2024-2025学年度高二数学第一学期期中模拟试卷（一）（含答案）

2024-2025学年度第一学期高二数学期中模拟试卷(一)

总分：150分考试时间：120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.直线4:ax+y—1=0,4：(a-2)x—即+1=0,贝i］“a=—2”是“Uh”的()条件

A.必要不充分B,充分不必要

C.充要D,既不充分也不必要

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线平行求得。，结合充分、必要条件的知识求得正确答案.

［详解］若贝/x(-a)=lx(q_2),a+a-2=0,

解得a=l或a=-2,

当a=l时，4和4的方程都是x+N—l=°,两直线重合，不符合题意.

经验证可知，。=-2符合.

所以“a=-2，，是“卜〃2”的充要条件.

故选：C

了1

E:y=­x2

2.抛物线’4的焦点到其准线的距离为()

1£

A.8B.4C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】将抛物线方程化为标准式，即可得到夕，再根据夕的几何意义得解；

F12

E：y=—x2A。

【详解】解：抛物线4,即X=4y,则2夕=4,所以2=2,

所以抛物线的焦点到其准线的距离为2=2.

故选：C

3.已知椭圆〃+〃的左、右焦点分别为片、鸟，短轴长为46,离心率为5,过点

片的直线交椭圆于A,B两点，则入18g的周长为

A.4B.8C.16D.32

【答案】C

【解析】

【分析】利用椭圆的定义，结合/=户+。2,即可求解，得到答案.

-T=1（。〉台〉0）/T—

【详解】由题意，椭圆。’的短轴长为4,3,离心率为2,

c2_a2-b2_Z72_1

所以/a2a24,2b=46,则4=12,所以。=4,

所以A45K的周长为1“周+|“周+忸耳|+忸■周=4。=16,

故选C.

22

4.设双曲线。b的虚轴长为2,焦距为2,3,则双曲线的渐近线方程为（）

V2_,1

v=V-+2X"土〒xy=±-x

A.yB.y~-zxC.2D,2

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意得到b=l,°=百，进而得到°=逝，求出渐近线方程.

【详解】由题意得%=2,2c=2e,解得6=1,c=M,

故a=Vc2—b~=V2,

,b,垃

y-±—x-±—x

故双曲线渐近线方程为"a2.

故选：C

x2y21

---1----1

5.已知焦点在8轴上的椭圆机3的焦距为6,则实数加等于（）

221

A.4B,4C.12D.12-6百

【答案】c

【解析】

【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解.

[详解]由题意知，机＞3，°=痂，b=3，c=3,

又。2=〃+。2,所以"2=3+9=12,

即实数加的值为12.

故选：C

6.点("J)在曲线了=[4-J—2上,则田一令+4]的取值范围为()

「2%l%

[][r]

A,?TB.[2，冈c.I]D.?J

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，问题转化为半圆上的点到定直线的距离的5倍，进而求出结果.

【详解】如图，曲线J=-4——2为圆J+(y+2)2=4的上半圆,圆心'(0,—2),半径为2,

8(2,-2)

|3x-4y+4|表示点(x/)到直线3x-4y+4=0距离的§倍，

1叫」；「4=.〉2

点A到直线3x—4y+4=0的距离V3+(-4)5,即直线3%—4了+4=0与圆相离,

M」3：4x(一少41弋

点8到直线3x-外+4=0的距离/+(-4)',

13x-4y+41最小值为5伽。卜2)=2,4-4y+41最大值为5忸。=18,

则|3》-4尸41的取值范围为[2,18].

故选：B

2

7.焦距为2后，并且截直线＞=2x-l所得弦的中点的横坐标是7的椭圆的标准方程为（）

2

X+—=l2o2

A.3Bx+3y=1

2222

二+匕=1/+匕=1±+/=1

C.412D.3或3.

【答案】A

【解析】

【分析】设椭圆方程为J〃一，且切〉0，〃〉0，切/〃，及交点"（21），'（£，％）,将两点代入椭

（再+龙2）（--%2）=_（%+%）（.%-%）-2=现

圆方程可得m一"，根据弦中点坐标关系可得再一遍3m,结合直线方程

得"=3m,再由椭圆的焦距求得加，"的值，即可得椭圆标准方程.

X2/1

【详解】解：设椭圆方程为机〃，且加＞°,〃＞0,机力〃

设直线y=2x-1与椭圆相交的两点坐标为A（再8（32）,由题意可知2=7,即”+“2—7,

46

所以必+%=（2王-1）+（2%T）=2（X[+xz）-2=2xy-2=-y

（22

-------1---------1

mn

＜

22

A（xy）互+及=14+口=0

又3'必力（2，必1在椭圆上，可得：[mn,两式相减得mn,

（国+工2）（占一/）二（二+1）（必一%）4xt-x26y,-y2=2n

整理得：wn，则7加7〃，所以再一苫23m,

.J”

又直线＞=2x-l的斜率为2,所以一3加，gpn=3m,所以〃＞相

—।y2_]

椭圆机“一的焦距为20，所以c=J^,贝+2,

n=m+21〃=3”2

＜—2I-1/+匕=]

故可得：[〃-3机解得〔加-1,故椭圆的标准方程为：3.

