方法技巧专题19 三角恒等变换（解析版）

方法技巧专题19三角恒等变换解析版一、三角恒等变换问题知识框架二、三角恒等变换方法技巧【一】公式顺用、逆用及其变形用1.两角和差公式：1.两角和差公式：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)（α，β，α－β均不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)）.2.二倍角公司2.二倍角公司sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).变形1：降幂公式:cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)，变形2：半角公式：（1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α）sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα)特别注意：两角和与差的正切公式有两种变形形式①tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)或②1∓tanα·tanβ＝eq\f(tanα±tanβ,tanα±β).当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.1.例题【例1】计算：(1)cos(－15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.【解析】(1)方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).方法二原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.【例2】(1)计算：cos2eq\f(π,12)－sin2eq\f(π,12)；【解析】原式＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).(2)计算：eq\f(1－tan275°,tan75°)；【解析】eq\f(1－tan275°,tan75°)＝2·eq\f(1－tan275°,2tan75°)＝2·eq\f(1,tan150°)＝－2eq\r(3).(3)计算：cos20°cos40°cos80°.【解析】原式＝eq\f(1,2sin20°)·2sin20°cos20°cos40°cos80°＝eq\f(1,2sin20°)·sin40°·cos40°cos80°＝eq\f(1,22sin20°)sin80°cos80°＝eq\f(1,23sin20°)·sin160°＝eq\f(sin20°,23sin20°)＝eq\f(1,8).【例3】(1)eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)＝________.【解析】eq\r(3)原式＝eq\f(tan45°＋tan15°,1－tan45°tan15°)＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝eq\r(3).(2)化简：tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°.【解析】方法一tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°＝tan(23°＋37°)(1－tan23°tan37°)＋eq\r(3)tan23°tan37°＝tan60°(1－tan23°tan37°)＋eq\r(3)tan23°tan37°＝eq\r(3).方法二∵tan(23°＋37°)＝eq\f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，∴eq\r(3)＝eq\f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，∴eq\r(3)－eq\r(3)tan23°tan37°＝tan23°＋tan37°，∴tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°＝eq\r(3).（3）已知sinθ＝eq\f(4,5)，eq\f(5π,2)＜θ＜3π，求coseq\f(θ,2)和taneq\f(θ,2).【解析】∵sinθ＝eq\f(4,5)，且eq\f(5π,2)＜θ＜3π，∴cosθ＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\f(3,5).由cosθ＝2cos2eq\f(θ,2)－1，得cos2eq\f(θ,2)＝eq\f(1＋cosθ,2)＝eq\f(1,5).∵eq\f(5π,4)＜eq\f(θ,2)＜eq\f(3π,2)，∴coseq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1＋cosθ,2))＝－eq\f(\r(5),5).taneq\f(θ,2)＝eq\f(sinθ,1＋cosθ)＝2.2.巩固提升综合练习【练习1】化简cos15°cos45°＋cos75°sin45°的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(\r(3),2)【解析】Bcos15°cos45°＋cos75°sin45°＝cos15°cos45°＋sin15°sin45°＝cos(15°－45°)＝cos(－30°)＝eq\f(\r(3),2).【练习2】eq\f(1－\r(3)tan75°,\r(3)＋tan75°)＝________.【解析】－1原式＝eq\f(\f(\r(3),3)－tan75°,1＋\f(\r(3),3)tan75°)＝eq\f(tan30°－tan75°,1＋tan30°tan75°)＝tan(30°－75°)＝－tan45°＝－1.【练习3】在△ABC中，A＋B≠eq\f(π,2)，且tanA＋tanB＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanAtanB，则角C的值为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,4)【解析】A∵tanA＋tanB＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanAtanB⇔tan(A＋B)·(1－tanAtanB)＝eq\r(3)(tanAtanB－1)．(*)若1－tanAtanB＝0，则cosAcosB－sinAsinB＝0，即cos(A＋B)＝0.∵0<A＋B<π，∴A＋B＝eq\f(π,2)与题设矛盾．∴由(*)得tan(A＋B)＝－eq\r(3)，即tanC＝eq\r(3).