方法技巧专题16 函数中恒成立与存在性问题(解析版)

方法技巧专题16函数中恒成立与存在性问题解析篇一、函数中恒成立与存在性问题知识框架二、函数中恒成立问题【一】分离参数法利用分离参数法来确定不等式利用分离参数法来确定不等式,（,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:=1\*GB3①将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式；=2\*GB3②求在上的最大（或最小）值；=3\*GB3③解不等式(或),得的取值范围.1.例题【例1】不等式对任意恒成立，则实数的取值范围（）A． B． C． D．【解析】对恒成立，即对恒成立，从而求，的最小值，而故即当时，等号成立，方程在内有根，故，所以，故选D.【例2】已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线的斜率为．(1)求实数的值；(2)若对任意成立,求实数的取值范围.【解析】(1)∵,∴,又∵的图象在点处的切线的斜率为,∴,即,∴；(2)由（1）知,,∴对任意成立对任意成立,令,则问题转化为求的最大值,,令,解得,当时,,∴在上是增函数；当时,,∴在上是减函数．故在处取得最大值,∴即为所求.2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数,,其中且,．(1)若,且时,的最小值是－2,求实数的值；(2)若,且时,有恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)∵,∴易证在上单调递减,在上单调递增,且,∴,,∴当时,,由,解得（舍去）当时,,由,解得.综上知实数的值是.(2)∵恒成立,即恒成立,∴.又∵,,∴,∴恒成立,∴.令,∴.故实数的取值范围为.【练习2】若，恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设,则，原不等式等价于恒成立，设是单调递增的，零点为,函数y的最小值为1，故，，零点是在上单调递增，故，故.故选C.【练习3】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，即，当时，，当时，，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以.当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C.【二】函数性质法利用函数性质求解恒成立问题，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值。因含有参数，大多要分类讨论.利用函数性质求解恒成立问题，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值。因含有参数，大多要分类讨论.=1\*GB3①∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A；=2\*GB3②∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则f(x)max<A；=3\*GB3③∀x∈D,均有f(x)>g(x)恒成立,则F(x)=f(x)-g(x)>0,∴F(x)min>0；=4\*GB3④∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)=f(x)-g(x)<0,∴F(x)max<0；=5\*GB3⑤∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)>g(x2)恒成立,则f(x)min>g(x)max；=6\*GB3⑥∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)<g(x2)恒成立,则f(x)max<g(x)min.1.例题【例1】定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为当时，不等式恒成立，所以，当时，当时，，当时，，因此当时，，选B.【例2】若对，，且，都有，则的取值范围是（）注:（为自然对数的底数，即…）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为对于,定义域为,所以当满足时,成立化简可得,移项合并后可得,即因为,所以可等价于即满足为减函数，，因为为减函数，所以,即，则，因为对，，且，都有所以,即的取值范围为，故选C.【例3】已知函数，对任意x∈[1，＋∞)，当恒成立时实数m的最大值为1，则实数a的取值范围是．