江苏省扬州市2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题

第一学期期末检测高二数学一、单项选择题（本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由倾斜角与斜率关系，结合倾斜角的范围即可求解.【解析】由得，故倾斜角满足为，，故.故选：C2.在等比数列中，，，则（）A.14 B.16 C.28 D.32【答案】D【解析】【分析】根据等比数列性质得到，求出答案.【解析】由等比数列性质可得，即，解得.故选：D3.某质点沿直线运动，位移S（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时该质点的瞬时速度为（）A.10m/s B.11m/s C.13m/s D.28m/s【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义求解.【解析】因为，所以，所以，即当时该质点的瞬时速度为10m/s.故选：A4.已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数m的值为（）A. B. C.3 D.9【答案】B【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程对比列方程即可得解.【解析】由题意双曲线的一条渐近线方程为，所以，解得.故选：B.5.已知k为实数，则直线与圆的位置关系为（）A.相交 B.相离 C.相切 D.无法确定【答案】A【解析】【分析】由直线过定点，利用点在圆内即可得直线与圆相交.【解析】易知恒过定点，且易知点在点内，所以直线与圆相交；故选：A6.已知M是椭圆上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设为椭圆上一动点，利用两点间距离公式结合动点在椭圆上，由二次函数求最值即可.【解析】设为椭圆上一动点，由椭圆，不妨取椭圆短轴一端点B，则，由可得，则，由知，当时，.故选：C7.已知定义在上的可导函数，其导函数为f′x，若，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出原不等式的解集.【解析】构造函数，该函数的定义域为，则，所以，函数在上为增函数，且，由可得，即，解得.所以，不等式的解集为.故选：A.8.在中，已知D为边BC上一点，，．若的最大值为2，则常数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令且，求得外接圆半径为，若，结合已知得点在圆被分割的优弧上运动，进而确定的最大，只需与圆相切，综合运用两点距离、圆的性质、正弦定理、三角恒等变换列方程求参数.【解析】令且，即，则外接圆半径为，若，的外接圆方程为，所以，令圆心为，即点在圆被分割的优弧上运动，如下图，要使的最大，只需与圆相切，由上易知，则，而，由圆的性质有，中，，显然，由，则，所以，可得（负值舍），故，而，所以，整理得，则.故选：D【小结】关键点小结：令且，得到点在圆被分割的优弧上运动为关键.二、多项选择题（本大题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．）9.已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（）A.若斜率相等，则平行B.若平行，则的斜率相等C.若的斜率乘积等于，则垂直D.若垂直，则的斜率乘积等于．【答案】AC【解析】【分析】利用两直线平行或垂直与斜率之间的关系逐项判断即可得出结论.【解析】根据两直线的位置关系可知若斜率相等，则平行；若平行，当都与轴平行时，的斜率不存在，即可得A正确，B错误；易知若的斜率乘积等于，则垂直；若垂直,当与轴平行，与轴平行时，直线的斜率为，的斜率不存在，即可得C正确，D错误；故选：AC10.椭圆与双曲线（）A.有相同的焦点 B.有相等的焦距C.有相同的对称中心 D.可能存在相同的顶点【答案】BCD【解析】【分析】根据椭圆和双曲线方程分别写出焦点坐标，求出焦距，对称中心以及可能的顶点坐标，即可得出结论.【解析】由椭圆方程可知其焦点坐标为，焦距为，关于原点成中心对称，左、右顶点坐标为；由双曲线方程可知其焦点坐标为，因此两曲线焦点不同，即A错误；焦距为，可得B正确；双曲线也关于原点成中心对称，即C正确；当时，双曲线的左、右顶点坐标为，即D正确；故选：BCD11.已知函数，下列说法中正确的有（）A.函数的极大值为B.函数在点处的切线方程为C.D.若曲线与曲线无交点，则的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】利用导数求得函数的单调性，即可知A正确；根据导数的几何意义可判断B正确；由的单调性可得，变形整理可判断C正确；将两曲线无交点等价转换成方程无解，构造函数并利用函数单调性求得当时不合题意，由时函数的最小值可解得，即可得D正确.