又∵0<C<π，∴C＝eq\f(π,3).【练习4】若sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，则sin2α=.【解析】由题意，得(sinα＋cosα)2＝eq\f(1,9)，∴1＋2sinαcosα＝eq\f(1,9)，即1＋sin2α＝eq\f(1,9)，∴sin2α＝－eq\f(8,9).【二】拆凑角问题三角公式求值中变角的解题思路三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．1.例题【例1】已知，则的值为()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2\r(2),3)D．－eq\f(2\r(2),3)【答案】A【解析】∵sin＝eq\f(1,3)，∴cos＝cos＝－sin＝－eq\f(1,3).【例2】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点.若角β满足sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，则cosβ的值为________．【答案】－eq\f(56,65)或eq\f(16,65)【解析】由角α的终边过点，得sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5).由sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，得cos(α＋β)＝±eq\f(12,13).由β＝(α＋β)－α，得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－eq\f(56,65)或cosβ＝eq\f(16,65).【例3】若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】2.巩固提升综合练习【练习1】已知，则________.【答案】－eq\f(\r(3),3)【解析】tan＝tan＝tan＝－tan＝－eq\f(\r(3),3).【练习2】若，A∈，则sinA的值为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,5)或eq\f(4,5) D.eq\f(3,4)【答案】B【解析】∵A∈，∴A＋eq\f(π,4)∈，∴cos（A＋eq\f(π,4)）＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4))))＝－eq\f(\r(2),10)，∴sinA＝sin[（A＋eq\f(π,4)）-eq\f(π,4)]＝sin（A＋eq\f(π,4)）coseq\f(π,4)－cos（A＋eq\f(π,4)）sineq\f(π,4)＝eq\f(4,5).【练习3】已知sin(α−3π10)=A.−45 B.45 C.−【答案】C【解析】因为sin(α−3π【练习4】若sin（）=，则cos（）=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，所以，故选C．【练习5】已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得：本题正确选项：【三】常值代换常数常数“1”的代换:1=sin2α+cos2α,1=2cos2α-cos2α,1=cos2α+2sin2α,1=tanQUOTEπ4.1.例题【例1】已知，．（1）求的值；（2）求的值．【解析】（1）∵，，∴，∴．（2）∵，∴，∴，，．【例2】已知△ABC中,,则tanA=.【解析】解法一：列出方程组由第一个方程得,,代入第二个方程得，即，解得或，因为△ABC中0<A<π,所以sinA>0,，，所以.答案:.解法二：由已知得sinA>0,cosA<0,|sinA|<|cosA|,tanA>-1,由两边平方,整理得，即，分子分母同除以得，解得.2.巩固提升综合练习【练习1】已知a∈R，sina+2cosa=A．−34或−35 B．−34【答案】B【解析】因为sina+2cosa=所以sin2所以sin2即tan2a+4+4tanatan2a+1当tana=3时，tan2a=当tana=−13时，综上所述，tan2a=−【练习2】已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】则故选A.【四】辅助角公式yy＝asinωx＋bcosωx＝eq\r(a2＋b2)sin(ωx＋θ)．其中，延申探索：(1)提常数，提出eq\r(a2＋b2)得到y＝asinωx＋bcosωx＝eq\r(a2＋b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a2＋b2))sinx＋\f(b,\r(a2＋b2))cosx))(2)定角度，确定一个角θ满足：cosθ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinθ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))一般θ为特殊角，，等，则得到eq\r(a2＋b2)(cosθsinx＋sinθcosx)．(3)化简、逆用公式得asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ)温馨提醒1：θ所在的象限由a和b的符号确定:温馨提醒2：另法asinx＋bcosx=eq\r(a2＋b2)(sinθsinx＋cosθcosx)=eq\r(a2＋b2)cos(x－θ)这里，，（）1.例题【例1】函数f(x)＝sinx－cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值为________．【解析】－1f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).∵－eq\f(π,4)≤x－eq\f(π,4)≤eq\f(π,4)，∴f(x)min＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－1.【例2】已知函数f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．