2024-2025学年广东省深圳某中学九年级（上）期中数学试卷

2024-2025学年广东省深圳中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分）

1.（3分）如图是一个常见水杯，它的主视图是（）

2.（3分）下列对一元二次方程f+2x+3=0根的情况的判断，正确的是（

A.有两个不相等实数根B.有两个相等实数根

C.有且只有一个实数根D.没有实数根

3.（3分）如图，将矩形48CD沿对角线AD折叠,使点C落在尸处，则ND3尸的度数为（)

C.62°D.56°

4.（3分）反比例函数y=K在第一象限的图象如图所示，其人的取值是下列备选项中的一项（）

X

第1页（共32页）

A.1B.2C.3D.4

5.（3分）县林业部门考查银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据

如下表所示：

移植的棵数a1003006001000700015000

成活的棵数684279505847633713581

成活的频率土0.840.930.8420.8470.9050.905

a

根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（）

A.0.905B.0.90C.0.9D.0.8

6.（3分）如图，N8表示一个窗户的高，和3N表示，窗户的下端到地面距离米，已知某一时

刻2c在地面的影长CN=1.5米，则高为（）米.

ADAEADDE

8.（3分）欧几里得的《几何原本》记载，对于形如/+办=户的方程，可用如图解法：作直角三角形

其中/C=90°,BC=±,在斜边上截取（）

A.线段/C的长B.线段3C的长

C.线段的长D.线段CD的长

第2页（共32页）

9.（3分）已知尸是反比例函数y&（x〉o）图象上一点，点2的坐标为（1,0）,>APLBP,AP-.BP

35

10.（3分）矩形ABCD中，AB=2,40=4,E,厂分别在边8C,CD上，/尸分别交AD于点M,N,若

NE4尸=45°,则下列结论中：@ZAFD+ZAEB^135°；（2）（3）DF=12+SM2=ACV2；⑤2MN

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）已知旦=3,那么史主=.

bb

12.（3分）若x=2是一元二次方程，-3xtp=0（pWO）的一个根，则p的值是.

13.（3分）如图，在△/3C中，点。、£为边48三等分点，/C〃DG〃昉，点〃为/月与。G的交点.若

HD=3_________

14.（3分）在平面直角坐标系中，点/（-3,2）,B（1,4）,C（-1,/?）,分别在三个不同象限K"

x

#0）的图象经过其中两点，则〃=.

15.（3分）如图，在菱形48CD中，ZA=60°,当B'_L4D时，典的值为.

第3页（共32页）

第4页（共32页）

BA

三、解答题(本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(6分)解方程:

(1)X2+3X-5=0；

(2)(2x-1)2=2X-1.

17.(8分)为了解九年级学生的投篮命中率，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次.现对九年

级(1),绘制成如下的两幅统计图，根据图中提供的信息

励命中率条形统计图触命中率扇形统计图

(1)九年级(1)班的学生人数〃?=人，扇形统计图中〃=%；

(2)扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为°

(3)在投中3次的学生中，有2个男生2个女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，求恰好抽到

一男一女的概率.

18.(6分)如图，△/8C三个顶点的坐标分别为/(1,2),B(3,1),C(2,3).

(I)画出△NBC关于x轴对称的△48C1；

(2)以原点。为位似中心在第二象限内画一个△/*2c2，使它与△ZLBCI位似，且相似比为2：1；

(3)若内部一点M的坐标为(a,b),则点M在△/42。2中的对应点血2的坐标

是.

第5页(共32页)

19.(8分)随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司在某

地试点投放了一批共享汽车，该试点八月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，十月份的全

天包车数达到64次.

(1)若从八月份到十月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；

(2)现该公司计划扩大市场，经调查发现，每辆车的全天包车租金每降价10元，公司决定从11月1

日起，降低租金，计划11月在该试点获利7920元，应将每辆车的全天包车租金降价多少元？

20.(8分)在锐角三角形48C中，点。、£分别在边/8、AC±,于点尸，ZBAF=ZEAG.

(1)求证：△ABCSMED；

(2)若/8=5,AG=2,EG=1

21.(9分)黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富

的美学价值.我们知道：如图1区_望，那么称点C为线段的黄金分割点.