【解析】对任意x∈[1，＋∞)，有f(x)≥mx恒成立，即恒成立，即，又当f(x)≥mx恒成立时实数m的最大值为1，所以.因为所以问题等价转化为在上恒成立，即在上恒成立.设（），①当时，因为，所以，因此在上是单调递增函数，所以，即在上恒成立；②当时，在上，有；在上，有，所以在上为单调递减函数，在上为单调递增函数.当，有，即在上不恒成立.综合①②得：实数的取值范围是.2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为所以即，即当时，恒成立，所以在内是一个增函数，设，则有即，设则有，当时，即，当时，即所以当时，最小，即，故选D.【练习2】已知定义在上的偶函数在上递减，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题设可得，则原不等式可化为，即，也即在上恒成立，由于，因此，令，则，所以当时，，函数单调递减，因，故函数在上单调递减，故，当时，函数，所以，应选答案D.【练习3】若，满足恒成立，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】（1），显然成立；（2）时，由，由在为增在恒成立，由在为增，，，综上，，故答案为.【三】数形结合法对于参数不能单独放在一侧的,即不能用分离参数法解决问题时，可以利用函数图象来解：对于参数不能单独放在一侧的,即不能用分离参数法解决问题时，可以利用函数图象来解：利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围.（1）对于一次函数有：对于二次函数,上恒成立；上恒成立.1.例题【例1】已知函数,在恒有,求实数的取值范围.【解析】令,则对恒成立,而是开口向上的抛物线.当图象与x轴无交点满足,即,解得.当图象与x轴有交点,且在时,则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：，解得,故由①②知.【例2】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－|x3－2x2＋x|，x<1，,lnx，x≥1，))若对于∀t∈R，f(t)≤kt恒成立，则实数k的取值范围是________．【答案】[eq\f(1,e)，1]【解析】令y＝x3－2x2＋x，x<1，则y′＝3x2－4x＋1＝(x－1)·(3x－1)，令y′>0，即(x－1)(3x－1)>0，解得x<eq\f(1,3)或x>1.又因为x<1，所以x<eq\f(1,3).令y′<0，得eq\f(1,3)<x<1，所以y的增区间是(－∞，eq\f(1,3))，减区间是(eq\f(1,3)，1)，所以y极大值＝eq\f(4,27).根据图像变换可作出函数y＝－|x3－2x2＋x|，x<1的图像．又设函数y＝lnx(x≥1)的图像经过原点的切线斜率为k1，切点(x1，lnx1)，因为y′＝eq\f(1,x)，所以k1＝eq\f(1,x1)＝eq\f(lnx1－0,x1－0)，解得x1＝e，所以k1＝eq\f(1,e).函数y＝x3－2x2＋x在原点处的切线斜率k2＝1.因为∀t∈R，f(t)≤kt，所以根据f(x)的图像，数形结合可得eq\f(1,e)≤k≤1.2.巩固提升综合练习【练习1】已知定义在上的奇函数满足:当时,,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是（）A．B．C.D．【答案】A【解析】当时,在上是增函数对任意实数恒成立对任意实数恒成立,结合二次函数图象可得,故选A.【练习2】若不等式对任意恒成立,实数x的取值范围是.【答案】【解析】可转化为,设,则是关于m的一次型函数,要使恒成立,只需,解得.【练习3】已知函数若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得：设，易得，可得，与x轴的交点为，①当，由不等式对任意上恒成立，可得临界值时，相切，此时，，可得，可得切线斜率为2，，，可得切点坐标（3，3），可得切线方程：，切线与x轴的交点为,可得此时，，综合函数图像可得；②同理，当，由相切，（1）当，，可得，可得切线斜率为-2，，，可得切点坐标（1，3），可得切线方程，可得，综合函数图像可得，（2）当，，相切，可得，此时可得可得切线斜率为-2，，，可得切点坐标,可得切线方程：，可得切线与x轴的交点为，可得此时，，综合函数图像可得，综上所述可得，故选C.三、函数中存在性问题=1\*GB3=1\*GB3①.,使得成立,则；=2\*GB3②.,使得成立,则；=3\*GB3③.,使得成立,设,∴；=4\*GB3④.,使得成立,设,∴；=5\*GB3⑤.,,使得成立,则；=6\*GB3⑥.,,均使得成立,则.=7\*GB3⑦.,,均使得成立,则.（其中、）1.