【解析】(1)∵f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))＝eq\r(3)sin[2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))]＋1－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))＝2eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))－\f(1,2)cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))))＋1＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))－\f(π,6)))＋1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋1，∴f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)当f(x)取得最大值时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＝1，有2x－eq\f(π,3)＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即x＝kπ＋eq\f(5π,12)(k∈Z)，∴所求x的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)))).2.巩固提升综合练习【练习1】当函数取得最大值时，的值是______【解析】，，这时，即，所以【练习2】如果是奇函数，则= .【解析】，其中，∵为奇函数，所以，即，所以【练习3】已知函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))，g(x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1,4).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合．【解析】(1)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosx－\f(\r(3),2)sinx))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosx＋\f(\r(3),2)sinx))＝eq\f(1,4)cos2x－eq\f(3,4)sin2x＝eq\f(1＋cos2x,8)－eq\f(31－cos2x,8)＝eq\f(1,2)cos2x－eq\f(1,4)，∴f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝eq\f(1,2)cos2x－eq\f(1,2)sin2x＝eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，当2x＋eq\f(π,4)＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－eq\f(π,8)(k∈Z)时，h(x)有最大值eq\f(\r(2),2).此时x的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ－\f(π,8)，k∈Z)))).三、课后自我检测1．已知sinα＝eq\f(4,5)，且α∈，则sin的值为________．【答案】－eq\f(24＋7\r(3),50)【解析】因为sinα＝eq\f(4,5)，且α∈，所以α∈，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝－eq\f(3,5).因为sin2α＝2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(7,25).所以sin＝sin2αcoseq\f(π,3)＋cos2αsineq\f(π,3)＝－eq\f(24＋7\r(3),50).2．若，则。【答案】【解析】因为，又，所以，故选B.3．已知，则。【答案】【解析】=又,解又，,故故所以故选：A4．已知，，则。【答案】【解析】因为，诱导公式可得，，又因为所以5．已知sin（），则sin2x的值为（）【答案】【解析】设,则，6．已知，则。【答案】∵，∴，．7．若，，，，则等于。【答案】【解析】，，则，，则，所以，，因此，，8．已知，为锐角，且，，则。A. B. C. D.【答案】C【解析】,选C.9．已知角的始边是轴非负半轴．其终边经过点，则的值为__________．【答案】【解析】由题意得:,且,故填.10．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x的非负半轴重合，终边过点，则______________。【答案】；【解析】由题意，角的终边过点，求得，利用三角函数的定义，求得，又由.平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，，若，则为_____．【答案】【解析】由题意知：，，由，得，，故答案为：.12．若，则（）【答案】【解析】由题意得，，则.，故选.13．已知，则的值为。【答案】【解析】因为，所以，14．已知均为锐角，满足，则。【答案】【解析】由已知α、β均为锐角，，，又cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝，∵0＜α+β＜π，∴α+β＝．15．若，则。【答案】【解析】令，则由，可得16．已知，，则________.【答案】.【解析】∵，，平方相加可得即由降幂公式可得求得.17．若，则________．【答案】【解析】由题意，，通分可得，，，，所以本题答案为.已知，则__________．【答案】【解析】因为，所以，应填答案。19．若，则________．【答案】【解析】，则，故答案为.20．若，则________.【答案】【解析】由题意可得：，即：，解方程可得：.21．已知α∈，β∈，且cos＝eq\f(3,5)，sin＝－eq\f(12,13)，则cos(α＋β)＝________.【答案】－eq\f(33,65)【解析】∵α∈，∴eq\f(π,4)－α∈，又cos＝eq\f(3,5)，∴sin＝－eq\f(4,5)，∵sin＝－eq\f(12,13)，∴sin＝eq\f(12,13)，又∵β∈，eq\f(π,4)＋β∈，∴cos（eq\f(π,4)＋β）＝eq\f(5,13)，∴cos(α＋β)＝cos[-]＝coscos＋sinsin＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)－eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝－eq\f(33,65).22．（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.【解析】（1）由题得.（2）,所以.23．已知是方程的根，是第三象限角.（1）求的值；（2）已知，若是第三象限角，且，求的值.【解析】(1)∵方程5x2－7x－6＝0的根为或2，又是第三象限角，∴sin＝，∴cos＝－＝，，∴原式.(2).，又α是第三象限角，.故.24．已知关于x的方程2x2－(eq\r(3)＋1)x＋m＝0的两根分别是sinθ和cosθ，