ACAB

第6页(共32页)

图4

(1)如图1,请直接写出C3与NC的比值是；如图2,在RtZ\/BC中，ZC

=90°,NC=2,则/2=,在3/上截取则AD=,

在/C上截取NE=4D,则胆的值为；

AC

(2)如图3,用边长为。的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕连接EN,即使

点A的对应点77落在EN上,得折痕EC-,

(3)如图4,在边长为2的正方形Z8CA中，M为对角线3。上一点，豆CNVDN,当N为CD的黄

金分割点时，连NM,延长MWr交4D于E

22.(10分)如图，一次函数yi=Mx+2的图象与反比例函数的图象相交于点/(3,-1)和点2

(1)求反比例函数》的解析式和点3的坐标;

(2)①直接写出当时，x的取值范围；

②连接OA和OB,求△/O5的面积；

(3)点P为线段/C(不含端点)上一动点，过点P作PQLx轴交反比例函数于点0,点E为x轴上

一点，点尸为平面内一点，D,E,歹四点构成的四边形为正方形时，写出点P的坐标.

第7页(共32页)

第8页（共32页）

2024-2025学年广东省深圳中学九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分）

1.（3分）如图是一个常见水杯，它的主视图是（）

【解答】解：从正面看，水杯把手在左侧，

故选：A.

2.（3分）下列对一元二次方程，+2x+3=0根的情况的判断，正确的是（）

A.有两个不相等实数根B.有两个相等实数根

C.有且只有一个实数根D.没有实数根

【解答］解：a=\,b=2,

VA=b2-4ac=22-4X1X8=-8<0,

一元二次方程/+2x+3=2没有实数根，

故选：D.

3.（3分）如图，将矩形/BCD沿对角线8D折叠，使点。落在尸处，则ND3/的度数为（）

第9页（共32页）

A.31°B.28°C.62°D.56°

【解答】解：•.,四边形/BCD为矩形，

：.AD//BC,ZADC=90°,

又；/BDC=62°,

:./BDE=90°-ZBDC=90a-62°=28°,

；.NCBD=/BDE=28°,

,/矩形ABCD沿对角线BD折叠，

:./FBD=/CBD=28°.

故选：B.

4.（3分）反比例函数y=K在第一象限的图象如图所示，其人的取值是下列备选项中的一项（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：如图，’.TX2〈后<7X2,

：.2<k<2.

观察选项，。符合题意.

故选：C.

5.（3分）县林业部门考查银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据

如下表所示：

移植的棵数a1003006001000700015000

第10页（共32页）

成活的棵数b84279505847633713581

成活的频率少0.840.930.8420.8470.9050.905

a

根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（）

A.0.905B.0.90C.0.9D.0.8

【解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，

故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9.

故选：C.

6.（3分）如图，A8表示一个窗户的高，和5N表示，窗户的下端到地面距离米，已知某一时

刻2c在地面的影长CN=1.5米，则高为（）米.

【解答】\BN//AM,

：.ZCBN=ZA,ZCNB=ZM,

:.丛CBNs4cAM,

...NC=BC；

,,而而’

•1.5=1

"T5"而，

解得：CA=4(加)，

：.AB=3-1=2(%),

故选：B.

ADAEADDE

【解答】解：=

第11页（共32页）

，N4+NBAE=N2+/BAE,

：./DAE=ZBAC,

，选项B、D根据两角对应相等判定△NBCs△/£>£•,

选项/根据两边成比例夹角相等判定△A8CS44DE,

选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似,

故选：C.

8.（3分）欧几里得的《几何原本》记载，对于形如/+办=户的方程，可用如图解法：作直角三角形/3C,

其中/C=90°,BC=±,在斜边上截取3D=3c1()

A.线段NC的长B.线段3c的长

C.线段的长D.线段CD的长

【解答】解：设AC=b±,

2

在中，AB=AD+BD=x+±,

2

根据勾股定理得：/+（A）2=（x+A）2,即

23

则这个方程的一个正根是线段ND的长.

故选：C.

9.（3分）已知尸是反比例函数y&（x〉O）图象上一点，点8的坐标为（1，0）,1.AP1.BP,AP-.BP

35

【解答】解：作轴，轴.

第12页（共32页）

则△NPNS.BPM,

•AN=PN=PA=2

BMPMPB3

.♦.尸纵坐标比横坐标是8：2,

设尸的横坐标是2x,则纵坐标是4x,

3x=-^-,

7x

即x2=l,

；.x=8（负根舍去），

尸的坐标是（2,3）,

：.ON=2,

:点2的坐标为（1,0）,

：.BM=5,

：.AN=2L,

3

=4+2=11,

36

...点N的纵坐标为卫■.

3

故选：A.

10.（3分）矩形NBCD中，AB=2,40=4,E,尸分别在边3C,CD上，N尸分别交8。于点M,N,若

ZEAF=45°,则下列结论中：①/4FD+/4EB=135°；②（3）DF=1-+BM1=MN2；⑤2MN

）个.

