性即可得解.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数/(X)=五二1的定义域是.

【答案】［1,+口)

【解析】

【分析】根据偶次方根的被开方数非负得到不等式，解得即可；

【详解】解：因为/(X)=JE，所以x-120,解得X21,即函数的定义域为［1,+8)

故答案为：［1,+°0)

12.设aeR,V=2a(a—2),N=(a+l)(a—3),则〃与N的大小关系是AfN.

【答案】>

【解析】

【分析】用作差法比较大小即可.

【详解】M-N=2a-2)-(。+1)(。-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0,

所以/>N.

故答案为：>.

-x,x<0,

13.函数/(x)=1八则/(/(T))=______；不等式/(x)〉0的解集为______.

x—,x>0.

【答案】①.0②.(-oo,0)u(l,+oo)

【解析】

【分析】根据给定条件求出/(-1)的值，即可求得/的值；

根据分段函数的解析式，对自变量进行讨论，解不等式即可得到答案.

-x,x<0

【详解】因为/(X)=1八，所以/(—1)=一(一1)=1，即打〃一1)］=〃1)=1一；=0；

x----,x>01

、x

z、一x>0x—>0

依题意，不等式/X〉0等价于：八或X,

i[x>0

f1

r一x〉0x—>0

解<C，得：X<0；解<X，得：X>1;

x<0八

i[x>0

综上可得：X<0或X〉l,故原不等式的解集为(-8刀)。(1,+8).

故答案为：0,(-*0)。(1,+00)

14.定义域相同，值域相同，但对应关系不同的两个函数可以是/(x)=,g(x)=.

【答案】①.x(不唯一)②.2x(不唯一)

【解析】

【分析】根据定义域、值域相同即可得解.

【详解】根据定义域、值域相同，可取/(x)=x,g(x)=2x,

两个函数的定义域、值域都为R.

故答案为：x；2x(答案不唯一)

15.已知函数/(x)的定义域为。，若/(X)满足对任意的国,》2，当/(再)=/(%2)时，总有XI=々

成立，则称/(X)为单函数.给出下列四个结论：

(1)/(x)=|x|不是单函数；

(2)/(x)=—匚是单函数；

x+1

(3)若/(x)为单函数，则/(x)在定义域上一定是单调函数；

(4)若/(X)为单函数，则对任意的国,马，当须时，总有/(%)7/(工2)成立.其中所有正确

结论的序号是.

【答案】(1)(2)(4)

【解析】

【分析】取特殊值，根据新定义判断(1),根据新定义推理可判断(2),举反例判断(3),反证法判断

(4).

【详解】对(1),因为/(—1)=/。)，-1^1,不满足单函数定义，所以/(x)=|x|不是单函数，故

(1)正确;

X]11

对(2),/(x)=——-=1------,当/(玉)=/(X2)时，可得-----7=----7,即占=々，所以

X+lX+1X；+1X,+1

Y

/(x)=——是单函数，故(2)正确；

x+l

对(3),/(x)为单函数，可取/(x)=L但是/(x)在定义域(-s,O)U(O,+s)上不单调，故(3)错

X

误；

对(4),当X]WX2时，假设/(玉)=/(々)，则由单函数定义，可得者=%2，矛盾，故

故(4)正确.

故答案为：(1)(2)(4)

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知函数/(x)=x2—2x—3.

(1)求不等式/(x)之0的解集；

(2)求/(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值；

⑶设yeR,求证："詈]/(♦]㈤

【答案】(1)(一8,—l]U[3,+8)

(2)最大值为5,最小值为-4

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)/(x)>0,即2%—320,解一元二次不等式即可；

(2)求出二次函数的对称轴，利用单调性及二次函数的性质即可求解；

(3)利用作差法即可得证.

【小问1详解】

由/(x)»0,可知必―2x—320，

即(x—3)(x+l)20,解得x23或xW-l,

所以/(x)»0的解集为(-*TU[3,+8).

【小问2详解】

因为f(x)=x2-2x-3的对称轴为x=--—=1,

所以函数/(x)在［-2,1］上单调递减，在［1,2］上单调递增，又1-(-2)>2-1,

所以/(x)mm=/(1)=1-2-3=-4,/(x)111ax=/(—2)=4+4—3=5.

【小问3详解】

因为/［詈J］詈：—+用+*++加3，

/叫“%)=2x「3『—2/-3=；(J+x_a+%)_3,

2

所以/(石)；/(“2)=；('+x^)-1x1x2=^(%1-%2)>0,

即/『+［</(石)+/(》2)

17.已知集合/={x［0<x<2},8={x|2x-l〉a}.

(1)当a=l时，求/U8,(QZ)n8；

(2)再从条件(1)、条件(2)这两个条件中选择一个作为已知，求。的取值范围.

条件(1)：

条件(2)：“xeZ”是“xeB”的充分条件.

注：如果选择条件(1)和条件(2)分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)Zu8={x|x>0}；(QZ)n8={x|x»2}

(2)答案见解析；

【解析】

【分析】(1)由集合的交并补运算得到结果即可；

(2)选条件(1)时由补集和集合间的包含关系计算即可；选条件(2),先由充分条件得到4=5,再计

算即可；

【小问1详解】

当a=l时，8={x|2x-l>a}=,

所以Zu5={x|x>0},

%/={x|xVO或x»2},所以(QZ)n8={x|x22},

【小问2详解】

选条件(1),

%/={刈》40或工之2},B=^x\x>|>

因为80(Q/),所以等22,即。23；

选条件(2),

因为“xe/”是“xe8”的充分条件，所以

所以但W0,即1.

