2024-2025学年广东省珠海市香洲区某中学九年级（上）期中数学试卷

2024-2025学年广东省珠海市香洲区紫荆中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）若关于x的方程（加-1），+加x-1=0是一元二次方程，则加的取值范围是（）

A.m=\B.mC.mAD.m^O

2.（3分）2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中（）

3.（3分）已知。。的半径为3c根，点尸到圆心。的距离为5cm,则点尸（）

A.在圆内B.在圆上

C.在圆外D.在圆上或圆外

4.（3分）已知抛物线y=G+3）2-2经过点尸（1,ji）和。（3,»），则yi与"的大小关系是（）

A.yi=y2B.yi>y2C.yi<y2D.无法确定

5.（3分）在“双减政策”推动下，某校学生课后作业时长明显减少.原来每天作业平均时长为100〃泌，

经过两个学期的调整后，则所列方程为（）

A.100（1-%2）=70B.70（1+x2）=100

C.100（1-X）2=70D.70（1+x）2=100

6.（3分）ZUOB绕点。逆时针旋转65°后得到△COD,若//。2=30°,则N30C的度数是（）

A.25°B.30°C.35°D.65

第1页（共26页）

7.（3分）如图，已知NC是直径，AB=6,。是弧8C的中点，则。£=（)

A.1B.2C.3D.4

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点N的坐标为（-1,遮），将点N顺时针旋转90°得到点4,

则点4坐标为（）

C.(0,2)D.(«,1)

9.（3分）二次函数夕=h2一6x+3的图象与x轴有交点，则左的取值范围是（）

A.左W3且左WOB.左<3且左WOC.kW3D.k<3

10.（3分）如图所示，边长为2的等边△NBC是三棱镜的一个横截面.一束光线儿很沿着与边垂直的

方向射入到3C边上的点。处（点。与3,C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，且入射光线和

反射光线使NML>K=/FDK.设BE的长为x,△。尸C的面积为>（）

B.

第2页（共26页）

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）抛物线y=-（x-1）2+3的顶点坐标是；与夕轴的交点坐标是.

12.（3分）己知/、〃是方程--2x-3=0的两个根，则代数式7〃"+/-的值为.

13.（3分）抛物线y=（x+2）2-5先向左平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的抛物线解

析式为.

14.（3分）如图，已知AB是的直径，C、。是。。上两点、且/。=130°度.

15.（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a#0）与x轴交于点（-1,0）和点（3,0）.（填写

序号）

①abc>0；②2a-6=0；③3a+c=0：④当y>0时；⑤加为任意实数，则a加?+6加>°+人；⑥若

，

axj+bx1=axo+bx2且xi力X2,贝UXI+X2=2-

三、解答题（一）（每小题7分，共21分）

16.（7分）解方程：

（1）X2+3X=0；

（2）X2-6X-7=0.

17.（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△4BC的顶点坐标分别是/（-1,2）（-3,1）、C（0,

-1).

第3页（共26页）

(1)画出△/2C关于原点。对称的△NbBiCi；

(2)画出△/2C绕点C逆时针方向旋转90°后得到的△DEC,并写出点/的对应点。的坐标.

18.(7分)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端N处弹跳到人梯顶端椅子8处，其身体(看成一点)

y=-2x*+2x+2的一部分，如图所示.

5

(1)求演员弹跳离地面的最大高度；

(2)已知人梯高8。=3.6米，在一次表演中，人梯到起跳点/的水平距离是4米

四、解答题(二)(每小题9分，共27分)

19.(9分)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=\m\.

(1)求证：对于任意实数相，方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的一个根是1,求加的值及方程的另一个根.

20.(9分)如图，是OO的一条弦，于点。，点E在。。上.

(1)若NBED=28。，则//OD的度数为；

第4页(共26页)

(2)若点3是DE的中点，求证：DE=AB；

(3)若CD=3,48=12,求。。的半径长.

