艺考生专题讲义18 正、余弦定理

考点18正、余弦定理知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.三角形面积公式：S△ABC＝eq\f(1,2)ah(h表示边a上的高)；S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB；S△ABC＝eq\f(abc,4R)；S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.精讲精练题型一正余弦的选择【例1】(1)已知在中，，则_______．(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________.【答案】(1)(2)【解析】(1)由于，所以由正弦定理可得：，即：，解得：，由于在中，，根据大边对大角可知：，则,由，解得：，故答案为(2)由正弦定理，得，结合可得，则.【举一反三】1．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则__．【答案】5【解析】因为，，，所以由正弦定理，可得，解得．故答案为：52．中，已知，，，则角的度数为______．【答案】30°【解析】由正弦定理，得，又因为，故．故答案为：30°．3．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则________．【答案】【解析】由正弦定理知，，所以，解得，则或，又因为，所以为锐角，即，所以，故答案为:.4．在中，已知，则=______【答案】或.【解析】在中，因为，由正弦定理得，即所以，所以或当时，得到，所以，故；当时，得到，所以.故答案为：或.5．在中，，，则__________.【答案】【解析】因为，所以，所以，解得.故答案为：题型二边角互换【例2】(1)在锐角△中，角所对应的边分别为，若，则角等于________.(2)在三角形中，角的对边分别为，若，则角________【答案】(1)(2)【解析】(1)利用正弦定理化简，得，因为，所以，因为为锐角，所以．(2)由得：，即，，是三角形的内角，故答案为：.【举一反三】1．在锐角中，角所对的边分别为，若，则角________．【答案】【解析】∵，∴根据正弦定理边角互化得：，又∵，∴，∴，∵为锐角三角形，∴∴故答案为：2．在中，角所对应的边分别为．已知，则______．【答案】【解析】将，利用正弦定理可得：，即，∵，∴，利用正弦定理可得：，则．故答案为．3．的内角的对边分别为若，则B=___________.【答案】【解析】已知，由正弦定理可得，，由，化简可得，∵，故．故答案为：4．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则角______.【答案】【解析】由正弦定理及可得：,在中，，∴,即∴，又B为三角形内角，∴=故答案为:.5．在中，角的对边分别为，且.则_________【答案】【解析】由正弦定理可知，化简得，，又由，，得出，故答案为：.题型三三角形的面积公式【例3】(1)在中..则的面积等于________．(2)若的面积为，则________．【答案】(1)(2)【解析】(1)由余弦定理得，即，解得(舍去)，所以．故答案为：．(2)因为，所以，又因为，所以，解得，因为，所以，故答案为：【举一反三】1．已知，，分别为内角，，的对边，，，，则的面积为__________.【答案】【解析】由于，，，∵，∴，，由余弦定理得，解得，∴的面积.故答案为：.2．在中，，，若的面积等于，则边长为__________．【答案】【解析】因为，故，所以.又，所以，故，从而，填．3．的内角，，的对边分别为，，．已知，，则的面积为_______．【答案】【解析】由已知条件及正弦定理可得，易知，所以，又，所以，所以，所以，即，，所以的面积．故答案为：.4．在中，角，，的对边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为_______.【答案】4【解析】因为，所以，因为已知的面积为，所以，整理得，由余弦定理得，所以.故答案为：题型四正余弦综合运用【例4】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且，，____________？【答案】选择见解析；三角形存在，或4.【解析】方案一：选条件①.在中，由余弦定理得，故.由①和可得，从而.由此可得，解得或4.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时或4.方案二：选条件②.在中，由余弦定理得，故.由②可得，解得或4.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时或4.方案三：选条件③.在中，由余弦定理得，故.由正弦定理和，得，从而，由此可得，解得或4.因此，选条件③时问题中的三角形存在，此时或4.【举一反三】1．在①，②，③sinB+cosB=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，___________，A=，b=.(1)求角B；(2)求△ABC的面积.【答案】条件选择见解析；(1)；(2).【解析】(1)若选①，，则由余弦定理得，因为，所以若选②，，由正弦定理得，又，所以，所以又，，，若选③，由得，所以，又，所以，，所以，(2)由正弦定理得，又，，所以，，所以所以2．在①a＝6；②a＝8；③a＝12这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sinB的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，且a2＋b2－c2=4，c=，__________？【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】由题意可知在△ABC中，因为a2＋b2－c2=4，且，所以，由余弦定理可知，因为，且，所