初中数学同步八年级上册沪科版《压轴题》专题06三角形有关线段计算的五种类型含答案及解析

专题06三角形有关线段计算的五种类型目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、根据三边关系求第三边或取值范围 2类型二、等腰三角形相关问题 3类型三、利用三边关系化简求值 3类型四、利用高求线段的长 4类型五、利用中线求周长或面积 5压轴能力测评 61.三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。2.三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段。注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（注：这点叫重心：当我们用一条线穿过重心的时候，三角形不会乱晃；③中线把三角形分成两个面积相等的三角形；3.三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段。注意：①三角形的角平分线十线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点：（注：这一点是三角形的内心。角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等)；③用量角器画三角形的角平分线；4.三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。注意：①三角形的高是线段：②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在三角形外：（三角形三条高所在直线交于一点，这点叫垂心）；③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）。类型一、根据三边关系求第三边或取值范围三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。例．下列三条线段，能组成三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【变式训练1】．若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是（

）．A． B． C． D．【变式训练2】．在中，，若其周长为，则边的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练3】．一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8类型二、等腰三角形相关问题利用等腰三角形求线段的长或周长时，切记分析已知数据为底边还是腰长进行分析，然后利用三边关系进行取舍。例．等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为x和，则这个等腰三角形的腰长为（

）A．4或7 B．4 C．6 D．7【变式训练1】．等腰三角形中，两条边的长分别是，，则三角形的周长是（

）A． B． C．或 D．和【变式训练2】．已知等腰三角形ABC的两边满足，则此三角形的周长为(

)A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定【变式训练3】．等腰三角形△ABC的周长为18，且BC=8,则此等腰三角形必有一边长为（

）A．7 B．2或5 C．5 D．2或7类型三、利用三边关系化简求值结合三边关系和绝对值的性质综合考察，注意符号问题。例．已知a、b、c为三角形的三边，则化简后的值为（

）A． B． C． D．【变式训练1】．已知是的三条边，化简的结果为（

）A． B． C． D．0【变式训练2】．已知的三边长为，，，化简的结果是（

）A． B． C． D．以上都不对【变式训练3】．已知a，b、c是的三条边长，化简的结果为（）A． B． C． D．0类型四、利用高求线段的长一般采用等积法较多。例．如图，在中，分别是边上的中线和高，若，，则线段的长为（

）A．5 B．6 C．8 D．10【变式训练1】．如图，在中，是边上的中线，是边上的高，若，，则的长度为（

）A． B． C． D．【变式训练2】．如图，在中，D是AB的中点，E是上的一点，且，CD与相交于点，若的面积为，则的面积为（）A．32 B．36 C．40 D．44【变式训练3】．如图，在中，，，，，边上的高长是（

）A． B． C． D．类型五、利用中线求周长或面积利用中线的两个大性质：等分三角形的面积；把三角形分的两个小三角形的周长的差等于边长的差。例．在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（

）A．47 B．43 C．38 D．25【变式训练1】．如图，是的中线，，若的周长比的周长大3，则的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式训练2】．如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且，若，则（

）A．3 B．6 C．8 D．12【变式训练3】．如图，已知、分别为的边、的中点，线段为的中线，连接，若四边形的面积为，且，则中边上高的长为（）A． B． C． D．1．若三角形的两边长分别是3和4，则这个三角形的周长可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．142．用长度均为奇数的三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长度分别为和，则第三根木棒的长度可能是（

）A． B． C． D．3．已知的面积为24，是边上的高，若，，则的长为（）A．1 B．1或11 C．7 D．7或174．如图，，分别为的中线和高线，的面积为5，，则的长为（）A．5 B．3 C．4 D．65．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（

）A．或 B． C． D．或6．如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（

）

A．16 B．18 C．20 D．227．如图，在中，是边上任意一点，分别是的中点，，则的值为（

）A． B． C． D．8．如图，中，，点D为中点，选接、，取的中点F，连接，若的面积是1，则的面积是（

）A．2 B．4 C．6 D．89．如图，在中，，点为上一点，过点作于点．(1)当BD平分，且时，求的度数；(2)当点是中点，，且的面积为，求的长．10．如图，是的中线，是的中线．(1)在中作边上的高；(2)若的面积为，，求的长．

专题06三角形有关线段计算的五种类型目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、根据三边关系求第三边或取值范围 2类型二、等腰三角形相关问题 4类型三、利用三边关系化简求值 6类型四、利用高求线段的长 7类型五、利用中线求周长或面积 10压轴能力测评 131.三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。2.三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段。注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（注：这点叫重心：当我们用一条线穿过重心的时候，三角形不会乱晃；③中线把三角形分成两个面积相等的三角形；3.三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段。注意：①三角形的角平分线十线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点：（注：这一点是三角形的内心。角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等)；③用量角器画三角形的角平分线；4.三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。注意：①三角形的高是线段：②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在三角形外：（三角形三条高所在直线交于一点，这点叫垂心）；③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）。类型一、根据三边关系求第三边或取值范围三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。例．下列三条线段，能组成三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】A【分析】本题考查了对三角形的三边关系的应用，若能构成三角形则需满足两边之和大于第三边，解题的关键是若是最大边，只要满足两最小边即可．根据三角形的三边关系定理：如果、、是三角形的三边，且同时满足，，，则以、、为边能组成三角形，一般情况下只比较两较短边的和与最长边，根据判断即可．【详解】解：A、，，，能组成三角形，选项正确；B、，，，不能组成三角形，选项错误；C、，，，不能组成三角形，选项错误；D、，，，不能组成三角形，选项错误；故选：A【变式训练1】．若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键．【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，，∴，解得：，∴选项中符合题意，故选：．【变式训练2】．在中，，若其周长为，则边的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的性质；设，由三角形的三边关系定理得出，再由边长为正数得出，即可得出结果．掌握三角形的三边关系定理是解题的关键．【详解】解：设，∵在中，，若其周长为，∴，∵，即，解得：，又∵，解得：，∴，即．故选：B．【变式训练3】．一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】此题考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值．【详解】设第三边为，根据三角形的三边关系，得：，即，∵为整数，∴的最小值为6．故选：B．类型二、等腰三角形相关问题利用等腰三角形求线段的长或周长时，切记分析已知数据为底边还是腰长进行分析，然后利用三边关系进行取舍。例．等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为x和，则这个等腰三角形的腰长为（