D

21.(9分)某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种台灯的

售价每上涨0.5元

(1)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？

(2)当台灯的售价定为多少元时，获得的月利润最大？

五、解答题(三)(22题13分，23题14分，共27分)

22.(13分)如图，在正方形/BCD中，线段N3绕点/逆时针旋转a(0°<a<90°),延长至点歹

使得C2=C尸，取线段斯的中点G

(1)求证：4ADE咨ACDF.

(2)如图(2),当£恰好是AF中点时，求证：AE=V5DG.

(3)在旋转过程中，/BGC的度数是否发生改变？若不变，求出/BGC的度数，请说明理由.

(4)若48=4,在旋转过程中，请直接写出△GDC的面积最大值.

图⑴图⑵

23.(14分)如图所示，抛物线y=a/+2x+c的对称轴为直线x=l,与x轴交于点/、点、B,与y轴交于点

C(0,5),E两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)平移线段CD,若点C的对应点。落在抛物线上，点。的对应点。落在直线。£上(3)如图(2),

将DE上方的抛物线沿着直线DE翻折，P的对应点为点Q,连接PQ交DE于点G.

第5页(共26页)

①当四边形DPE。是菱形时，请直接写出点尸的坐标;

②在点P的运动过程中，求线段尸。的最大值.

第6页（共26页）

2024-2025学年广东省珠海市香洲区紫荆中学九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）若关于x的方程-1），+如；-1=0是一元二次方程，则加的取值范围是（）

A.机=1B.C.机21D.mWO

【解答】解：由题意得：m-l^O,

解得：〃层3,

故选：B.

【解答】解：A.图形既不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B.图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C.图形既不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D.图形既是中心对称图形，故本选项符合题意

故选：D.

3.（3分）已知。。的半径为3ca,点尸到圆心。的距离为5cm,则点尸（）

A.在圆内B.在圆上

C.在圆外D.在圆上或圆外

【解答】解：：点P到圆心。的距离为5cm>3cm,

点尸在圆外.

故选：C.

4.（3分）已知抛物线y=（x+3）2-2经过点尸（1,ji）和。（3,y2）,则yi与/的大小关系是（

A.yi—y2B.yi>yiC.y\<yiD.无法确定

第7页（共26页）

【解答】解：当X=1时，A=(8+3)2-7=14；

当％=3时，yi=(5+3)2-6=34.

V14O4,

故选：C.

5.(3分)在“双减政策”推动下，某校学生课后作业时长明显减少.原来每天作业平均时长为100〃泌,

经过两个学期的调整后，则所列方程为()

A.100(1-x2)=70B.70(1+x2)=100

C.100(1-X)2=70D.70(1+x)2=100

【解答】解：根据题意得100(1-X)2=70.

故选：C.

6.(3分)△/。2绕点。逆时针旋转65°后得到△COD,若//。2=30°,则N80C的度数是()

A.25°B.30°C.35°D.65°

【解答】解：:△/OB绕点。逆时针旋转65°得到△<%>〃，

ZAOC=ZBOD=65°,

VZAOB=30°,

：.ZBOC=ZAOC-ZAOB=35°,

故选C.

7.(3分)如图，已知NC是直径，48=6,。是弧8C的中点，则。£=()

第8页(共26页)

【解答】解：连接。瓦

:。是弧BC的中点，

/.ZBOD=ZCOD,

"：OB=OD,

：.OD±BC,BE=AAX8=6,

22

是圆的直径，

ZABC^90°,

；.AC=d+BC2r62+87=10,

.,.OB=^AC=4,

2

•••OE=VOB2-BE2=VS2-48=3，

：.DE=OD-OE=5-2=2.

故选：B.

三

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点/的坐标为（-1,弧）,将点/顺时针旋转90°得到点4,

则点4坐标为（）

y

A.（1,-遥）B.（-V3，1）C.（0,2）D.（V3-1）

【解答】解：如图所示，过/作轴于2,

VZAOA'=90°=ZABO=ZOCA',

：.ZBAO+ZAOB=9Q°^ZA'OC+ZAOB,

：.ZBAO=ZCOA',

又

:.LAOB2AOA'C（AAS）,

第9页（共26页）

：.A'C=BO=\,CO=AB=y/3,

.•.点/'坐标为（&,1）,

9.（3分）二次函数夕=依2一6工+3的图象与x轴有交点，则人的取值范围是（）

A.左W3且左WOB.后<3且左WOC.kW3D.k<3

【解答】解：•二次函数尸依2-6x+4的图象与x轴有交点，

.•启0且公=（-6）7-4^328,

；"W3且左W0.

