2024-2025学年高二年级上册期中模拟数学试卷5（含答案）

2024-2025学年高二上学期期中模拟测试卷

【人教A版2019】范围：第一章〜第三章

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.圆/+y2-4无=0的圆心坐标和半径分别为（）

A.（0,2）,2B.（-2,0）,4C.（2,0）,2D.（2,0）,4

【答案】C

【分析】将圆的一般方程化为标准方程，由此得到结果.

【详解】圆的方程可化为：（x—2，+y2=4,.•.圆心坐标为（2,0）,半径r=2.

故选：C.

2.顶点在原点，准线方程为％=，的抛物线的标准方程为（）

4

AA.y"2=-3xDB.2———3x

J2J2

C.y2=3%D.y2=—3x

【答案】D

【分析】求出p的值，可得出抛物线的标准方程.

【详解】由题意可知，抛物线的开口向左，设抛物线的标准方程为y2=-2px（p>0）,

则5=£所以p=|,所以抛物线的标准方程为y2=—3%.

故选：D.

3.双曲线，—?=l（a>0）的离心率为则。=（）

A.1B.gC.J]D.

【答案】B

【分析】根据双曲线的基本量关系求解即可.

【详解】由题意,殍,即苏+4=3a2,解得。=

故选：B

4.如图，空间四边形勿比中，OA=a,OB=b,方=落点摊碗上，且。M=2MA,点微式中点,

则而=()

A.—CL—bH—cB.—CLH—bH—c

232322

C.~CL—b—cD.—CLu—c

22232

【答案】B

【分析】根据空间向量线性运算，结合图形分析可得.

【详解】因为。M=2M力，点仍3%中点，

所以祈1=BN=^BC,

故而=MA+AB+~BN=|OX+0B-0A+^BC

=1a+^-a+|(OC-OB)=-|a+S+|(c-b)=一|益+|B+g氏

故选：B.

5.若两异面直线"与I2的方向向量分别是瓦=(1,0,-1),底=(0,-14),则直线.与I2的夹角为

()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【解析】设异面直线％与所成的角为。，根据cose=Ms(石，底“，即可求解.

【详解】由题意，两异面直线k与(2的方向向量分别是后=(1,0,—1)，^=(0,-1,1),

可得同=』，同=6小可=—1,

设异面直线4与，2所成的角为仇则COS。=|cos(可'，可)|=L=I，

又因为eC(0°,90°),所以6=60。,

即直线％与弓的夹角为60°.

故选：B.

6.已知直线4：a%+2y+4=0,直线4：%+(Q+l)y+4=0,若“/弓，则"与与的距离为()

A.@B.2^2C.3^2D.4^2

【答案】C

【分析】

先由直线平行求得a的值，再利用平行直线间的距离公式即可得解.

【详解】因为4：a%+2y+4=0,与：%+(a+l)y+4=0，且。〃修

所以"。，且；誓一解得。二一2,

贝ij，i：—21+2y+4=0,即％—y—2=0,l2'.x—y+4=0,

所以，1与，2的距禺为'=」=32.

乙Ji+iN

故选：C.

7.若直线此一y-2=0与曲线J1一(y-=%-1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是

)

A.(Q]B.g,4]

C-[-2<_|)U(?2]D-G+8)

【答案】A

【分析】根据题意，化简曲线为-if+(y—1)2=1(x21),再由直线恒过定点P(0,—2),结合图

象和圆心到直线的距离，列出方程，即可求解.

【详解】由曲线J1—(y—ip=x-1,可得(％-1)2+(y-1)2=1(%>1),

又由直线/ex—y—2=0f可化为y=kx—2,直线怛过定点P(0,—2),

作出半圆与直线的图象，如图所示，

结合图象，可得力（1,0）,所以演4=牛*=2,

1—（J

当直线与半圆相切时，可得半3=1,解得k=%

Jfc2+1

所以实数k的取值范围为G，2].

故选：A.

8.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，

这条直线被称为欧拉线.已知△ABC的顶点力（—1,0）,B（l,0）,C（l,l）,若直线/:ax+（a-3）y+1=0与

△ABC的欧拉线垂直，则直线（与△ABC的欧拉线的交点坐标为（）

【答案】B

【分析】由题求出欧拉线方程，即可得直线，方程，后可得交点坐标.