【解析】易知函数的定义域为0,+∞，则，令可得，当时，f′x>0，可得在上单调递增，当时，f′x<0，可得在上单调递减，对于A，由单调性可得在处取得极大值，即A正确；对于B，易知切线斜率为，所以切线方程为，即B正确；对于C，利用的单调性可得，即，也即，可得，所以，即C错误；对于D，若曲线y=fx与曲线无交点，即方程没有实数根，也即无解；令，则，若，在0,+∞上恒成立，即在0,+∞上单调递减；不妨取，则，易知，，此时在上有解，不合题意；若，令，解得；所以当时，，此时在时单调递减；当时，，此时在时单调递增；此时在处取得极小值，也是最小值；即，依题意可得，所以即可；解得，即的取值范围是，所以D正确.故选：ABD【小结】关键小结：在求解D选项时，关键在于将两曲线无交点等价转换成方程无解，构造函数并利用函数单调性分类讨论以及时函数的单调性，即可解得的取值范围.12.已知无穷数列an，．性质，，；性质，，，下列说法中正确的有（）A.若，则an具有性质sB.若，则an具有性质tC.若an具有性质s，则D.若等比数列an既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】根据性质的定义可判断选项A；根据性质的定义可判断选项B；根据性质的定义可得，，利用累加法可证选项C；对于D，结合选项C，可得，由an满足性质，分和讨论求出，再由an满足性质得，令，结合函数单调性可验证满足题意.【解析】对于A，因为，对，，即，所以an不具有性质，故A错误；对于B，，对，，，，故B正确；对于C，若an具有性质，令，则，即，，，又，所以，，故C正确；对于D，an是等比数列，设其公比为，又，，若an满足性质，由选项C得，即，，，由，，得，当时，得，即，对，又，，当时，不妨设，则，，解得，，综上，若an满足性质，则.若an满足性质，对，，，可得，即，令，则，又，所以函数在上单调递增，又由an满足性质，，成立，所以等比数列an既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为.故D正确.故选：BCD.【小结】思路小结：选项C，由题意可得，，累加法可得，结合，可判断；选项D，由an满足性质，结合选项C得，分和讨论恒成立求出，又由an满足性质，得，令，结合函数单调性可验证满足题意.三、填空题（本大题共4小题）13.写出过点的被圆所截的弦长为的直线方程______．（写出一条直线即可）【答案】（或，答案不唯一）【解析】【分析】由题意分满足题意的直线斜率是否存在进行讨论，结合圆心到直线的距离公式、弦长公式进行验算或者求解即可.【解析】当满足题意的直线斜率不存在即直线方程为时，圆心到该直线的距离为，而圆的半径为，此时该直线被圆所截的弦长为，故直线方程满足题意；当满足题意的直线斜率存在时，不妨设直线方程为，圆心到该直线的距离为，而圆的半径为，若该直线被圆所截弦长为，则有，解得，即此时满足题意的直线方程为.故答案为：（或，答案不唯一）.14.曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标定义：若f′x是的导函数，是f′x的导函数，则曲线y=fx在点处的曲率．已知，则曲线y=fx在点1,f1处的曲率为【答案】2【解析】【分析】计算出f′x及后代入计算即可得【解析】，，故，，则.故答案为：.15.南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数列．在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”"，现有高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第6项为______．【答案】56【解析】【分析】利用高阶等差数列的定义，分别计算出前后两项的差，再由等差数列定义即可求得第6项的值为56.【解析】由题意可知，所给数列为高阶等差数列，设数列的第6项为，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，再利用新数列的后一项减去前一项也得到一个新数列，即可得到一个首相为3公差为1的等差数列，计算规律如下所示：则需满足，解得.该数列的第6项为56.故答案：5616.已知椭圆的左、右焦点分别为，过作斜率为的直线交椭圆C于A，B两点，以AB为直径的圆过，则椭圆C的离心率为______．【答案】##【解析】【分析】由题意联立与，结合韦达定理与以及离心率公式和平方关系即可得解.【解析】由题意直线的斜率，且过点，不妨设，所以它的方程为，将其与椭圆方程联立得，化简并整理得，所以，因为以AB为直径的圆过，所以，所以，即，解得.故答案为：.【小结】关键小结：关键是由以AB为直径的圆过得到，由此结合韦达定理以及离心率公式平方关系即可顺利得解.四、解答题（本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知是等差数列，是等比数列，且．