艺考生专题讲义16 三角函数的图象与性质

考点16三角函数的图象与性质知识梳理一．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR{x|x≠QUOTE+kπ,k∈Z}值域[-1,1][-1,1]R单调性在[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上单调递增;在[2kπ+,2kπ+]QUOTE(k∈Z)上单调递减在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减在(kπ-,kπ+)QUOTE(k∈Z)上单调递增最值x=2kπ+QUOTE(k∈Z)时,ymax=1;x=2kπ-QUOTE(k∈Z)时,ymin=-1x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(kπ,0)(k∈Z)对称中心(kπ+,0)(k∈Z)对称中心(,0)QUOTE(k∈Z)对称轴l:x=kπ+QUOTE(k∈Z)对称轴l:x=kπ(k∈Z)最小正周期2π2ππ二．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．(3)用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xeq\f(0－φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0三．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径精讲精练题型一周期【例1】下列函数中，最小正周期为的是（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知周期为，周期为，周期为，周期为.【方法总结】求三角函数最小正周期的常用方法公式法：将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，再利用T＝eq\f(2π,|ω|)求得；y＝Atan(ωx＋φ)＋B,(2)图象法：利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期.【举一反三】1．函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得函数的最小正周期为2．下列函数的最小正周期为π的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A，函数的最小正周期是，A不符合题意；对于B，函数的最小正周期是，B符合题意；对于C，函数的最小正周期是，C不符合题意；对于D，函数的最小正周期是，D不符合题意.3．在函数①，②，③，④中，最小正周期为π的函数有（）A．①③ B．①④C．③④ D．②③【答案】D【解析】①由余弦函数的奇偶性可知，，最小值周期为；②由翻折变换可知，函数的图象如图：由图知的最小值周期为；③由周期公式得，所以的最小值周期为；④的最小值周期为.4．函数是（）A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数【答案】D【解析】因为，所以该函数是周期为2π的偶函数．题型二对称性【例2】已知函数，下列结论中错误的是（

）A．的最小正周期为 B．的图像关于直线对称C．在上单调递增 D．的值域为[-1，1]【答案】C【分析】根据周期公式的计算即可判断A，代入，取最大值，即可判断B,根据整体范围即可验证C,D.【解析】的最小正周期为,故A正确，当时，，故的图像关于直线对称，B正确，当时，，故C错误，，故D正确.【方法总结】【举一反三】1．函数的一条对称轴是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，可得，令，可得.所以函数的一条对称轴是.2．若函数的图像关于轴对称，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数的图像关于轴对称，所以当时，取得最值，所以，得，对于A，若，则，解得，不合题意，对于B，若，则，解得，不合题意，对于C，若，则，解得，题意，对于D，若，则，解得，不合题意，3．函数的图象（

）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【答案】D【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为，令，得，，易知A、B错误；由余弦函数的对称轴为，令，得，，当时，，易知C错误，D正确；4．下列关于函数的说法正确的是（

）A．图象关于点成中心对称 B．图象关于直线成轴对称C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增【答案】A【解析】当时，，所以是函数的中心对称，所以A选项正确，B选项错误.C选项，注意到时，，而不存在，所以C选项错误.D选项，注意到时，，而不存在，所以D选项错误.题型三单调性【例3】函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为．【方法总结】【举一反三】1．函数在下列哪个区间上单调递增（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，，得，令可得，的一个增区间为，结合选项可得C符合题意.2．下列区间中，函数单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得．所以在上不单调递增，在上单调递增．3．已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递减C．在上单调递减 D．在上单调递减【答案】C【解析】依题意可知，，记，则，对于A选项，因为，所以，则在上单调递增，故A错误；对于B选项，因为，所以，则在上不单调，故B错误；对于C选项，因为，所以，则在上单调递减，故C正确；对于D选项，因为，所以，则在上不单调，故D错误.4．若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由题意得：函数在上恰有两个零点，，解得：①，又在上单调递增，，解得：②，由①②式联立可知的取值范围是.故选：B题型四奇偶性【例4】函数是（

