方法技巧专题12 函数单调性、极值、最值与导数问题（解析版）

方法技巧专题12函数单调性、极值、最值与导数问题解析篇一、函数单调性、极值、最值知识框架二、函数单调性、极值、最值问题题型【一】判断函数单调性1.例题【例1】已知函数判断函数的单调性。【解析】由题意可求，1.当时，在上为减函数；2.当时，令，解得,令，解得于是在为增函数，在为减函数；【例2】已知函数，其中a∈R，讨论并求出f(x)在其定义域内的单调区间．【解析】，设g(x)＝x2－ax＋1，∵x＞0，∴①当a＜0时，g(x)＞0，f′(x)＞0在x∈(0，＋∞)上恒成立，此时函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；②当a＞0时，.当1－≥0，即0＜a≤2时，g(x)＞0，f′(x)＞0在x∈(0，＋∞)上恒成立，此时函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；当a＞2时，方程g(x)＝0的两根分别为，且0＜x1＜x2，∴当x∈(0，x1)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，故函数f(x)在(0，x1)上单调递增；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，故函数f(x)在(x1，x2)上单调递减；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，故函数f(x)在(x2，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤2时，函数f(x)的单调增区间为，没有减区间；当a＞2时，函数f(x)的减区间为；增区间为(0，x1)，(x2，＋∞)．2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数，.设，讨论函数的单调性；【解析】因为，所以，①若，.∴在上单调递减.②若，则，当，或时，，当时，，∴在，上单调递减，在上单调递增.③若，则，当，或时，，当时，.∴在，上单调递减，在上单调递增.【练习2】已知，求单调区间.【解析】该函数定义域为（第一步：对数真数大于0求定义域）令，解得（第二步，令导数等于0，解出两根）（1）当时，单调增，单调减（第三步，在不在进行分类，当其不存在得到；第四步数轴穿根或图像判断正负）（2）当时即单调增，（第五步，x1在区间时，进行比较大小，当得到第四步图像判断正负）①当时，即单调增，单调减（当得到；第四步图像判断正负）②当时，即单调增，单调减（得到；第四步图像判断正负）综上可知：，单调增，单调减；，单调增单调增，单调减，单调增，单调减【二】根据单调性求参数1.例题【例1】（1）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是.（2）函数在区间上不单调，实数的范围是（）（3）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为.（4）若函数存在增区间，则实数的取值范围为.【解析】（1）因为函数的单调减区间为，又函数在区间上是减函数，则，则，解得：，（2），，令，得.当或时，；当时，.所以，函数的极大值点为，极小值点为.由题意可得或，解得或.（3）由，即，解得.二次函数的对称轴为.由复合函数单调性可得函数的单调递增区间为．要使函数在区间内单调递增，则，即，解得.（4）若函数不存在增区间，则函数单调递减，此时在区间恒成立，可得，则，可得，故函数存在增区间时实数的取值范围为．【例2】已知函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（）A． B．C． D．【解析】（1），∴有三个单调区间，∴，解得且．故选B．2.巩固提升综合练习【练习1】函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得：在上单调递增等价于：在上恒成立即：当时，本题正确选项：【练习2】已知函数f(x)=x3+ax2+x+1（a∈R）在A．(0,3] B．(−∞,3] C．【答案】C【解析】f'x=3x2+2ax+1假设f(x)在(−23,−13)内不存在单调递减区间，而f(x)又不存在常函数情况，所以f(x)在(−2恒成立，解得a≤3，所以函数f(x)在(−23,−1【练习3】若函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】单调递增，单调递减.函数在区间上是单调函数区间上是单调递减不满足只能区间上是单调递增.故故答案选B【三】函数的极值问题(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．1.例题【例1】(1)函数的极大值点是_______，极大值是________。(2)函数的极大值为，则实数__________．【答案】(1)216(2)3【解析】(1)依题意，故函数在或时，导数小于零，函数单调递减，在时，导数大于零，函数单调递增，故函数在处取得极大值.即极大值点为，极大值为.(2)函数的极大值为，由题意知：，当时，有极大值，所以故答案为3 【例2】(1)函数在处有极值为7，则（）A．-3或3 B．3或-9 C．3 D．-3(2)若函数在上有小于的极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】(1)C(2)B【解析】(1)，∴，解得或，时，，当时，，当时，，是极小值点；时，，不是极值点．∴．故选C．(2)由因为在上有小于的极值点，所以有小于0的根，由的图像如图：可知有小于0的根需要，所以选择B2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数，，若在处与直线相切．（1）求的值；（2）求在上的极值．【答案】（1）（2）极大值为，无极小值．