C.3D.4

【解答】解：ZADF+ZAFD+ZE4D=180°,

NAEB+/ABE+NBAE=18Q°,

第13页（共32页）

・•・ZADF+ZAFD+ZFAD+ZAEB+ZABE+ZBAE=360°,

VZADF=ZABE=90°,

・•・/AFD+/E4D+/AEB+/BAE=180°,

VZEAF+ZBAE+ZFAD=90°,ZEAF=45°,

ZBAE+ZE4D=45°,ZAFD+ZAEB=ISO°-45°=135°,

故①正确；

■:BE=\,AB=2,

在中，

AE=VAB7+BE2=724+12=V8，

'：AD//BC,

：.AADMsAEBM,

•••A--D=---A--M,

BEEM

'：AD=4,AM=AE-EM,

-4疾-EH

'"6~.

EJU=-^~,故②正确；

在Rtz\48D中，BD=VAD2+AB2=5V5,

...AD^=BD=ZDAB=ZABC=90°,

ABAE

AADBs^BAE,

：.ZBAE=ZADB,

,：ZBAE+ZDAE=90°,

/.ZDAE+ZADB=90°,

ZAMD^90°,

VZEAF=45°,

：.NMNA=45°,

AAM=MN=AE-EM^^^

b

•：NBAE=/ADB,ZAMD=ZAMB=90°,

・・・dADMsABAM,

第14页（共32页）

•ADDMAM,

ABAMBM

DM--，B股平，

67

.4756娓

••DN=DM-MN-a7±L-BN=MN+BM>

'JAB//CD,

:AANBs工FND,

•••-D-F-=-D-N-,

ABBN

.4

,,DF节，

故③错误；

：.DN4+BM2^MN2,故④错误；

：.8MNW3BM,故⑤错误；

故选：B.

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）已知旦=3,那么a+b=4.

bb

【解答】解：•.•包=3,

b

：・a=3b,

Aa+b=7b+b=4b=4.

bbb

故答案为：6.

12.（3分）若x=2是一元二次方程，-3X4T?=0（pWO）的一个根，则P的值是2.

【解答】解：把x=2代入方程f-6x+p=0得4-3+/?=0,

解得p=2,

即P的值为5.

故答案为：2.

13.（3分）如图，在△ZBC中，点。、E为边AB三等分点,AC〃DG〃EF,点、H为AF与DG的交点、.若

HD=318.

第15页（共32页）

c

G

F

ADEB

【解答】解：・・,点。、E为边45的三等分点，

:・AD=DE=EB,

；・AB=3BE,AE=2AD,

U：DG//EF,

：.AADHsAAEF,

：.DH：EF=AD：AE,

,:HD=3,AE=2AD,

A3：EF=AD：AAD,

：・EF=6,

U：EF//AC,

：.ABEFsABAC,

：.EF：AC=BE：AB,

•：EF=6,AB=7BE,

A6：AC=BE：3BE,

・・・/C=18,

故答案为：18.

14.(3分)在平面直角坐标系中，点/(-3,2),B(1,4),C(-1,〃)，分别在二个不同象限K(左

X

W0)的图象经过其中两点，则"=-4.

【解答】解：由已知条件，/、2、C三点的坐标知：/点在第二象限，C点在第二或第三象限.

又已知三点分别在三个不同象限知：C点只能在第三象限.

由反比例函数图象的特性知：图象经过的两个点是2点和C点.

将2(1,4)代入得上=4，

7

该反比例函数解析式为：y=A,

X

将C(-4,")代入解析式：

故答案为：-3.

第16页(共32页)

15.（3分）如图，在菱形48CD中，ZA=60°,当A'B'工4D时，典的值为—汉1二3

BC2

第17页（共32页）

BA

【解答】解：如图，连接44,，A'M,令A'B'交AD于H,

由折叠的性质可得：AM=A'M,BN=B'N,AA'A_MN,

：.AA'//BB',

AZNBB'=/NB'B,ZMAA'=/MA'A,

"：A'B'LAD,

；./4HM=NGHM=90°,

ZHMA'=90°-/MA'H=9Q°-60°=30°,

AM=A/M=2x，则A'H=JA,M=X，MH=VAyM2-AzH2=V6x)