故选：A.

8,已知圆C：（x—1）+厂=1,直线/：y=《（x+l）,若直线与X轴交于点A,过直线/上一点尸作圆

C的切线，切点为T,且PA=6PT,则上的取值范围是（）.

VisV151r1r

A.L」B.LJJ」

V15[[_]_姮

―_亍

C.L」D.L」

【答案】A

【解析】

【分析】先求出尸的轨迹方程，再根据直线/与圆（“—3）+丁=1°有交点，结合点到直线距离公式即可

求解.

设尸（如为），根据直线/：了=稔+1）解析式，直线/与x轴交点'（T°）,

2

因为C:（x-1）+j=1；圆心半径r=l；

根据题意w刀=、尸C'一球=-x°T:+y：T=M-2X°+*,

IF=jG+iy+y：,又因为PA=OPT,

则有,/&_2/+需=,国+1）2

化简整理得，x；-6x°+y：T=0,故P的轨迹为（a3）+广=1°,

是圆心为8°）,半径为雨的圆；

因为存在尸4=71叮，则直线/与圆（x-3）+丁=1°有交点，

则圆心（二°）到直线i-k^-y+k=o的距离小于等于半径回,

"2°+文丽母虫〈而^<5

所以“？+1,即,公+1,整理得：3,

岳/〜岳

-----<K<----

解得33.

故选：A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

22

C:q+上=1

9.曲线2+左2一左,下列结论正确的有（）

A.若曲线C表示椭圆，则-24<2且左不等于oB.若曲线C表示双曲线，则焦距是定值

C.若k=1,则短轴长为2D.若左=3,则渐近线为了=土氐

【答案】AC

【解析】

【分析】根据椭圆双曲线简单几何性质逐项判断即可.

'2+左>0

22<2~k>0

C.%+♦_]

【详解】对于A：，2+左+2-左表示椭圆，则〔2+**2-上即％e（-2,0）U（0,2）,故人正确;

22

..xy_1

对于B：,2+左+2-左表示双曲线，则（2+%）（2-%）<°,即2）U（2,+OO）,

当左>2时,/=Q+左）+（左-2）=2左，焦距不是定值，故B错误；

22

C:二+2=1

对于C：左=1时，31为椭圆，短轴长2b=2,故C正确；

221

c：—--=1y=±—^x

对于D：左=3时，51为双曲线,渐近线方程为75，故D错误;

故选：AC.

10.已知直线/：而一了+1=°和圆M：（x—l）'+（y—2）2=4,则下列选项正确的是（）

A,直线/恒过点（°/）B,圆川与圆=1有三条公切线

C.直线/被圆河截得的最短弦长为20D.当左=1时，圆M上存在无数对关于直线/对称的点

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据定点的特征即可求解A,根据两圆的位置关系即可求解B,根据垂直时即可结合圆的弦长公

式求解C,根据直线经过圆心即可求解D.

【详解】对于A,由直线/的方程区一＞+i=°,可知直线/恒经过定点尸（°」），故A正确；

对于B,由圆M的方程（x—iy+S—2）2=4,可得圆心”（1,2）,半径厂=2,又由

\CM\=7（0-1）2+（0-2）2=V5由于2-1〈斯＜3=1+2,

所以圆M与圆C：/+/=1相交，圆出与圆C：—+/=l有两条公切线，故B错误；

对于C,由俨祖上也，根据圆的性质，可得当直线/和直线尸N垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦

长为2"^=2/，故c正确；

对于D,当左=1时，直线/：》—了+1=°,将圆心"O'2）代入直线/的方程x—y+l=°,可得

1-2+1=0

所以圆M上存在无数对关于直线/对称的点，故D正确，

故选:ACD.

V2

C:---1-y2=1

11.设椭圆4"的右焦点为r，点A为左顶点，点B为上顶点，直线/过原点且与椭圆交于

N两点（又在第一象限），则以下命题正确的有（）

V3

/。叫«1,2）B.NMW=120。时，三角形面积为5

C,直线汇M与直线RV的斜率之积是定值D.当"N与4B平行时，四边形48MN的面积最大

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意和椭圆的性质，结合直线的特点，可较易判断A选项；对于B选项我们可以巧妙利用椭

圆的对称性，将所求三角形转化为面积相同且较易求面积的三角形，利用三角形相关的性质，即可判断；

对于C选项，按照选项内容建立起直线和直线EN的斜率的积的关系式，通过对式子的变形整理，看

式子中是否含有变量，如果有变量，则不是定值，如果没有变量，则是定值；对于D选项，我们可以将四

边形的面积分解为几个易于计算的小三角形的面积，这样有利于我们更好的建立四边形面积的表达式，从

而根据表达式得出面积最大时，MN和48的位置关系.