）A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的奇函数【答案】D【解析】，由于，且的定义域为全体实数，所以是奇函数，注意到它的周期为.故选：D.【方法总结】【举一反三】1．下列函数中，是奇函数且最小正周期为1的函数为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对A，其最小正周期为，故A错误；对B，设，且，解得，其定义域为，关于原点对称，其最小正周期为，故B正确；对C，其最小正周期为，故C错误；对D，设，定义域为，关于原点对称，则，则其为偶函数，故D错误.故选：B.2．下列函数中，周期是，又是奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A.周期是，A错误；对于B.周期是，因为是偶函数，B错误；对于C.周期是，因为是偶函数，C错误；对于D.周期是，又是奇函数，D正确；故选：D.3．已知函数是奇函数，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】是奇函数，则只需，所以，所以时，.故选：D.4．函数向左平移个单位得到，若是偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，在中，向左平移得到，所以，因为为偶函数，所以，又因为，所以，故选：D.题型五值域(最值)【例5】函数的最大值为（

）A． B． C． D．0【答案】C【解析】由题意可得，所以的最大值为．【举一反三】1．函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数，因为，所以函数的值域为故选：B.2．函数的最大值和最小值分别为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，则当，即时，，当，即时，，所以所求最大值、最小值分别为.故选：A3．若函数的最大值为，则a的值等于（

）A．2 B． C．0 D．【答案】D【解析】由于，所以时，取最大值，故，所以，4．函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数，∵，∴当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为2，故函数的值域为，故选：A．题型六图象变换【例6】（1）把函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，最后把图像向左平移个单位长度，则所得图像表示的函数的解析式为A． B． C． D．【答案】B【解析】把函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，所得图像的函数解析式为，再把纵坐标伸长到原来的倍，所得图像的函数解析式为，最后把图像向左平移个单位长度，所得图像的函数解析式为.故选B.（2）将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到函数，若为偶函数，则的最小值为()A． B． C． D．【答案】A【解析】函数，将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到函数，因为函数是偶函数，．当时，．故选：A【方法总结】函数图像平移异名化同名的公式：，.【举一反三】1．要得到的图像，只需将函数的图像()A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】B【解析】，，需将函数的图象向右平移个单位.故选：B.2．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为()A． B．C． D．【答案】B【解析】将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数解析式为.故选：B.3．(多选)把函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法不正确的是()A．g(x)在上单调递增B．g(x)的图象关于对称C．g(x)的最小正周期为4πD．g(x)的图象关于y轴对称【答案】BCD【解析】把函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的得到的图象，再将图象向右平移个单位长度得到函数的图象．若，则，∴在上单调递增，故A正确，不符合题意；由知，g(x)的图象不关于点对称，故B错误，符合题意；g(x)的最小正周期为π，故C错误，符合题意；∵，∴g(x)的图象不关于y轴对称，故D错误，符合题意．故选：BCD.4．将函数的图像向左平移个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则_________．【答案】【解析】解：根据题意得函数的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为：，由函数图象关于原点中心对称，故，即所以.故答案为：题型七求解析式【例7】函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为()A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】依题意，所以，由于图象过，所以，由于，所以，所以.由得，所以的单调递增区间为，.故选：D【方法总结】由函数的图象求解析式的方法：（1）；（2）；（3）；（4）由图象上的已知点求.【举一反三】1．数的一段图象如图所示，则()A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，函数的一段图象，可得，所以，又由，解得.故选：B.2．(多选)函数(＞0，0＜＜)(xR)在一个周期内的图象如图所示，则()A．函数的解析式为(xR)B．函数的一条对称轴方程是C．函数的对称中心是(，0)，kZD．函数是偶函数【答案】BD【解析】对于选项，由图象可知周期为，所以，由图象过，则，解得，又0＜＜，则，所以函数.所以A选项不正确；对于B选项，当时，，为最小值，所以选项B正确；对于C选项，当时，，显然对称中