2024-2025学年福建省部分学校新高考高三（上）质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省部分学校新高考高三（上）质检数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={-2,-1,0,1,2},B=\x\-2<x<2},则4nB=（）

A.{-2-1,0,1,2}B.{-2-1,0,1}C.[-1,0,1,2}D.{-1,0,1）

2.复数z=律，贝Uz的虚部为（）

A.3B.-3C.-iD.-1

3.已知等比数列{斯}为递增数列,若。3，。6=6,a4+a5=5,则公比q=（）

123

A-6B.6C3-D-z

ff（X—匹）+t,X>0JI

4.已知函数/（%）=八4,满足/（万）=1,则实数t的值为（）

ISlrKLXfXU

A."B.|C.1D.2

r

5.在△&BC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,已知2acos2'=b（l-cosA）+a,则△ABC的形状是

（）

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

6.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱441=4.若侧面44/13水平放置时，液面恰好过4C,

7.已知双曲线C：诲—£=l（a>0,6〉0）的焦距与其虚轴长之比为3：2,则C的离心率为（）

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8.某城市采用摇号买车的方式，有20万人摇号，每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续进入下月摇

号，每个月都有人补充进摇号队伍，每个季度第一个月摇上的概率为急第二个月为今第三个月为看则

平均每个人摇上需要的时间为（）个月.

A.7B.8C.9D.10

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知九Qn。九）为实数，随机变量X〜NQ,/）,且「（XWTH）=尸（X之九），贝!]（）

[1

mn<mn22

A.1B,2+2>4C,m+n<2D.—mF-n>2

10.如图，在棱长为2的正方体ABC。-/1/C1D1中，点P是正方体的上底面Z1/C1

Di内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（）

A.三棱锥Q-PCO的体积是定值

B.存在点尸，使得尸Q与441所成的角为60。

C.直线PQ与平面力遇皿所成角的正弦值的取值范围为（0,孝）

D,若PDi=PQ,则P的轨迹的长度为呼

11.利用不等式“hix—x+1W0”可得到许多与>2且neN*）有关的结论，则下列结论正确的是（）

A.Znn<1+|+|+-+^

Blnn*+*+“,++

n(n+l)

C.(1+2)(1+4)-(1+2九)>e•2—

D,l+2n+---+nn<-^7-nn

6—1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在△4BC中，已知力B=LAC=3,点G为△ABC的外心，点。为△ABC重心，则而•丽=

7T

13.己知3eR,（Pe[0,2TT）,若对任意实数%都有sin（x-§）=Sin（3%+9）恒成立，则满足条件的一组有序

数对（3,0）为.

a

14.已知函数/'（%）=x-loghx（a>l,b>1）有且只有一个零点，则ab的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

已知Sn为数列｛aj的前n项和，若5„=2即-471+2.

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(1)求证：数列0+4｝为等比数列;

712

(2)令。=4,若历+岳+…+b71V而，求满足条件的最大整数几.

16.(本小题15分)

在△A8C中，内角4B,C的对边分别是a,b,c,若a=1,A=p且满足asinC+bsinA=2csinB.

(1)求c+6的值；

(2)设而=而,而=痴，求△4DE外接圆的半径.

17.(本小题15分)

如图所示，是。。的直径，点C是。。上异于4B的动点，PC1平面力BC,E,F分别为PA,PC的中

点.

(1)求证：EF1平面PBC；

(2)若PC=2,AB=2/，二面角B—P4—C的正弦值为手，求BC.

18.(本小题17分)

已知椭圆C：1+同=1®>b>0)的离心率为最且经过点

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点(1,0)作直线I与椭圆相交于4B两点，试问在x轴上是否存在定点Q,使得两条不同直线Q4QB恰

好关于x轴对称，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

19.(本小题17分)

已知光e6兀).

(1)将sinx,cosx,x,—|好+1按由小到大排列，并证明；

x2

(2)令/(%)=xe+xcosx-2sinx-sinxf求证：/(%)在久E6兀)内无零点.