故选：A.

10.（3分）如图所示，边长为2的等边△NBC是三棱镜的一个横截面.一束光线儿很沿着与边垂直的

方向射入到BC边上的点。处（点D与B,C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，且入射光线和

反射光线使NMDK=/FDK.设BE的长为x,△。尸C的面积为了（）

A.

第10页（共26页）

ZB=ZC=60°,BC=2,

u：MELAB,

：.ZBED=90°,

；・/BDE=30°,

又.：BE=x,血石沿着与45边垂直的方向射入到5C边上的点。处(点D与B,

；・BD=2x,CD=6-2x.

VZMDK=ZFDK,OK与5C垂直，

：・NCDF=NBDE=30°,

ZZ>FC=180°-ZCDF-ZC=90°,

：.FC=1.CD=1.,FD=CD-sin60°=(8-2x)X叵=M，

327

：.y=lj^C-FD

5

=A(7-X)xJs

2

=(1-x)2.

8

函数图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线x=5.

故选：A.

二、填空题(每小题3分，共15分)

11.(3分)抛物线>=-(x-1)2+3的顶点坐标是(1,3)；与y轴的交点坐标是(0,2)

【解答】解：由题意，二•抛物线为夕=-(x-1)2+2,

，其顶点为(1,3).

又令x=4,

.,•y--(0-1)3+3=2.

第11页(共26页)

，与y轴的交点坐标为（2,2）.

故答案为：（1,2）,2）.

12.（3分）己知〃?、〃是方程--2x-3=0的两个根，则代数式仅"+加2-的值为0.

【解答】解：：加、〃是方程，-2x-5=0的两个根，

m2-Im-3=0,mn--3,

nr-2m=5,

mn+m2-2m=-2+3=0.

故答案为：4.

13.（3分）抛物线y=（x+2）2-5先向左平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的抛物线解

析式为y=（x+3）2+1.

【解答】解：由题知，

将抛物线^=（x+2）2-8向左平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式为>=（x+3）6-5,

再将所得抛物线向上平移6个单位长度后，所得抛物线的解析式为y=（x+7）2+1.

故答案为:尸（x+2）2+l.

14.（3分）如图，已知48是。。的直径，C、。是上两点、且/。=130°40度.

【解答】解：是。。的直径,

ZACB=90°,

.,./2=180°-ZD=50°,

：.ZBAC=900-Z5=40°.

15.（3分）如图，抛物线y=ax2+6x+c（aWO）与x轴交于点（7,0）和点（3,0）①③⑹.（填

写序号）

①%>0；②2a-6=0；③3a+c=0：④当y>0时；⑤〃？为任意实数，则。”於+方根>°+6；⑥若

+,

axi+bx1=ax2bx2且不力物则知+&=2.

第12页（共26页）

【解答】解：由所给函数图象可知,

。>0,b<0,

所以abc>2.

故①正确.

因为抛物线与X轴交于点（-1,0）和点（7,

所以抛物线的对称轴为直线x=zlil=1）

5

则上=2，

2a

所以2a+b=0.

故②错误.

因为抛物线经过点（-2,0）,

所以a-b+c=0,

又因为b=-2a,

所以a-(-2a)+c=0,

即8a+c=0.

故③正确.

由函数图象可知，

当x<-l或x>8时，函数图象在x轴上方，

所以当y>0时，x<-1或x>4.

故④错误.

因为抛物线开口向上，且对称轴为直线x=l，

所以当x=l时，函数取值最小值为a+6+c,

则对于抛物线上任意一点（横坐标为机），且函数值不小于a+b+c,

所以am4+bm+ca+b+c,

即am2+bm^a+b.

故⑤错误.