【详解】设椭圆的长半轴长为。伍＞°）,短半轴长为焦距为2c（°＞°）,

2

则由题意可知片=4,a=2,〃=i,b=l,c=y]a-b-=74^1=V3；

一（省,0）,4（_2,0）,5（0,1）,直线/过原点，且"在第一象限,

设直线/的方程为：丫=依，k>Q,

..•加经过原点，.一<屿|<2°,即：2<MN|<4,

1<\OM\=^\MN\<2

即：PMe（l，2）,故A正确;

如图所示:

设椭圆的左焦点为片，连接旅，FN,NR,KM,由对称性可知：四边形屈引乃是平行四边形,

0

S、MFN=QS°MFNF\=S-MFF\ZFA^F；=180-Z7mv=180°-I20°=60°

设|期|=s\MFl\=2a-s=4-s\FxF\=2c=2^

由余弦定理可知：闺歼=眼死+眼闻之一2M川阿"osN乩/，

即gG）=s?+（4—s）~—2s（4_s）cos60°

2

s-2+^4-5=4-f2±-L2+—

rys=2±-----aa

即：3s-125+4=0,解得：3,V5J3

2V6,、2底

s=20-------4-s=2+-----

又：s<4—s,3,3,

S心=|MR|sinZJFW；=15（4-5）sin60°

1L2V6Y.2a、也V3

213"3J23

，3,故B正确；

设："G，%）,乱点在第一象限，...项〉0,%〉0,由对称性知：N（F，-凹）,

k，k=%_____f=*=kr；

FN-x「晅--43~2-3-x；-3

••XlX1，

又"（"J在椭圆上，.•.[才吟+-]/=』，

^FM，kfN=-i

———3

即有：4k2,

直线松与直线EV的斜率之积与直线/的斜率左有关，不是定值，故C错误;

S口ABMN=S^ABO+SdNAO+cMBO=万1"。1忸。|+小。卜必|+g忸。忖

——x2x1H—x2V,H—x

22112

2A+1

71+4F

—k1=-

当且仅当:左，即：4左2=1,42时等号成立,

k:1-0J.、

2

而°一（一2）,MMN//AB,

.•.当MV与23平行时，四边形的面积最大，最大面积为1+后，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知圆的方程是一+「—2G+2（"-2）7+2=°,则圆心的轨迹方程为.

［答案］x+y-2=0（x1）

【解析】

【分析】将圆方程化成标准方程可得出圆心坐标为伍，2-。），再根据表示圆的条件消去参数4即可得圆心

的轨迹方程.

【详解】因为方程一+「—2ax+2（a-2）y+2=°表示圆，

222

即（x—q）2+（y+0—2）2=力-2）.2表示圆,所以（z+（（z-2）-2>0；

解得

易知圆心坐标为（见2-。）,且awl,

x=a

<

设圆心坐标为（x/）,则有【丁=2-"，

消去。，得x+V-2=°（x/1）即为所求圆心的轨迹方程.

故答案为：x+y-2=0（x^l）

22

C：---F-=1A（\

13.已知尸为椭圆94上的点，&U，u人则线段长度的最小值为.

【答案】5##5

【解析】

【分析】记线段P/的长度为"，表达"的函数，利用尸（%,%）；结合二次函数的性质即可

求d的最小值.

【详解】设出1，°）,记线段上4的长度为d,尸是椭圆E上任意一点，

设尸（X。,%）,-34《3,

x_22=x2x

d=7（o1）+y0J（o-I）+41-个］=J^o-2x0+5

所以：Yl力V9

由于一34%"3,故'》时，d有最小值，且d的最小值5

故答案为：5

14.直线了=.-1与双曲线，-/=1有且只有一个公共点，则实数上=.

【答案】土血或±1

【分析】由口=履-1消去y,对二次系数是否为0分类讨论可得.

R-/=i2

【解析】由消去y,整理得(>*"+2丘-2=0,

当一』时，由A=4.+8(l-F)=0得一啦;

又注意到直线>=依一1恒过点(0'T),且渐近线的斜率为±1时，直线与渐近线平行时也成立.

故答案为：土行或±1

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知圆°：/+「=3,直线/过点"He).