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参考答案

1.D

2.B

3.0

4.B

5.D

6.B

7.C

8.C

9.AB

IQ.ACD

11.ABD

12-

,3

兀)或(―1苏)

1

14.(a+00)

15.解：⑴证明:由S九=2M一4九+2可得，

当?1=1时，的=2a]—4+2,解得a1=2,

当九N2时，S九一1-2a九一1—4(71—1)+2,即5*九_1—2a九一4九+6,

则Q九=Sn—Sn-i=(2an—4n+2)—(2a71T—4荏+6)

ctn—2azi—2a九—i—4,BPtzn—2。九+4,

BPa+4=2(a_i+4),即^^=2,

nnun—l'什

又+4=6,

所以数列国九+4｝是首项为6,公比为2的等比数列.

(2)由⑴得册+4=6-27，则%=古==I*(I)-1，

设由+b24----kbn=Tn,

则44X6)°+1XG)1+1X(界+…+1X处一

=|X[(1)°+(|)!+(1)2+.•.+(|)n-l]

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1”（I-表）ii

=3X--=EX（2-布）

2

A11、，134目1、1

令（2—布）〈元，侍布〉元，

即2n-i<20,即2n<40,

又MGN*,25=32,26=64,

所以满足条件的最大整数为几为5.

16.解：（1）由as》。+bsinA=2csinB,结合正弦定理，得ac+ab=2bc.

因为a=1,所以2bc=c+b.

由余弦定理，得cos/=板=],

所以力2+02—1=be,所以（b+c）2—2bc-1=be,

即（c+以-1=3bc=-|（c+b）,

整理，得2（c+b）2-3（c+b）-2=0,

解得c+b=2（舍负）.

（2）由c+b=2,2bc=c+b,得b=c=1.

又Q=1,所以△ABC是边长为1的正三角形.

由同=丽，知4,B,。三点共线，且2。=2AB=2.

由而=挺，知4C,E三点共线，且4E=3.

在△ADE中，由余弦定理，^DE2=AD2+AE2-2AD-AEcos-^=4+9-2x2x3x1=7,所以DE=

由正弦定理，得2R=煞=*=衅，

川13可3

所以R=号，即△4DE外接圆的半径为号.

17.解：（1）证明：由PC1平面ABC,知PC1AC,

由A8是O。的直径，知AC1BC,

ACOBC=C,

：.AC1平面P8C,

由E,F分别是PA,PC的中点，知EF〃/1C,

.­.EF1平面PBC.

（2）以C为原点，CA,CB,CP所在直线分别为久轴、y轴、z轴,

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建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2),

设4(a,0,0),8(0,6,0),且a2+F=8(a>0力>0),

易知平面P4C的一个法向量访=(0,1,0),

设平面P4B的一个法向量元=(x,y,z),贝!!

(~nlPA^0(n-PA=0,(ax-2z=0,

则任1PB=O'即b-PB=0,"[bx-2z=0.

取z=ab,得％=2b,y—2a,则n=(2b,2a,a6),

•••二面角B-PA-C的正弦值为,，则其余弦值为字,

・.|cos〈nwi〉|一同向-^b2+4a2+a2b2__,

又a2+扶=8,(a>0,b>0),

解得Q=2,b=2.

故5C=2.

18.解:⑴由题意，

fC_1

a=2fa=2

彳=,+。2,解得b7.

1।9_】〃:1

•••椭圆C的标准方程为1+4=1；

43

(2)在黑轴上假设存在点Q,使得Q4QB恰好关于%轴对称,

设8(%2》2)，

再设直线&x=my+1,Q(t,0),

联立｛黑2累^X?i2=0，得(4+3m2)y2+6my-9=0.

则归+%=—律号,功力=一常蕨，

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由%Z+/CQB=O，可得等7+*7=。，

BPyi(my2+1-0+丫2(成力+l-t)=0,

可得2?nyiy2+(l-t)(yi+y2)=0-

贝lj2nl•(一：万)+(1-t)•(-_^T~)二°，得4一七=0,即t=4.

故在x轴上是否存在定点Q(4,0),使得两条不同直线Q4QB恰好关于x轴对称.

1

19.(1)解：设g(%)=cosx+-x2-1,则g'(%)=—sinx+x,设h(%)=g'(x)=-sinx+x,则

/iz(x)=—cosx+1,

因为久e(5r)时，h'O)>0恒成立.

TTTT

所以/i(%)在(不TT)上单调递增，即g'。)在(不兀)上单调递增；

所以或x)>9位=曰善>0,

77

所以g(x)在(不兀)上单调递增，

从而g(无)>9生=吟产一1>0,

即第