艺考生专题讲义42 圆与方程

考点42圆与方程知识梳理一．求圆的方程1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．2．圆的标准方程(1)若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．(2)方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．3．圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．(2)对方程：.①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆；②若，则方程只表示一个点，；③若，则方程不表示任何图形．4.点与⊙C的位置关系(1)|AC|<r⇔点A在圆内⇔；(2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔；(3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔.二．圆与圆的位置关系设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、().(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.三．直线与圆位置关系(或交点个数)的解题思路把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离d与r比较大小四．直线与圆弦长解题思路---垂定定理(1)把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r(2)利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离(3)利用弦长公式五．圆上的点到直接距离最值的解题思路(1)把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r(2)利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离(3)判断位置关系精讲精练题型一圆的方程【例1】(1)(2024·浙江杭州市·学军中学)圆的圆心坐标和半径分别是()A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3C． D．(2)(2024·河南洛阳市)已知圆经过原点，，三点，则圆的方程为()A． B．C． D．【答案】(1)D(2)D【解析】(1)根据圆的标准方程可得，的圆心坐标为，半径为，故选：D.(2)设圆的方程为，把点，，代入得，解得，，，所以圆的方程是．故选：D．【举一反三】1．(2024·河北区)圆的圆心和半径分别是()A．；1 B．；C．；1 D．；【答案】D【解析】圆的标准方程是：，所以圆的圆心和半径分别是；.故选：D2．(2024·河南周口市)圆的半径和圆心坐标分别为()A． B． C． D．【答案】D【解析】半径和圆心坐标分别为,选D3．(2024·全国课时练习)若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是()A．(1，＋∞) B．C．(1，＋∞)∪ D．R【答案】A【解析】因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0，即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．故选：A.4．(2024·内蒙古包头市)顶点坐标分别为，，．则外接圆的标准方程为______．【答案】【解析】设圆的标准方程为，因为过点，，所以解得则圆的标准方程为故答案为：题型二点与圆的位置关系【例2】(1)(2024·福建厦门市·大同中学)点与圆的的位置关系是()A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定(2)(2024·黑龙江哈尔滨市)已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为()A． B． C． D．【答案】(1)A(2)D【解析】(1)，因此，点在圆外.故选：A.(2)由得：，圆心，半径，圆心到坐标原点的距离，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.故选：D.【举一反三】1．(2024·山东省济南回民中学)若圆的方程是，则点()A．是圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外【答案】C【解析】圆心，半径，圆心到点距离，故点在圆内，故选：C.2．(2024·江苏省苏州中学园区校)点在圆上，点，则的最大值为()A． B． C． D．【答案】C【解析】由于，所以在圆外，圆的圆心为，半径，则的最大值为.故选：C3．(2024·四川宜宾市)若点在圆的内部，则实数a的取值范围是______________.【答案】【解析】因为点在圆的内部，所以，即，解得故答案为：题型三直线与圆的位置关系【例3】(1)(2024·天津高三月考)已知直线与圆相切，则正实数k的值为___________.(2)2024·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模(文))直线：与圆：交于、两点，则______.【答案】(1)(2)【解析】(1)，，圆心为，，直线与圆相切可得，解得或，所以正实数k的值为故答案为：(2)圆心到直线的距离为，故，故答案为：.【举一反三】1．(2024·黑龙江哈尔滨市)若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为()A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即曲线表示圆心，半径为1的圆，圆心到直线的距离应小于等于半径，，即，解得.故选：C.2．(2024·林芝市第二高级中学)直线与圆相交于，两点，则的长度等于__________.【答案】【解析】圆心，半径为，圆心到直线的距离为，.故答案为：.3．(2024·宁夏吴忠市·高三其他模拟(文))若直线与圆相交于两点，且，则实数________.【答案】或【解析】直线与圆相交于两点，且，圆心到直线的距离为：，即，解得或.故答案为：或题型四圆与圆的位置关系【例4】(2024·沙坪坝区·重庆八中)圆与圆的位置关系是()A．相离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】D【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，，因此，两圆内切.故选：D.【举一反三】1．(2024·云南省大姚县第一中学)圆与圆的位置关系是()A．相交 B．相离 C．内含 D．内切【答案】D【解析】圆即，则圆心为，半径为1圆即，则圆心为，半径为3两圆心间的距离，所以两圆的位置关系为内切，故选：D．2．(2024·重庆)已知圆和圆，那么这两个圆的位置关系是()A．相离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】C【解析】由已知的，所以，，所以，故两圆相交.故选：C.3．(2024·河南洛阳市)已知圆，圆，两圆公切线的条数为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】圆，圆心，半径，圆，圆心，半径，圆心距