艺考生专题讲义06 基本不等式

考点05基本不等式知识梳理一、基本不等式公式几个重要结论(1)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(ab>0)．(3)eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)三．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq\r(p).(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq\f(p2,4).(简记：和定积最大)精讲精练题型一公式的直接运用【例1】已知，那么的最小值是()A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【解析】根据题意，，则，当且仅当时等号成立，即的最小值是4；故选：C.【方法总结】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.【举一反三】1．已知正数，满足，则的最小值为_______.【答案】【解析】因为.当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为12，故答案为：122．若x>0，y>0，且x＋y＝18，则eq\r(xy)的最大值为。【答案】9【解析】因为x＋y＝18，所以eq\r(xy)≤eq\f(x＋y,2)＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．3．设a>0，则9a＋eq\f(1,a)的最小值为()A．4 B．5C．6 D．7【答案】6【解析】因为a>0，所以9a＋eq\f(1,a)≥2eq\r(9a×\f(1,a))＝6，当且仅当9a＝eq\f(1,a)，即a＝eq\f(1,3)时，9a＋eq\f(1,a)取得最小值6.题型二配凑型【例2】(1)当时，则的最大值为()A． B． C． D．(2)函数的最小值是()A． B．C． D．(3)若正数a，b满足，，且，则的最小值为()A．4 B．6 C．9 D．16(4)已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为()A． B．C．－1 D．0【答案】(1)D；(2)D；(3)C；(4)D【解析】(1)∵，，，当，即时等号成立，∴，即最大值为，故选：D.因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值是.故选：D.(3)由，可得，，所以当且仅当，即时等号成立.故选：C(4)f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.故选：D【方法总结】一般两个因式相加时，两个因式未知数部分（不含系数）成为倒数关系一般两个因式相乘时，两个因式因式部分成相反数（含系数）关系【举一反三】1．设，则函数的最大值为()A．2 B． C． D．【答案】D【解析】，，，当且仅当，即时，等号成立，即函数的最大值为.故选：D2．已知，则的取值范围为()A． B． C． D．【答案】A【解析】，若，则，时等号成立；若，则，时等号成立∴的取值范围为，故选：A.3．若，则取最大值时的值是。【答案】【解析】，，由基本不等式得，当且仅当，即，时取等号，取最大值时的值是．4．若，都是正数，且，则的最大值为。【答案】4【解析】由题意，可知：，当且仅当即时取等号；题型三条件型【例3】(1)已知，，且，则的最小值为()．A． B． C． D．(2)若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是()A． B． C．5 D．6【答案】(1)B(2)C【解析】(1)∵，，且，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为.故选：B．(2)由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．【方法总结】问题与条件一个为整式，一个为分式，整式未知数部分配成分式分母相同【举一反三】1．已知，则的最小值是()A． B．4 C． D．3【答案】D【解析】因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号.故选：D2．若，，则的最小值为()A．2 B．6 C．9 D．3【答案】D【解析】因为，，所以．当且仅当，即，时取等号.故选：D.3．已知向量，且为正实数，若满足，则的最小值为()A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意得，因为，为正实数，则，当且仅当，即时取等号.故选：A.4．设，为正实数，满足，则目标函数的最小值为()A．4 B．32 C．16 D．0【答案】C【解析】由，为正实数，满足，可得，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为为．故选：C题型四换元型【例4】已知正数x，y满足，则的最小值为()A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【解析】由题意，得，．法一：，当且仅当，即，时，的最小值为5．法二：由，得，则，当且仅当，即，时，的最小值为5．故选：B．【举一反三】1．已知，则的最小值为()A． B．8 C．9 D．【答案】C【解析】由可得，，可得则当且仅当，即时取得等号.故选：C2．已知，，且，则的最小值为______.【答案】【解析】由得，所以当且仅当，即且时取得等号.故答案为：3．若正实数，满足，则的最小值为______.【答案】【解析】由可得当且仅当时，等号成立.则的最小值为故答案为：题型五求参数【例5】已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为()A．10 B．12 C．16 D．9【答案】D【解析】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，转化成求的最小值，，所以．

故选：D．【举一反三】1．若，则恒成立的一个充分条件是()A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，由基本不等式，当且仅当即时，取等号，要使得恒成立，则，所以恒成立的一个充分条件是故选：B2．已知，，且，若不等式恒成立，则的取值范围是()A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴．∵，，∴(当且仅当，即时取等号)，∴．故选：D3．已知x>0，y>0，且x+3y=xy，若t2﹣t≤