艺考生专题讲义32 空间几何体的表面积与体积

考点32空间几何体表面积与体积知识梳理一．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r＋r′)l二．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3精讲精练题型一空间几何的体积【例1】(2024·陕西咸阳市·高三一模)如图，在三棱锥中，平面平面是的中点．(1)求证：平面；(2)设点N是的中点，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)∵平面平面，平面，平面，是的中点，，平面(2)由(1)知平面，是的中点，到平面的距离是，平面，，．【方法总结】【方法总结】求空间几何体的体积的常用方法公式法对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解割补法把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积等体积法等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决三棱锥的体积【举一反三】1．(2024·江西吉安市·高三其他模拟)在四棱锥中，平面，底面四边形是边长为1的正方形，侧棱与底面成的角是，，分别是，的中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】证明：(1)取的中点，连结、，∵是的中点，∴，且，∵底面四边形是边长是１的正方形，又是的中点，∴，且∴，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，又磁面，平面，∴平面.(2)∵平面，∴是侧棱与底面成的角，∴，∴是等腰直角三角形，则，∴.2．(2024·内蒙古赤峰市·高三月考)如图，四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，面面，且，点在棱上.(1)证明：当时，直线平面；(2)当平面时，求的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)证明：连结与交于点，连结，，，，，又面，面，平面.(2)解：平面，平面，，是的中点，面面，点到面的距离为到面的距离为．3．(2024·安徽芜湖市·高三期末)如图，三棱柱的各棱的长均为2，在底面上的射影为的重心．(1)若为的中点，求证：平面；(2)求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)连接交于点，连接，则为的中点，又∵为的中点，∴为的中位线，∴，又平面，平面，∴平面；(2)在中，为重心，则，在中，，则．题型二空间几何的表面积【例2-1】(2024·全国高三专题练习)一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为.【答案】【解析】判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．∵一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则棱锥的斜高为该六棱锥的侧面积为【例2-2】(2024·全国高三专题练习)某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则该组合体的表面积为()A．20 B． C．16 D．【答案】A【解析】由题意，正四棱锥的斜高为，该组合体的表面积为.故选：A【方法总结】【方法总结】求解几何体表面积的类型及求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积求不规则几何体的表面积时通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积【举一反三】1．(2024·湖南高三月考)如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，.(1)证明：直线平面；(2)若四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)在平面内，因为，所以，又平面，平面，故平面.(2)取的中点，连结，.依题四边形为正方形，因为为等边三角形，所以.又侧面底面，平面平面，所以底面.因为底面.所以，同理侧面，所以.设，则，，，.四棱锥的体积，解得.取的中点，连结，则，所以.所以，，.所以四棱锥的侧面积为.2．(2024·全国高三专题练习)如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，BD1⊥B1D，四边形ABCD是边长为4的菱形，D1D＝6，E，F分别是线段AB的两个三等分点．(1)求证：D1F//平面A1DE；(2)求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)连接交于，连接，如图，分别为，的中点，,又平面A1DE，平面A1DE，D1F//平面A1DE(2)在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，所以四棱柱为直四棱柱，因为在矩形中，BD1⊥B1D，所以四边形是正方形，所以,所以,又，所以，即四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为.3．(2024·上海闵行区·高三一模)如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于､的点.(1)求证：平面；(2)若，，，求圆柱的侧面积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)如图所示：由已知可知平面，平面，点是上异于､的点，是的直径，所以，又，∴平面.(2)在中，，，，，圆柱的侧面积为：S侧.题型三点面距【例3】(2024·河南信阳市·高三月考)如图，在长方体中，为中点．(1)求证：平面；(2)若，，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)．【解析】(1)连接交于点，则为中点，连接，又为中点，故为的中位线，故，又平面，平面，所以平面．(2)由(1)知，平面，则到平面的距离与到平面的距离相等，连接．故，又中，，，．由余弦定理知：，则，故，.故到平面的距离即点到平面的距离为．【举一反三】1．(2024·安徽蚌埠市·高三二模)如图，已知四边形和均为直角梯形，∥，∥，且，，．(1)求证：∥平面；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)证明：在平面中，过作于，交于，连接，由题意知，且，∴，，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面．(2)，，平面，∴平面，∵平面∴平面平面，在平面内过点作交于，则平面，∵，∴，，设点到平面的距离为，则由得，由题意知，，，代入，解得，即点到平面的距离为．2．(2024·河南高三期末)如图，直四棱柱的底面为平行四边形，是的中点．(Ⅰ)求证：平面平面；(Ⅱ)求点到平面的距离．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)．【解析】(Ⅰ)由题意可得，所以，因此，在直四棱柱中，平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以平面平面．(Ⅱ)如图，在平面内作，垂足为．由(Ⅰ)知平面，因为平面平面，所以平面，所以，又因为，所以平面．所以线段的长就是点到平面的距离．因为，所以．在平面内，可知，所以，得，所以点到平面的距离为．3．(2024·河南驻马店市·高三期末)如图，该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的边长为，是线段上(不含端点)的动点，．(1)证明：平面；(2)求到平面的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)．【解析】(1)证明：取的中点，连接，．因为该多