【详解】由△4BC的顶点坐标，可知其重心为（干1,=j）.

注意到%B=。，直线比斜率不存在，则△ABC为直角三角形，

_1_1

则其垂心为其直角顶点则AZBC欧拉线方程为：二|=三今丫=+

0——1——2N

33

因其与士ax+（a—3）y+1=0=y=二——二垂直，则一^=2=a=2.

v7a—3a-3a-3

则/:y=2x+l,则直线/与△ABC的欧拉线的交点坐标满足]'=一5"十万n]'3）即交点为

（y=2%+1[y=|

（-髭）•

故选：B

选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下面四个结论正确的是（）

A.若三个非零空间向量乙『,才满足江，另石，房则有用浮

B.若空间四个点PC=^-~PA+^PB,则AB,C三点共线.

44

C.已知位Z可是空间的一组基底，若沅=3+落则但石，网也是空间的一组基底

D.已知向量d=（l,l,x），b=（-3,%,9）,若x<V，则值，研为钝角.

【答案】BC

【分析】根据向量的概念，空间向量的基本定理，以及空间向量基底的定义和空间向量的数量积的运

算公式，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，若非零空间向量匕江日满足江，另,石，落不一定满足到/落所以A不正确；

对于B中，因为丽=工方+三丽，则工丽一工刀=2而一三而，BRIC=3CB,

444444

又因为前与方有公共点，所以A,B,C三点共线，所以B正确；

对于C中，由国工,送是空间的一组基底，且万=B+3

令记=xd.+yB,可得%江+丫另=江+*此时方程组无解，所以2,另,日+不共面，

所以何虚,记｝可以作为一个空间基底，所以C正确；

对于D中，若值，3为钝角，则心另<0,且日与3不共线，

由2•另=-3+x+9x<0,解得x<,,当时d与另平行时，由==工=］解得％=-3,

10-3x9

当2与3不共线得x。—3,所以当％且X。—3时，口石）为钝角，所以D错误.

故选：BC

10.线":二+3y+9=O14：（Q-2）%+ay+7—a=0,则下列说法正确的是（）

A.当a>0时，％的倾斜角的范围是［0,学）

B.若j/5则a=3

C.若I1112,则a=|

10

D.当a=3时,%到与的距离为?

【答案】BCD

【分析】求出直线，2的斜率范围判断A;由两直线平行求出a判断B；由两直线垂直求出a判断C；由平

行线间距离公式计算判断D.

【详解】对于A,当a>0时，直线％的斜率％=三=2-1>一1，当—l<k<0时，％的倾斜角ae

LaaL

当kN0时，I2的倾斜角ae[0,5），A错误;

对于B,由，//I2，得展—1=解得a=3,B正确;

对于C,由，］J-与，得(a—2)+3ct=0,解得a=5,C正确;

对于D,当a=3时，Z'/'，直线q:%+3y+4=0,'到，2的距.为一广阳-二-,D正确.

Jl2+32

故选：BCD

11.双曲线C:/-4=1的左、右焦点分别为乙,乙，圆M:（%+2）2+y2=1与双曲线的渐近线在第二、

第三象限分别相切于点4B,则下列说法正确的是（）.

3

A.双曲线的渐近线方程为y=±*

B.双曲线的离心率为3-

C.双曲线的焦点到渐近线的距离为]

D.△力BP?的周长为g+2}+2小

【答案】ABD

【分析】

求出双曲线的渐近线方程，借助圆的切线求出所，再逐项计算判断即得结果.

2

【详解】圆时:（K+2）2+旷2=1的圆心用（—2,0）,半径r=l,双曲线C:/—9=1的渐近线方程为

bx±y=0,

3

依题意，3旦=1,解得62=1,因此双曲线的渐近线方程为y=土骨，A正确;

Jl+b2

2323

双曲线C的实半轴长为1,则半焦距。=4+/=看，其离心率为-c=等，B正确;

23

双曲线C的右焦点尸2（+，。），点尸2到渐近线无土

由］%±j3y=0,解得x=_|,y=±f,即|阴二/

1(%+2)2+y2=1

故选：ABD

三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知直线2的方向向量为（2,巾,1）,平面a的法向量为（1彳,2）,且〃/a,那么巾=

【答案】-8

【分析】根据题意，得到直线的方向向量与平面法向量互相垂直，结合向量的数量积列出方程，即

可求解.

