艺考生专题讲义07 函数的定义域与值域

考点07函数的定义域与值域知识梳理一．常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0．(3)一次函数、二次函数的定义域为R．(4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为R．(5)y＝tanx的定义域为{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}．二．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为．(3)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域是{y|y≠0}．(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}．(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R．(6)y＝sinx，y＝cosx的值域是[－1，1]．(7)y＝tanx的值域是R．精讲精练题型一函数的定义域【例1】(1)函数的定义域是()A． B．C． D．(2)函数的定义域是()A． B．C． D．【答案】(1)C(2)A【解析】(1)根据题意可得，所以.故选：C.(2)由，即，解得，所以的定义域是故选：A【方法总结】1.不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．2.当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集.【举一反三】1.函数f(x)＝eq\r(x＋1)＋eq\f(1,2－x)的定义域为________．【答案】{x|x≥－1且x≠2}2．函数的定义域是()A． B． C． D．【答案】A【解析】对于函数，有，解得，因此，函数的定义域是.故选：A.3．已知函数，则函数的定义域为()A． B． C． D．【答案】A【解析】要使函数有意义，则有解得所以函数的定义域为故选：A题型二函数的值域例2求下列函数的值域(1)y＝x2＋2x，x∈[0，3]；(2)(3)y＝eq\f(2x－1,x＋1)，x∈[3，5]；(4)f(x)＝x－eq\r(1－2x).解析(1)(配方法)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵y＝(x＋1)2－1在[0，3]上为增函数，∴0≤y≤15，即函数y＝x2＋2x(x∈[0，3])的值域为[0，15]．(2)(换元法)设eq\r(3x－2)＝t，t≥0，则y＝eq\f(1,3)(t2＋2)－t＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))2－eq\f(1,12)，当t＝eq\f(3,2)时，y有最小值－eq\f(1,12)，故所求函数的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,12)，＋∞)).(3)(分离常数法)由y＝eq\f(2x－1,x＋1)＝2－eq\f(3,x＋1)，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以ymax＝eq\f(3,2)，ymin＝eq\f(5,4)，故所求函数的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))).(4)(单调性法)f(x)的定义域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))，容易判断f(x)为增函数，所以f(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，即函数的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).【举一反三】2．函数y＝2－eq\r(－x2＋4x)的值域是________．答案[0，2]解析－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4，0≤eq\r(－x2＋4x)≤2，－2≤－eq\r(－x2＋4x)≤0，0≤2－eq\r(－x2＋