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列和等比数列定义求出公差和公比即可得出数列an和b（2）利用分组求和并根据等差等比数列前n项和公式即可得出数列的前n项和．【小问1解析】设等差数列an公差为d，等比数列bn的公比为q由可得，．则有，．所以．所以．所以，．【小问2解析】，令；所以数列的前n项和为,即可得数列的前n项和.18.已知函数在处取得极小值5．（1）求实数a，b的值；（2）当时，求函数的最小值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由题意得到，，求出，，检验后得到答案；（2）求导，得到函数单调性，进而得到极值和最值情况，得到答案.【小问1解析】，因为在处取极小值5，所以，得，此时所以在上单调递减，在上单调递增所以在时取极小值，符合题意所以，．又，所以．【小问2解析】，所以列表如下：00,1122,33f

00

1↗极大值6↘极小值5↗10由于，故时，．19.已知数列an的首项，前n项和为，且．设．（1）求数列bn（2）设，数列的前n项和为，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据求出，证明出bn是以2为首项，2为公比的等比数列，得到通项公式；（2）求出，裂项相消法求和得到，结合，得到答案.【小问1解析】在数列an中，①，②，由①-②得：，即，，所以，即，在①中令，得，即，而，故．则，即，又，所以，所以数列bn是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；【小问2解析】，，又因为，所以，所以.20.已知点，是圆上的一动点，点是线段的中点．（1）求点的轨迹方程；（2）已知、是直线上两个动点，且．若恒为锐角，求线段中点的横坐标取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设点Px0,y0，由中点坐标公式可得出，由已知可得出，将代入等式，化简可得出点的轨迹方程；（2）设，则，分析可知以中点为圆心，为半径的圆与圆外离，利用圆与圆的位置关系可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围，即为所求.【小问1解析】解：设Px0,y0，因为点是线段的中点，则，可得因为点在圆上，则，即，整理可得，所以点的轨迹方程为.【小问2解析】解：设，则，当在圆上运动时，恒为锐角，等价于以中点为圆心，为半径的圆与圆外离．且圆的圆心坐标为，半径为，所以，解得或，所以线段中点的横坐标取值范围为．21.已知抛物线C顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线PA交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点．【答案】（1）或（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线C的标准方程；（2）方法1：设，，求出直线的方程，与抛物线方程联立解得点的坐标，同理得点坐标，从而求得直线的方程，可得证；方法2：设，Mx1,y1，Nx2,y2，与抛物线方程联立，由韦达定理可得，，求出直线的方程，从而得点纵坐标，同理得点纵坐标，由对称性可得证.【小问1解析】设抛物线C的标准方程为y2=2pxp>0将A坐标代入，得，所以；将A坐标代入，得，所以，所以抛物线C的标准方程为或．【小问2解析】方法1：由抛物线C开口向右得标准方程为，准线，设，，则，即，由，得，所以，所以，，所以，用代m，得，则，所以，化简得所以，直线MN过定点．方法2：由抛物线C开口向右得标准方程为，准线，直线MN不垂直于y轴，设，Mx1,y由得，所以，，所以，所以，令，则，同理．因为P，Q关于x轴对称，所以，则．所以，直线MN过定点．【小结】方法小结：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点；（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．22.已知函数．（是自然对数的底数）（1）若，，求不等式的解集；（2）若，证明：对任意，成立；（3）若，试讨论函数的零点个数，并说明理由．【答案】（1）（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）当，时，利用导数分析函数的单调性，再由结合函数的单调性可得出原不等式的解集；（2）当时，，利用导数分析函数在上的单调性，结合函数的单调性可证得结论成立；（3）当时，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，当时，直接利用单调性结合可得出结论；当时，分析可知，函数存在唯一的极值点，对极值点与的大小进行分类讨论，利用