第13页（共26页）

又因为X1WX8,

所以巴士;1，

6

即XI+X7=2.

故⑥正确.

故答案为：①③⑥.

三、解答题(一)(每小题7分，共21分)

16.(7分)解方程:

(1)X2+3X=0；

(2)X2-6X-7=0.

【解答】解：(1)VX2+3X=4,

.,.x(x+3)=0,

则x=6或x+3=0,

解得X7=0,X2=-6；

(2)Vx2-6x-2=0,

(x-7)(x+8)=0,

贝Ux-7=4或x+1=0,

解得X4=7,X2=-8.

17.(7分)如图，在平面直角坐标系中，已知△NBC的顶点坐标分别是/(-1,2)(-3,1)、C(0,

-1).

(1)画出△A3C关于原点。对称的△NLBICI；

(2)画出△A3C绕点C逆时针方向旋转90°后得到的△DEC,并写出点/的对应点。的坐标.

第14页(共26页)

（2）如图，△DEC即为所求.

由图可得，点。的坐标为（-3.

18.（7分）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端/处弹跳到人梯顶端椅子2处，其身体（看成一点）

y=-2x2+2x+2的一部分，如图所示.

5――

（1）求演员弹跳离地面的最大高度；

（2）已知人梯高3c=3.6米，在一次表演中，人梯到起跳点/的水平距离是4米

第15页（共26页）

【解答】解：(1)由题意，：二次函数为y=-Z?+2x+2=-2(x-1)2+_9；

5567

.•.当X=9时，y有最大值，

y最大值

22

演员弹跳离地面的最大高度是4.4米.

(2)能成功表演.理由是：

当x=4时，y—-A2+2X4+2=3.3.

7

即点2(4,3.6)在抛物线y=-Z?+2x+2上，

5

因此，能表演成功.

四、解答题(二)(每小题9分，共27分)

19.(9分)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=\m\.

(1)求证：对于任意实数处方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的一个根是1,求加的值及方程的另一个根.

【解答】(1)证明：：(x-3)(x-2)=H，

.".x5-5x+6-\m\—l,

VA=(-5)2-5(6-|m|)=\+2\m\,

而|加及0,

A>0,

•••方程总有两个不相等的实数根；

(2)解：•.•方程的一个根是6,

\tn\=2,

解得：m=±2,

，原方程为：x2-5x+4=5,

第16页(共26页)

解得：X1=1,X2=4.

即m的值为土2,方程的另一个根是6.

20.(9分)如图，是。。的一条弦，于点C,点E在。。上.

(1)若/3£。=28°,则的度数为56°；

(2)若点8是血的中点，求证：DE=AB；

(3)若CE>=3,4B=12,求。。的半径长.

D

【解答】(1)解：于点C,交OO于点，

，弧/。=弧8£>,

■:NDEB=28°,

ZAOD=2ZDEB=56°,

故答案为：56°；

(2)证明：•.,点3是品的中点，

•1•BD=BE，

于点C,交。。于点D,

•••AD=BD«

B1>AD=BD+BE-

即定=命

：.DE=AB-,

(3)解：'：ODLAB,

:.AC=BC=1AB=L,

32

'：CD=4,

：.OC=OD-CD=OA-CD,

第17页(共26页)

在直角三角形/0C中，AO2^OC2+AC3,

：.AO2=（CM-3）2+62,

解得/。=生，

8

..•。。的半径长为”.

2

21.（9分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种台灯的

售价每上涨0.5元

（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？

（2）当台灯的售价定为多少元时，获得的月利润最大？

【解答】解：（1）设这种台灯的售价应定为x元，则平均每月可售出[[600-2，

0.3

...（X-30）[600-10（X-40）]=10000,

.,.X2-130x+4000=0,

.*.X7=50,X2=80.

又：每个台灯的利润不得高于进价的90%,即利润W30X90%=27,

-30W27.

•\xW57.

**.x=50.

这时应进台灯为：600-5（50-40）=500（个）.

7.5

答：为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为50元.

（2）由题意，设台灯的售价为x元，依题意：y—（x-30）[600--,

'6.5

-10X2+1300X-30000

=-10（X-65）2+12250.