例题【例1】已知函数f(x)＝xeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x2－a))，若存在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，2))，使得f(x)<2，则实数a的取值范围是________．【答案】(－1,5)【解析】解法1当x∈[1,2]时，f(x)<2，等价于|x3－ax|<2，即－2<x3－ax<2，即x3－2<ax<x3＋2，得到x2－eq\f(2,x)<a<x2＋eq\f(2,x)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))min<a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))max，得到－1<a<5.解法2原问题可转化为先求：对任意x∈[1,2]，使得f(x)≥2时，实数a的取值范围．则有x|x2－a|≥2，即|a－x2|≥eq\f(2,x).(1)当a≥4时，a≥x2＋eq\f(2,x)≥22＋eq\f(2,2)＝5，得到a≥5.(2)当a≤1时，x2－a≥eq\f(2,x)，有a≤x2－eq\f(2,x)≤1－eq\f(2,1)＝－1，得到a≤－1.(3)当1<a<4时，|a－x2|≥0，与eq\f(2,x)>0矛盾．那么有a≤－1或a≥5，故原题答案为－1<a<5.【例2】已知,,若存在,使得,求实数的取值范围；【答案】【解析】在上都是增函数,所以的值域的值域.若存在,使得,则,即4,所以.实数的取值围是.【例3】已知,,若存在,使得,求实数的取值范围.【答案】【解析】在上都是增函数,所以的值域的值域.若存在使得,则,∴且,∴实数的取值围是.2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数，若存在，使得，则实数的值为______．【答案】【解析】函数f（x）=（x+a）2+（ex+）2，函数f（x）可以看作是动点M（x，ex）与动点N（-a，-）之间距离的平方，动点M在函数y=ex的图象上，N在直线y=x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=ex得，y′=ex=，解得x=-1，所以曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，最小距离d=，则f（x）≥，根据题意，要使f（x0）≤，则f（x0）=，此时N恰好为垂足，由KMN=-e，解得a=．故答案为：．【练习2】已知函数，若、，，使得成立，则的取值范围是（）．A． B． C． D．或【答案】B【解析】当时，，函数在上递增，在上递减，则：、，，使得成立.当时，，函数在上递增，在也递增，又，所以函数在上单调递增，此时一定不存在、，，使得成立.故选B.【练习3】已知函数，，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，当时，，当且仅当时取“=”，当时，函数，则，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调增，所以，综上可得，因为存在实数，使得成立，则，即，即，解得或，故实数的取值范围为，故选D.【练习4】已知函数,.（1）函数的图象与的图象无公共点,求实数的取值范围；（2）是否存在实数,使得对任意的,都有函数的图象在的图象的下方？若存在,请求出整数的最大值；若不存在,请说理由.（参考数据：,,）.【解析】（1）函数与无公共点,等价于方程在无解令,则令得＋0－增极大值减因为是唯一的极大值点,故……………4分故要使方程在无解,当且仅当,故实数的取值范围为（2）假设存在实数满足题意,则不等式对恒成立.即对恒成立.令,则,令,则,∵在上单调递增,,,且的图象在上连续,∴存在,使得,即,则,∴当时,单调递减；当时,单调递增,则取到最小值,∴,即在区间内单调递增.,∴存在实数满足题意,且最大整数的值为.四、函数中恒成立与存在性的综合问题=1\*GB3=1\*GB3①.,,使得成立,则=2\*GB3②.,,使得成立,则.=3\*GB3③.,,均使得成立,则.（其中、）1.例题【例1】已知函数，，，总，使得成立，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】∵，∴∵，∴，∴∴要使，总，使得成立，则需满足：∴，解得或∴的取值范围是.【例2】已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，g(x)＝eq\f(a,x)，其中a>0，x≠0.(1)对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；(2)对任意，任意，都有恒成立，求实数的取值范围；(3)对任意，存在，使成立，求实数的取值范围；(4)存在，任意，使成立，求实数的取值范围．