【详解】由直线2的方向向量为（2,6,1）,平面a的法向量为（1彳,2）,

因为〃/a,可得直线的方向向量与平面法向量互相垂直，所以2+|m+2=0,

解得7?1=-8.

故答案为：-8

13.已知圆C：x2+y2-4x-2y+1=0,圆C的弦AB被点P(2,0)平分，则弦4B所在的直线方程

是.

【答案】y=0

【分析】

先将圆的方程化为标准方程，得到圆心C(2,l),由于圆C的弦AB被点P(2,0)平分，tUBLPC,得到

kAB=0,由点斜式求解即可.

【详解】因为圆C：x2+y2-4%—2y+1=0,

所以化为标准方程为：(x-2)2+(y-l)2=4,所以圆心C(2,l).

又圆C的弦4B被点P(2,0)平分，故ABLPC,

而直线PC斜率不存在，所以%B=0，

由于AB过点P(2,0),故直线的方程为：y=0.

故答案为：y=0.

14.已知点P(—3,0)在动直线mx+政—(m+3n)=0上的投影为点〃，若点N(2,|),则|MN|的最大值

为.

【答案】y/5.5

【分析】化简直线为加(％-1)+几3—3)=0,得到恒过定点M'(1,3),根据题意，得到点M落在以

PM'为直径的圆上，其中半径为「=|,结合|MN|max=MM+r,即可求解.

【详解】由直线血久+—(zu+3九)=0,可化为根。-1)+n(y—3)=0,

由方程组卜—1=°,解得x=l,y=3,可得直线恒过定点M'(1,3),

ly-3=0

则"MZI=J(l+3>+(0-3)2=5,

因为P在动直线rnx+ny-(m+3n)=0上的投影为点M,即PM1MM',

所以点M落在以PM'为直径的圆上，其中圆的半径为r=也

设PM'的中点为4可得4(—1,|),

又因为N(2,|),可得|/N|=3,所以|MN|的最大值为3+|=蓝.

故答案为：y.

四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知直线/经过两条直线x+2y—5=0和3%-y-1=0的交点.

(1)若直线/与直线％-2y-3=0垂直，求直线1的方程；

(2)若直线/与直线％-2y-3=0平行，求直线/的方程及此时直线I与直线x-2y-3=0的距离.

【答案】(l)2x+y—4=0；

(2)x-2y+3=0,|^5.

【分析】(1)求出两条直线的交点得(1,2),再利用直线垂直设2的方程为2x+y+C1=0,把(1,2)

代入方程即得.

(2)由直线平行设直线加勺方程为x-2y+C2=0(C2-3),把(1,2)代入方程即得，再求出平行线

间距离.

【详解】(1)由卜+2"5=°,解得卜=1,即直线无+2y—5=0和3x—y—1=0的交点为

(3%—y—1=0ly=2

(1,2)，

由直线(与直线尤—2y—3=0垂直，设直线/的方程为2%+y+%=0,

把点(1,2)代入方程得2+2+J=0,解得力=-4,

所以直线/的方程为2%+y-4=0.

(2)由直线/平行于直线x-2y-3=0,设直线/的方程为％—2y+。=。(Q。一3)，

把点(1,2)代入方程得1—2x2+Q=0，解得。2=3,

所以直线/的方程为x—2y+3=0,直线2与直线x-2y-3=0的距离d=%(，)1=(

"+(-2)2

16.(15分)已知双曲线式一片=1.

4m

(1)若巾=5,求双曲线E的焦点坐标，顶点坐标和渐近线方程；

(2)若双曲线E的离心率e6,3,求实数小的取值范围.

5

【答案】⑴焦点坐标为(—3,0),(3,0)；顶点坐标为(—2,0),(2,0)；渐近线方程为y=±1x

(2)(20,32)

【分析】(1)代入血=5,求出a,b,c的值以及双曲线焦点的位置，即可得出答案；

m+4

(2)根据已知求出a,b,c的值，得出e=♦，根据e的取值范围，即可得出答案.