2

18.已知函数/(X)=F------k,keR.

x-+1

(1)判断/(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)用单调性定义证明/(X)在区间(0,+8)上单调递减；

(3)若/(x)的图象与无轴交于幺(玉,0),8(%，0)两点，且药<》2<；，求左的取值范围.

【答案】(1)/(x)是偶函数，理由见解析

4

(2)见解析(3)—<A-<1

【解析】

【分析】(1)求出定义域，找出/(-x),/(x)的关系；

(2)利用四步证明，取值，作差变形，定号，下结论；

11

(3)根据偶函数及在(0,+8)上单调递减，要使西</<2,与歹轴交于正半轴且将X=/代入/(X)函数

值小于0.

【小问1详解】

解：/(x)=———左的定义域为R,

X+1

・・・/(X)是偶函数；

【小问2详解】

解：Vxpx2e(0,+oo)且$</，

11\

（x2+xj（%2一2）

（x；+1）（X2+1）

vx15x2e（0,+oo）且$<x2,

x2+x；>0,x2-Xj>0,（x；+l'x；+1）>0,

.（々+石）（々-苞）0

.・W+g+1），

则/（再）-/卜2）>0,

即/（石）>/（%），

・・・/（X）在区间（0,+8）上单调递减；

【小问3详解】

解：/(X)的图象与X轴交于2(%,0),8(%,0)两点，且再<》2<3，

'1-左〉0

则</[-----k<

九-0,

4

解得：~<k<\.

19.已知经过x(xeN*)年某汽车的总花费由购车费、维修费和其他费用组成，其中购车费用是22.5万元,

使用x(xGN*)年的维修费为x(0.2+O.lx)万元，且每年的其他费用为0.8万元.

(1)求经过2年该车的总花费为多少万元；

(2)设经过x(xeN*)年该车的年平均花费为歹万元，写出N关于x(xeN*)的函数解析式，并求歹的

最小值.

【答案】(1)经过2年该车的总花费为24.9万元；

2?S

(2)y=^+0.1x+l,xeN*,N的最小值为4万元

x

【解析】

【分析】(1)设总花费为W万元，根据题意列出总费用的表达式，再将x=2代入计算即可;

225

(2)利用了=^+O[x+l,再利用基本不等式求最值.

x

【小问1详解】

解：设总花费为W万元，

则w=22.5+x(0.2+0.lx)+0.8x,

当x=2,w=22.5+2(0.2+0.1x2)+0.8x2=24.9(万元)，

答：经过2年该车的总花费为24.9万元；

【小问2详解】

解：由题意得：-5+x(O.2+O[x)+O-",

>2^^xO.lx+l=4,xeN*，

225

当且仅当：—=0.1%,即x=15,等号成立，

x

故歹的最小值为4万元.

.[/(%),/(%)<g(x),

20.已知函数/(x)=x+l,g(x)=(x—l)2.令函数M(x)=、

〔g(x),/(x)〉g(x).

(1)若〃(x)=2,求x的值；

(2)若函数y=〃(x)的图象关于点尸(0,1)成中心对称图形，当xNO时，h(x)=M(x).

(i)直接写出当x<0时，〃(x)的解析式；

(ii)对任意的工€口,(7+1],|力0)区2恒成立，求。的取值范围.

【答案】(1)V2+1

，/、—X"—2x+1,-3<x<0rr—~\

(2)(i)〃("=《；(ii)卜3,j2」

•XH~1,43

【解析】

【分析】(l)根据条件得到分段函数，根据函数值求得X的值；

(2)(i)根据对称求出解析式；

(ii)根据函数的单调性，以及函数值所对应的点可求出取值.

【小问1详解】

当/(x)<g(x),即X+1<(X—1)2,解得xWO或x23,

当/(x)>g(x)，即x+l〉(x—1)2,解得0<x<3,

fx+l,x<0或x>3

所以"(x)=2,

(x-1),0<x<3

当xVO或x23,若M(x)=2,即x+l=2,解得x=l,矛盾，

当0<x<3,若”(x)=2,即(x—iy=2,解得》=虚+1，》=—近+1(舍)，

所以当M(x)=2时，％=y/2+1;

【小问2详解】

(i)设X<0,则一%>0,

因为函数歹=〃(%)的图象关于点尸(0J)成中心对称图形，当x20时，〃(%)=M(x),

所以力⑴=2-〃(-工)，

当—x23,即％V—3时，〃(—x)=—x+1,则〃(x)=2—(―x+1)=x+1,

当0<—x<3,即一3Vx<0时，〃(一x)=(-%-1)2,

则/z⑴=2-(-、-1)2=-x2-2x+1,

-x2—2x+1,-3<x<0

所以〃(%)=<

x+1,x<-3

x+l,x>3

(ii)根据以上条件可得当x20时，〃(％)=</、2

\7(x-1),0<x<3

-x?-2x+1,-3<x<0

当工<0时,/z(x)=<

x+l,x<-3

所以该函数在和(1,+00)上为增函数，在(-1,1)上为减函数,

又〃(-1)=-1+2+1=2，〃⑴=0,

由(1)可知当x20时，〃(x)=2时，求得》=亚+1，不存在〃(力=一2的值,

当x<0时，〃(一1)=2,令h(x)=-2,求得x=—3,

因为对任意的x^[a,a+1],|/z(x)|<2恒成立，即对任意的x&[a,a+1],-2<A(x)<2恒成立,

所以当一2<〃（x）<2时，—3VxvVi+l，即<+]<正+丁解得一3VavVi，

21.若含有4个元素的数集N={a,8c,d}能满足ab-cd=l,则称数集A具有性质J.给定集合

B=-[1,2,3,4,5,6,7,81,C=eN*|1<x<4n,〃23,〃eN*}.

（1）写出一个具有性质J