【解析】（1）∵函数在处与直线相切，∴，即，解得；（2）由（1）得：，定义域为．，令，解得，令，得．∴在上单调递增，在上单调递减，∴在上的极大值为，无极小值．【练习2】若函数在内有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，，因为在内有两个不同的极值点，所以在内有两个不同的解，由于是的一个解，则在上只有一个不为1的解，则，即函数与的图象在上只有一个交点，且交点的横坐标不为1，令，求导得，则时，；时，，故在上单调递增，在上单调递减，且在上恒成立，，，，故当，即时，函数与的图象在上只有一个交点.当时，函数与的图象在上只有一个交点，但不符合题意，需舍去.故时，函数在内有两个不同的极值点.故选D.【练习3】已知函数既存在极大值又存在极小值，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，由于函数既有极大值，又有最小值，则导函数有两个零点，，即，解得或.因此，实数的取值范围是，故选：B.【四】函数的最值问题求函数最值的五种常用方法及其思路求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．1.例题【例1】已知函数，当时，函数有极小值.（1）求的解析式；（2）求在上的值域.【解析】（1），由题意得，解得，，经检验为的极小值点，符合题意.（2）由（1）得当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.因为，，所以的最大值为.所以在上的值域为.【例2】（1）已知f(x)=−13x3+x在区间a<−1B．−2≤a<3C．−2≤a<1D．−3<a<1（2）已知函数在区间上有最大值无最小值，则实数的取值范围（）A． B． C． D．【答案】（1）C（2）C【解析】（1）因为函数f（x）=﹣13x3+x在（a，10﹣a2）上有最大值，则其最大值必是区间上的极大值f′（x）=﹣x2+1，令f′（x）=﹣x2+1=0，可得x=±1，分析易得x=1是极大值点．对于f′（x）=﹣x2+1，结合二次函数的性质可得：a＜1＜10﹣且f（a）≤f（1），解得﹣2≤a＜1,故答案为：C（2）设函数在区间上有最大值无最小值即在有零点，且满足：即故答案选C2.巩固提升综合练习【练习1】若是函数的极值点，则在上的最小值为______.【答案】【解析】，则，解得，所以，则.令，得或；令，得.所以在上单调递减；在上单调递增.所以.【练习2】已知函数f(x)=x3−ax2【答案】（−1,∞）【解析】∵f（x）=x3﹣ax，∴f′（x）=3x2﹣2ax=x(3x-2a)，当f′（x）=0时，x=0或x=2a3（1）当2a3∈（﹣∞，﹣1]时，即a≤−32时，f(x)在（-1，0）单调递减，在（0，1）单调递增，此时x=0时f（（2）当-1<2a3<0时，f(x)在（-1，2a3）单调递增，在（2a3，0）单调递增减，在（0，1）单调递增，由题意f(x)=则有−1<（3）当a=0时，f(x)=x3在(−1（4）当0<2a3<1时，f(x)在（-1，0）单调递增，在（0，2a3）单调递增减，在（2a3，1）单调递增，由题意f(x)=则有0<（5）当2a3≥1时，即a≥32时，此时f(x)在(−1 ， 1)上没有最小值.综上：三、课后自我检测1．若函数不是单调函数，则实数的取值范围是（）.A．[0,+∞） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0） D．(0,+∞）【答案】C【解析】函数的定义域为，函数的导数为，当时，，函数是单调增函数，不合题意；当时，函数在上递减，在递增，不是单调函数，则实数的取值范围是，故选C.2．已知函数在上不单调，则m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】.因为在上不单调，所以，故.故答案为A3．对于任意，，当时，恒有成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于任意，，当时，恒有成立，即成立，令，∴，∴在上单调递减，∴在恒成立，∴在恒成立，∵当，，∴实数的取值范围为，故选C.4．已知函数f(x)＝x3＋sinx，x∈(－1，1)，则满足f(a2－1)＋f(a－1)>0的a的取值范围是()A．(0，2) B．(1，) C．(1，2) D．(0，)【答案】B【解析】∵函数f（x）＝x3+sinx，x∈（﹣1，1），则f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）在区间（﹣1，1）上是奇函数；又f′（x）＝3x2+cosx＞0，∴f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增；∵f（a2﹣1）+f（a﹣1）＞0，∴﹣f（a﹣1）＜f（a2﹣1），∴f（1﹣a）＜f（a2﹣1），∴，求得1＜a＜，故选：B．5．在上的极小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，令，所以或；因此，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时，取极小值，且极小值为.故选A6．在区间[1，5]上的最大值是（）A．-2 B．0 C．52 D．2【答案】C【解析】，，令，得.当时，；当时，.所以，函数的极小值为，又，，因此，函数在区间上的最大值为，故选：C.7．若函数f(x)=x3−3ax−a在区间(0,1)A．0≤a<1 B．0<a<1 C．−1<a<1 D．0<a<【答案】B【解析】令f'x=3x2∴0<a<1，∴8．已知函数,若恒成立,则整数的最大值为()A． B． C． D．【答案】B【解析】f（x）＞恒成立，即h（x）=＞k即h（x）的最小值大于k．