22

【详解】⑴由已知可得，双曲线的方程为卜上1,

所以，双曲线的焦点在工轴上，且=4,b2=5,c2=a2+b2=9,

所以，a=2,b=c=3,

所以，双曲线E的焦点坐标为(—3,0),(3,0)；

顶点坐标为(—2,0),(2,0)；

渐近线方程为y=±£%=士

(2)由已知可得，a2=4,b2=m>0,c2=a2+b2=m+4,

所以，a=2,b=y/m,c=Jm+4,

c

e丁〒

整理可得，24<6+4<36,

解得20<m<32.

17.(15分)如图，在四棱锥P—ABCD中，PA1平面ABCD,AB1AD,AD//BC,AP=AB=AD=1,

且直线PB与CD所成角的大小为参

p

BC

(1)求BC的长；

⑵求点C到平面PBD的距离.

【答案】(1)2

⑵小

【分析】(1)建立空间直角坐标系，然后求出丽，利用直线PB与CD所成角的大小为求出BC的长

即可；

(2)先求出平面的法向量，再根据点到面的距离公式求出距离即可.

【详解】(1)因为P4_L平面4BCD,且AB1ZD,

所以建立如图分别以AB,AD,AP为x,y,z轴的空间直角坐标系，

贝1JP(O,O,1),B(1,O,O),C(O,1,O),令BC=t,贝>0),

所以而=(1,0,-1),CO=(-1,1-t,0),

所以3〈两丽”骷二刀后，

因为直线PB与CD所成角的大小为专所以cos<PB,CD>=p

即/——二|,解得t=0（舍）或者t=2,

J2xjl+（l-t）2

所以BC的长为2；

（2）由（1）知P（0,0,l）,B（l,0,0）,D（0,l,0）,C（l,2,0）,

令平面PBD的法向量为访=(x,y,z),因为丽=(1,0,-1),丽=(0,1,-1),

所以巴一°=["Z~°,令x=l,则y=l,z=l,所以记=(1,1,1),

im-PD=0iy-z=0

又怎=(0,-2,0),所以d==磊=

'7।\m\唱I3\

所以点C到平面PBD的距离为|[.

18.(17分)若圆M的方程为(％—1)2+(y—4)2=4,/ABC中，已知4(7,2),8(4,6)，点C为圆M上的动

点.

(1)求AC中点D的轨迹方程；

(2)求2MBe面积的最小值.

【答案】(1)(x—4)2+(y—3)2=1；(2)4

(xn=2x—7

【解析】(1)设D(x,y),C(Xo，yo),根据中点坐标公式得出，由相关点法即可求出点。

Do=2y-2

的轨迹方程；

(2)利用两点间的距离公式以及点到直线的距离公式即可求解.

(%=2(x=2x_7

【详解】(1)设。(%,丫),。。0，丫0)有<°rr,

[y=竽d=2y—2

222

由(尤0-l)+(y0-4)=4得(2x—7—I?+(2y—2—4)=4,

即D点的轨迹方程为(x-4)2+(y-3)2=1.

(2)计算得|2B|=5,直线AB为4x+3y-34=0,

点(1,4)到直线ZB的距离d=包|3=当，

点C到直线AB的最小距离为蓝-2=|

；•(S/4BC)min=~X5X-=4.

【点睛】本题考查了相关点法求点的轨迹方程、点斜式方程、两点间的距离公式以及点到直线的距

离公式，需熟记公式，属于基础题.

19.(17分)如图，已知外(—J10,0),/^(小。。)分别是双曲线氏/—3=l(a>0/>0)的左、右

(2)过直线/：x=l上任意一点酢直线q,q与燃左、右两支相交于4晒点，直线q关于直线，对

称的直线为22(与4不重合)，^2与珊左、右两支相交于G/两点.证明：^ABD=ZACD.

v2,2

【答案】(1)^一5A=1

46

(2)证明见解析

【分析】(1)根据焦点以及点P(—坐,5)在双曲线上，列方程即可求解，

(2)联立直线与双曲线方程可得韦达定理，进而根据弦长公式求解|47|=Jl+H|%1-1|,\BT\=

222

J1+/