又：0<xW57.

.,.当x=57时，y最大=11610元.

答：这种台灯的售价应定为57元，每月的最大利润是11610元.

五、解答题（三）（22题13分，23题14分，共27分）

22.（13分）如图，在正方形/BCD中，线段N3绕点/逆时针旋转a（0°<a<90°）,延长至点/

使得C2=CF,取线段斯的中点G

（1）求证：AADE咨ACDF.

第18页（共26页）

(2)如图(2),当E恰好是2尸中点时，求证：AE=V5DG.

(3)在旋转过程中，/2GC的度数是否发生改变？若不变，求出NBGC的度数，请说明理由.

(4)若/8=4,在旋转过程中，请直接写出△GZX7的面积最大值.

图⑴图(2)

【解答】(1)证明：：四边形N5CD是正方形，

：.AB=AD=BC=CD,ZBAD=ZABC=ZBCD=90°,

:线段NB绕点/逆时针旋转a(0°<a<90")得到线段NE,

：・4B=4E,ZBAE=a,

:./DAE=90°-a,ZABE=90°-

2

：.ZCBF=—,

7

•；BC=CF,

：.ZCBF=ZCFB=CF=CD=AD=AE,

2

/.Z5C^=180°-a,

：.ZDCF=90°-a,

：.ZDCF=ZDAE,

:.A4DE名ACDF(&4S)；

(2)证明：如图2,连接3。，

图⑵

AADE义4CDF,

第19页(共26页)

:・DE=DF,NADE=NCDF,

：.ZADC=ZEDF=90°,

・・・△。旗是等腰直角三角形，

・・・G是跖的中点,

：.DG=EG=GF,DG1EF,

:./DGB=9U°=ABCD,NDEG=45°,

・,•点G,点。，点。四点共圆，

/.ZBGC=ZBDC=45°,

：./DEG=/BGC,

C.DE//CG,

•；BC=CF,点、E是BF中点、,

：.CE.LBF,BE=EF=6DG,

：.DG//CE,

・・・四边形DGCE是平行四边形，

:・CE=DG,

22

■-CF=7EF-K；E=V6DG2+DG2=娓DG,

:.AE=4^DG；

(3)解：N8GC的度数不会改变，理由如下:

如图2,连接AD,

图(2)

,/4ADE出dCDF,

：.DE=DF,ZADECDF,

：.ZADC=ZEDF=90°,

...△D即是等腰直角三角形，

第20页（共26页）

：G是所的中点,

：.DG=EG=GF,DGLEF,

：.ZDGB=90°=ZBCD,ZDEG=45°,

...点G,点。，点C四点共圆，

ZBGC=ZBDC=45°；

(4)解：如图7,连接NC,连接。G,

图（3）

:四边形/BCD是正方形，AB=4,

：.CD=AB=4,AC=BD=2MM，

:点G,点。，点。四点共圆，

...点G在以。为圆心，0D为半径的圆上运动，

:线段绕点N逆时针旋转a（80<a<90°）得到线段NE,

.•.点G在加上运动，

当。GLCD时，△GDC的面积有最大值，

'：ODLOC,OD=OC,

：.0H=CH=DH=2,

.,.△GDC的面积的最大值=」X4义（2V3V2-4.

5

23.（14分）如图所示，抛物线y=a/+2x+c的对称轴为直线x=l,与x轴交于点/、点5,与y轴交于点

C（0,5）,E两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移线段CD,若点C的对应点。落在抛物线上，点。的对应点。落在直线DE上（3）如图（2）,

将DE上方的抛物线沿着直线DB翻折，P的对应点为点。，连接尸。交。£于点G.

①当四边形DPEQ是菱形时，请直接写出点尸的坐标；

第21页（共26页）

②在点P的运动过程中，求线段PQ的最大值.

-2=1,

7a

解得：a=-1,

又：抛物线y=ox3+2x+c与夕轴交于点C（0,3）,

・・5,

...抛物线的解析式为＞=-X2+3X+5.

（2）联立得,,

y=-x2+2x+5