【解答】（1）因为对任意x∈[1,2]，都有f(x)>g(x)恒成立，即对任意x∈[1,2]，x2－2ax＋1>eq\f(a,x)恒成立，所以a<eq\f(x3＋x,2x2＋1)在x∈[1,2]上恒成立．令φ(x)＝eq\f(x3＋x,2x2＋1)，则φ′(x)＝eq\f(2x4＋x2＋1,(2x2＋1)2)>0，所以φ(x)min＝φ(1)＝eq\f(2,3)，所以a<eq\f(2,3).又因为a>0，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))).（2）函数f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2在区间[1,2]上的最小值有以下三种情况：①当0<a≤1时，f(x)min＝f(1)＝2－2a；②当1<a<2时，f(x)min＝f(a)＝a2－2a2＋1＝1－a2；③当a≥2时，f(x)min＝f(2)＝5－4a.函数g(x)的最大值为eq\f(a,2).当0<a≤1时，由f(x)min>eq\f(a,2)，即2－2a>eq\f(a,2)，解得0<a<eq\f(4,5)；当1<a<2时，由f(x)min＝1－a2>eq\f(a,2)，无解；当a≥2时，f(x)min＝5－4a>eq\f(a,2)，无解．综上可知，实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,5))).（3）函数f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2在区间[1,2]上的最小值有以下三种情况：①当0<a≤1时，f(x)min＝f(1)＝2－2a；②当1<a<2时，f(x)min＝f(a)＝a2－2a2＋1＝1－a2；③当a≥2时，f(x)min＝f(2)＝5－4a.函数g(x)的最小值为当0<a≤1时，由f(x)min>，即2－2a>，解得0<a<；当1<a<2时，由f(x)min＝1－a2>，无解；当a≥2时，f(x)min＝5－4a>，无解．综上可知，实数a的取值范围是.（4）函数g(x)的最大值为eq\f(a,2).函数f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2在区间[1,2]上的最大值有以下三种情况：①当0<a≤时，，解得0<a<；②当时，，无解.综上可知，实数a的取值范围是.巩固提升综合练习【练习1】已知二次函数fx=ax2+bx+cx2∈0,2，使得f【解析】由题意，对任意的x1∈0,2，存在x所以fmin因为a+b+c=0，所以fx=ax①当−b2a<0即ba>0所以fminx所以ba②当0≤−b2a<1fx在0,−b2a上递减，在所以fmin所以由−b24a③当1≤−b2a<2fx在0,−b2a上递减，在−所以fmin所以由−b24a所以−4<b④当−b2a≥2即ba≤−4所以fmin所以ba综上所述：所以ba<−4+2【练习2】已知函数fx（1）若曲线y=fx在x=1和x=3处的切线互相平行，求a（2）求fx（3）设gx=x2−2x，若对x1∈0,2【解析】（1）fʹx由题意知fʹ1即a−2a+1+2=3a−2a+1

（2）fʹx①当a≤0时，因为x>0，所以ax−1<0，在区间0,2上，fʹx在区间2,+∞上，fʹx<0故fx的单调递增区间是0,2，单调递减区间是2,+∞．②当0<a<12时，1a>2，在区间0,2和在区间2,1a上故fx的单调递增区间是0,2和1a,+∞③当a=12时，fʹx=x−2④当a>12时，0<1a<2，在区间0,在区间1a,2上，故fx的单调递增区间是0,1a和2,+∞

（3）由题意知，在0,2上有fx由已知得gxmax①当a≤12时，fx故fx所以−2a−2+2ln2<0，解得故ln2−1<a≤②当a>12时，fx在1a故fx由a>12可知所以2lna>−2，即−2ln所以fx综上所述，a>ln五、课后自我检测1．已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线的斜率为．(1)求实数的值；(2)若对任意成立,求实数的取值范围.(2)由（1）知,,∴对任意成立对任意成立,令,则问题转化为求的最大值,,令,解得,当时,,∴在上是增函数；当时,,∴在上是减函数．故在处取得最大值,∴即为所求.2.已知函数,,其中且,．(1)若,且时,的最小值是－2,求实数的值；(2)若,且时,有恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).(2)∵恒成立,即恒成立,∴.又∵,,∴,∴.令,∴.故实数的取值范围为.3.设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是（）A．B．C．