(1)当直线/与圆°相切时，求直线/的斜率；

(2)线段48的端点8在圆C上运动，求线段4B的中点/的轨迹方程.

【答案】⑴土百

(x+l)2+/=|

【解析】

【分析】（1）设出直线’的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点

M和点A之间的关系式，再利用点A的坐标满足的关系式得到点M的坐标满足的条件，即可求出.

【小问1详解】

已知c的圆心是°（°，°）,半径是百，

设直线斜率为上

则直线方程是N=MX+2）,即履-y+2左=0,

则圆心到直线距离为,

解得直线的斜率左=±仃.

【小问2详解】

设点”（x，V），B（x。，xo）则，

%o一2

x=----

,2

；=A12，

由点”是4s的中点得，I2

%=2%+2

V

所以Uo=2y①

因为2在圆C上运动，所以C：x；+%2=3②

①代入②得，（2x+2）2+（24=3,

（X+I）2+）2=—

化简得点〃的轨迹方程是4

16.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点尸（4,加）到焦点的距离为6.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若抛物线C与直线^=履一2相交于不同的两点4B,且中点横坐标为2,求人的值.

【答案】（1）V=8x（2）2

【解析】

【分析】（1）根据抛物线上点到焦点的距离关于〃的方程可求出。得抛物线方程；

（2）联立直线方程与抛物线方程得一元二次方程，由韦达定理及中点坐标公式即可求解.

【小问1详解】

__p_

由题意设抛物线方程为广2=2p，其准线方程为x=5,

...0（4,加）到焦点的距离等于4到其准线的距离，

4+«=6

2

...p=4

抛物线C的方程为「=8x

【小问2详解】

y2=8x

由=2消去修得左2》2_（4左+8）X+4=0,

...直线y=区-2与抛物线相交于不同两点/、B,

则有后wO,A=64（左+1）>0

解得左〉-1且左。0,

玉+々_2左+42

又2k-

解得k=2,或左=—1（舍去）

...左的值为2.

17已知圆+（'—2）x+y2+2'>+1—'=°

（1）证明：圆c过定点.

（2）当九=2时，求直线歹=”被圆°截得的弦长.

（3）当几=2时，若直线/：>=丘一1与圆C交于“，N两点，且西.丽<-2,其中。为坐标原点,

求上的取值范围.

【答案】（1）证明见解析（2）2G（3）（T/）

【解析】

【分析】（1）对式子变形为"―2x+i+v+'G+2y—i）=°,由于与几无关，列方程求解即可得定点;

（2）求出圆心到直线距离，再结合垂径定理求解弦长即可；

（3）联立直线与圆的方程，韦达定理，利用数量积的坐标运算列不等式，求解即可.

【小问1详解】

由I?+（4—2）x++2Ay+1—2=0

/曰*-2x+1++A（x+2y—1）=0

令x+2y—1=0,得（％—1）+y=。，解得了=1，^=0,

所以圆C过定点，且定点的坐标为

【小问2详解】

当彳=2时，圆0的标准方程为一+3+2）2=5,

则圆C的圆心（°'一2）到直线歹=》的距离"=行，

所以直线歹=x被圆C截得的弦长为2,5-笛=26.

【小问3详解】

将^=丘一1代入丁+（＞+2）2=5,得。+左2*+2依-4=0.

EA=4左2+160+左2）=16+20左2＞。

则、1恒成立，

-2k-4

设M（XQ）N（X2/2）,贝/+X2=T7F，X|X2=b,

XX

所以QAfON=X1X2+必%=\2+（依1一1）（注2—1）=（1+左2）X1%2■■左（再+]2）+1

-4（1+左2）2k2,c

1+左1+左~,整理得左2＜1,则一1〈左＜1,

所以上的取值范围是（—L1）.

为+与=1（口〉6〉0）r—

18.已知椭圆C：ab的焦距为212,离心率为2.

（1）求C的标准方程；

x=（y+-（/＞0）叵

（2）若＜12）,直线/：2交椭圆C于E,尸两点，且△ZEE的面积为2,求才

的值.

【答案】（1）42

（2）亚

【解析】

c41

【分析】（1）根据题意得到2c=2J2,a2,即可得到答案.

।_|_716Z2+14

（2）首先设£（和乂），厂（“2）,根据直线与椭圆联立，结合根系关系得至产间*+2

。仁，01S^F=-\AD\.\yi-y2\=^-

设直线/与x轴的交点为人再根据2-2求解即可.

【小问1详解】

由题意得，2c=2及，c=6,

e—_c—_V__2

又a2,则a=2,

则〃=a2-c2=2,

x2y21

----1----—1

所以C的标准方程为42

【小问2详解】

,如图所示:

整理得（产+2犷+3吐：=。，A>0）

J16r+14

t2+2