o

:M为AD的中点，

.'.AD=2AM=4x,

'：ZHMA'=/MAA'+ZMA'A,

：.ZMAA'=NMA'A=15°,

:./BAA'^ZBAD+ZMAA'=75°

"：AA'//BB',

，/夕3/=180°-ABAA'=105

第18页（共32页）

连接B。、BM,

・・,四边形是菱形，

:.BC=AD=AB=2x,BC//AD,

：.ZBGH=ZGHM=90°,ZCBA=1SO°-ZBAD=120°,

VZBAD=60°,

・・・△45。是等边三角形，

・・•/为4。的中点，

J.BM1.AD,

:./BGH=/GHM=/BMH=90°,

・•・四边形5GHM是矩形，

•••GB=HM=EX，

VZNBB'=/CBA-/B'A4=15°,

AZNB'B=ZNBB'=15°,

：.ZGNB'=NNB'B+ZNBB'=30°,

设NB=NB'=2y,贝!JG8'=y,3-GB/2=V3y

.1•GB=BN-K}N=3y+V3x,

Ay=(3V3-3)x，

BN=4y=(4^3-2)x，

•BN=(4a-5)x=2娓-3,

'*BC=&=~2~，

故答案为：6后-3.

2

三、解答题(本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(6分)解方程：

(1)X2+3X-5=0；

(2)(2x-1)2=2x-1.

【解答】解：(1)：a=l,b=3,

：.A=32-4X(-3)=29>0,

•l-b±Vb2-8ac_-3±咽

•»X-------------------------------,

2a2X1

第19页（共32页）

-ri=-5+V29丫,=-2-屈.

•»X1--------------------,X2-------------；

22

(2)(2x-3)2=2x-7,

(2x-1)8-(2x-1)=7,

(2x-l)(7x7-1)=3,

2x-1=4或2x-1-2=0,

所以Xl=工"，X2=7.

2

17.(8分)为了解九年级学生的投篮命中率，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次.现对九年

级(1),绘制成如下的两幅统计图，根据图中提供的信息

励命中率条形统计图的命中率扇形统计图

(1)九年级(1)班的学生人数加=40人,扇形统计图中〃=55%；

(2)扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为36°

(3)在投中3次的学生中，有2个男生2个女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，求恰好抽到

一男一女的概率.

【解答】解：(1)由统计图知，投中0次有2人，

，九年级(1)班的学生人数机=5・5%=40,

,/(40-2-12-7)4-40=55%,

••77=55；

故答案为：40,55；

(2)•.•360°XJL=36°,

40

扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为36°；

故答案为：36；

(3)画树状图如下：

第20页(共32页)

男女女男女女男男女男男女

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的结果有4种,

:.p(刚好抽中一男一女)=旦=2.

126

18.(6分)如图，ZUBC三个顶点的坐标分别为/(1,2),B(3,1),C(2,3).

(1)画出△A3C关于x轴对称的△421。；

(2)以原点。为位似中心在第二象限内画一个△/232C2,使它与△//Ci位似，且相似比为2：1；

(3)若由Ci内部一点Mi的坐标为(a,b),则点Mi在△/*2c2中的对应点初2的坐标是

2a,-26)

【解答】解：(1)如图1,△出以。即为所求;

第21页(共32页)

八

图1

(2)如图2,△4＞以。2即为所求.

图2

(3)根据位似图形的性质可知，点跖在△/力2。3中的对应点〃2的坐标是(-2a,-46).

故答案为：(-2a,-26).

19.(8分)随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司在某

地试点投放了一批共享汽车，该试点八月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，十月份的全

天包车数达到64次.

(1)若从八月份到十月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；

(2)现该公司计划扩大市场，经调查发现，每辆车的全天包车租金每降价10元，公司决定从11月1

第22页(共32页)

日起，降低租金，计划11月在该试点获利7920元，应将每辆车的全天包车租金降价多少元?

【解答】解：（1）设全天包车数的月平均增长率为X,

根据题意得：25（1+x）2=64,

解得：X6=O.6=6O%,X8=-2.6（不符合题意，舍去）.

答：全天包车数的月平均增长率为60%；

（2）设应将每辆车的全天包车租金降价y元，则十一月份的全天包车数达到（64+JL,

根据题意得：（120-y）（64+工义7）=7920,

10

整理得：y2-40^+300=0,

解得：了6=10，72=30,

又：要尽可能地让利顾客，

.,.j=30.

答：应将每辆车的全天包车租金降价30元.

20.（8分）在锐角三角形A8C中，点。、£分别在边/8、AC±,于点尸，ABAF=ZEAG.