而h′（x）=，记g（x）=x﹣3﹣ln（x-1），（x＞2），则g′（x）=＞0，∴g（x）在（2，+∞）上单调递增，又g（4）=1﹣ln3＜0，g（5）=2﹣2ln2＞0，∴g（x）=0存在唯一实根a，且满足a∈（4，5），a-3=ln（a-1），当x＞a时，g（x）＞0，h′（x）＞0，当2＜x＜a时，g（x）＜0，h′（x）＜0，∴h（x）min=h（a）==a-1∈（3，4），故正整数k的最大值是3．故答案为：B9．已知f（x）=-x3-ax在（-∞，-1]上递减，且g（x）=2x-ax在区间（1，2]上既有最大值又有最小值，则aA．a>−2 B．−3≤a C．−3≤a<−2 D．−3≤a≤−2【答案】C【解析】因为函数f(x)=−x3−ax所以f'x=−3x得−3x又因为g(x)=2x−ax在区间所以，可知g'x=2x+a也就是极值点，即有解2x+ax2=0，在可得−8≤a<−2,∴−3≤a<−2，故选C.10．已知函数f(x)=ax+xlnx，g(x)=−x3A．−∞,2−4ln2B．−∞,1C．2−4【答案】A【解析】根据题意，对任意的x1，x2f(x)maxg'x=−3g(2)<g(12)，故gx解得a≤x−令ℎx=x−在区间12，2内，ℎ''x<0，ℎ'∴a≤2−4ln2，则实数a的取值范围是−∞，2−4ln2故选A11．若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数在上有最大值无最小值，则极大值在之间，设的根为，极大值点在处取得则解得，故选C。12．已知满足，则的单调递减区间是。【答案】(-1,3)【解析】函数满足，，整理得，即，解得函数解析式为，令，解得的单调递减区间是故答案为.13．若函数fx=x−13sin【答案】−1【解析】f'(x)=1−23即：1−24cos2x−3a令t=cos只需f(−1)=−1+3a≤0f(1)=−1−3a≤0⇒a≤则a的取值范围是[−114．已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】对函数求导可得，f′（x）＝3x2+4x﹣a，此时对称轴，函数f（x）＝x3+2x2﹣ax+1在区间（0，1）上不是单调函数，∴，解得：0＜a＜7，故答案为：（0，7）．15．已知a为实数,函数fx=x【答案】-∞，【解析】f'(x)=3x2−2ax+(1)若△=12-8a2≤0,则a≤−62或此时f'x≥0在区间(-∞,+∞)上恒成立,所以f(所以a≤−62或(2)若△=12-8a2>0,即−62则此时要满足f'0≥0,0<a3综上所述,a≤−616．设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为________【答案】【解析】函数是函数是极大值点则或当时的极小值为故答案为：17．已知函数，当（e为自然常数），函数的最小值为3，则的值为_____________.【答案】【解析】，，当时，则，在上是减函数，，（舍去）．当时，当时，，递减，当时，，递增．∴，，符合题意．故答案为．18．设函数，若无最大值，则实数的取值范围是__．【答案】【解析】f′（x），令f′（x）＝0，则x＝±1，若f（x）无最大值，则，或，解得：a∈（﹣∞，﹣1）．故答案为：19．已知函数，且在处取得极值.（1）求函数的解析式；（2）求函数在的最值.【答案】（1）（2）最大值为；最小值为【解析】（1）由，得又因为在处取得极值，所以，解得，，经检验，符合条件，所以.（2）由（1）可知单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数在的最大值为。最小值为.20．已知函数f(x)=ln（Ⅰ）若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=1，求f(x)的最大值.【答案】（Ⅰ）a≤2e−1（Ⅱ）f【解析】（Ⅰ）由题意知，f'(x)=1x−(ex+xex)+a令g(x)=(x+1)ex−所以g(x)在[1,+∞)上单调递增，所以g(x)所以a≤2e−1.（Ⅱ）当a=1时，f(x)=ln则f'(x)=1令m(x)=1x−所以m(x)在(0,+∞)上单调递减.由于m(12)>0，m(1)<0，所以存在x0>0当x∈(0,x0)时，m(x)>0，f'(x)>0；当x∈(x0所以f(x)在(0,x0)所以f(x)因为ex0=1x所以f(x)21．设函数f(x)＝aex(x＋1)(其中e＝2.71828…)，g(x)＝x2＋bx＋2，已知它们在x＝0处有相同的切线．(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[t，t＋1](t＞－3)上的最小值．【解析】(1)f′(x)＝aex(x＋2)，g′(x)＝2x＋b，由题意，两函数在x＝0处有相同的切线，∴f′(0)＝2a，g′(0)＝b，∴2a＝b，f(0)＝a＝g(0)＝2，∴a＝2，b＝4，∴f(x)＝2ex(x＋1)，g(x)＝x2＋4x＋2。(2)由(1)得f′(x)＝2ex(x＋2)．当x＞－2时，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，当x＜－2时，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，∵t＞－3，∴t＋1＞－2，，当－3＜t＜－2时，f(x)在[t，－2]上单调递减，在[－2，t＋1]上单调递增，∴f(x)min＝f(－2)＝.，当t≥－2时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，∴f(x)min＝f(t)＝2et(t＋1)．综上：当－3＜t＜－2时，f(x)min＝－2e－2；当t≥－2时，f(x)min＝2et(t＋1)．22.已知函数，讨论函数的单调性；【解析】，令，其对称轴为，令，则.当时，，所以在上单调递增；当时，对称轴为，若，即，恒成立，所以，所以在上单调递增；若时，设的两根，，当时，，所以，所以在上单调递增，当时，