（1）求证：AABCS4AED；

（2）若/B=5,AG=2,EG=\

【解答】（1）证明：,：AG±DE,AFLBC,

ZAFB=ZAGE=90°,

/BAF=ZEAG,

：.ZAED=ZABC,

,：ZEAD=ZBAC,

：.£\ADE^/\ABC；

（2）解：由（1）可知：NAFB=/4GE=9Q°,

:NBAF=NEAG,

：.AABFsdAEG,

•••AF,_AB

AGAE

第23页（共32页）

U：AB=5,AG=2,AGIDE,

•，•/£=VAG8+EG2=728+12=V3，

-AF5

••--------=__L"?

2V6

:*AF=2正.

21.（9分）黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富

的美学价值.我们知道：如图1匹望，那么称点C为线段的黄金分割点.

ACAB

图3图4

（1）如图1,请直接写出CB与NC的比值是—逅二1_；如图2,在中，ZC=90°,AC

—2―

=2,贝|/3=_，而_,在8/上截取贝、而在/C上截取/£=N。，则岖的

———AC

值为_近二1_；

2

（2）如图3,用边长为。的正方形纸片进行如下操作：对折正方形/2DE得折痕连接EN,即使

点/的对应点〃落在EN上，得折痕EC；

（3）如图4,在边长为2的正方形4BCD中，”为对角线2。上一点，旦CNVDN,当"为CD的黄

金分割点时，连NM,延长?W交于£_7-3点_.

【解答】（1）解：设N3=l,AC=m（加＞0）,则此匹，即生私

ACABm1

：.m2+m-4=0,解得m=l8或一遥弋

_m22

经检验，山二匠之是原方程的解，

m2

第24页（共32页）

•BCACm-3

"AC"AB="I-

在RtZUBC中，ZC=90°，AC=2,

A

图2

AB=VBC2-AC2=V5)

,:BD=BC,AD^AE,

设(〃>6),

则AB=AD+DB=AE+BC=1+n,

AC2=AB4-BC2=(l+〃)472十6+2〃,

,・ZC=2,

/+2〃=4,

解得nW^T或-4（舍去），

经检验n=V5-相原方程的解，

•1•AE=V4-1>

则坐=遍-4.

AC2

故答案为：近二EV5；V7-1；近二4

22

（2）证明：如图3,设EC与九W交点为尸,

E

M「

A

'JMN//AB,且“为EN中点，

•••M--P-_---E--M-_，，一3，,

ACEA2

过尸作PQLEN,

第25页（共32页）

■:EC平分/AEN,

：.PM=PQ.

设尸M=PQ=LC=X,

：.PN=MN-PM=a-x,

sinAENM—^L,

PNEN

a

解得x=反飞小

4

经检验x=返乡为原方程的解，

4

'.AC=2x=^^—^a,

2

泥-1a-（匈Ta]

a

AAC=2=V7-1_BC__2_V2-1

"AB-a~~'AC41-12

2a

•••A--C_--B--C-V3-1,

ABAC2

；.C为4B的黄金分割点；

图4

VZAMO^ZBNO,/AOM=/BON,

：.AAMOs丛BNO,

•OA=OM

"OBON

即处=耍_

ONON

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又：ZMON=ZAOB,

：./\MON^/\AOB,

：.Z1=ZABO=45°,

...△&4N是等腰直角三角形，

：.SA=AN,ZSAN=90°,

；./3=90°-N2=N5,

在△SZ4和中，

，ZSTA=ZALN=90°

<Z3=Z7，

,SA=AN

:ASTA"AALNCAAS),

,:N为CD的黄金分割点，CNVDN,

:.设DN=(5/5-1)?L=AL=ST,

**•DC=BC=NL=AT=4a,

；.TL=AT+AL=(V5+1)a-

设KT=x,

，tanA：=gL=m,

_KTKL

...(V21)a—2a,

x(V4+1)a+x

解得x—(3+W)a>

经检验，符合题意，

.,.AK=x+2a—5+\[3a>

•AE=AK=(5+V5)a=5+375.

"DEDN(V4-l)aF-'

又,：AE+DE=6,

:・DE=7-3V8.

22.(10分)如图，一次函数勿=Mx+2的图象与反比例函数y="的图象相交于点/(3,-1)和点2

2X

(1)求反比例函数”的解析式和点3的坐标；

(2)①直接写出当时，x的取值范围；

②连接OA和OB,求△/O5的面积；

(3)点P为线段/C(不含端点)上一动点，过点P作尸轴交反比例函数于点0,点£为x轴上

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一点，点尸为平面内一点，D,E,歹四点构成的四边形为正方形时，写出点尸的坐标.

【解