）A．4或7 B．4 C．6 D．7【答案】D【分析】本题考查了三角形的三条边的关系和一元一次方程的应用的问题．根据三角形的两边之和大于第三边，可得判断出底边是x，腰长是，根据题意列出方程求解即可．【详解】解：若x是腰，则底边长是，应该满足两腰之和大于底，但是，所以只能x是底边，则腰长是，由题意得，解得，，故答案为：D．【变式训练1】．等腰三角形中，两条边的长分别是，，则三角形的周长是（

）A． B． C．或 D．和【答案】B【分析】分3是腰长与底边两种情况讨论求解．【详解】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为7、3、3，3+3=6＜7，不能组成三角形；②3是底边长时，三角形的三边分别为7、7、3，能组成三角形，周长=7+7+3=17，综上所述，这个等腰三角形的周长是17，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．【变式训练2】．已知等腰三角形ABC的两边满足，则此三角形的周长为(

)A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定【答案】B【分析】根据非负数的非负性可求出AB和BC的值，根据等腰三角形的性质和三边关系分情况讨论求解.【详解】因为,所以AB=3,BC=6,因为AB和BC是等腰三角形ABC的两边，所以当AB=3是腰,BC=6是底边，则三角形三边分别为3,3,6，由三边关系可得,3,3,6不能构成三角形;所以当AB=3是底边,BC=6是腰，则三角形三边分别为6,6,3，由三边关系可得6,6,3能构成三角形,所以三角形周长是15.故选B.【点睛】本题主要考查非负数的非负性和三角形三边关系，等腰三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三边关系和等腰三角形的性质.【变式训练3】．等腰三角形△ABC的周长为18，且BC=8,则此等腰三角形必有一边长为（

）A．7 B．2或5 C．5 D．2或7【答案】B【分析】分BC是等腰三角形的底和腰两种情况进行讨论，然后再验证能否组成三角形即可．【详解】解：当BC是等腰三角形的底时，另两边的长均为×(18-8)=5（cm），5+5＞8，能组成三角形；当BC是等腰三角形的腰时，另一腰也是8cm，则底边长为18-8-8=2（cm），2+8＞8，能组成三角形，所以此三角形有一边的长为2cm或5cm，故选B．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，也考查了分类讨论思想的应用，注意分情况求出结果后一定要利用三角形的三边关系定理验证能否组成三角形．类型三、利用三边关系化简求值结合三边关系和绝对值的性质综合考察，注意符号问题。例．已知a、b、c为三角形的三边，则化简后的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形三边的关系得到，，由此化简绝对值再合并同类项即可得到答案．【详解】解：，，是三角形的三条边，，，，，，故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值和合并同类项，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．【变式训练1】．已知是的三条边，化简的结果为（

）A． B． C． D．0【答案】B【分析】根据三角形三边关系得到，，再去绝对值，合并同类项即可求解．三角形三边关系是任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边．【详解】解：∵a，b，c是的三条边长，∴，，∴．故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握三边关系化简绝对值．【变式训练2】．已知的三边长为，，，化简的结果是（

）A． B． C． D．以上都不对【答案】C【分析】根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判断式子的正负性，再去绝对值，化简即可得到答案．【详解】的三边长为，，，，即，根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，得，，原式，，．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，绝对值．掌握去绝对值的方法是解题的关键．【变式训练3】．已知a，b、c是的三条边长，化简的结果为（）A． B． C． D．0【答案】D【分析】根据三角形三边关系得到，，再去绝对值，合并同类项即可求解．【详解】解：∵a，b，c是的三条边长，∴，∴．故选：D．【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是根据三边关系化简绝对值．类型四、利用高求线段的长一般采用等积法较多。例．如图，在中，分别是边上的中线和高，若，，则线段的长为（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】本题考查了三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形可得，然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．【详解】解：是边上的中线，∴，，，，解得：，故选：B．【变式训练1】．如图，在中，是边上的中线，是边上的高，若，，则的长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可求得，再由面积公式即可求出的长度，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用．【详解】解：∵是边上的中线，∴，∵是边上的高，∴，∵，∴，故选：．【变式训练2】．如图，在中，D是AB的中点，E是上的一点，且，CD与相交于点，若的面积为，则的面积为（）A．32 B．36 C．40 D．44【答案】C【分析】本题考查三角形的面积、三角形中线的性质、等高模型等知识，连接，利用等高模型求出，的面积，再证明的面积=的面积，求出，的面积即可解决问题．【详解】解：如图，连接．∵，∴，∴，∵D是AB的中点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故选C．【变式训练3】．如图，在中，，，，，边上的高长是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查三角形的面积，灵活运用等面积法是关键；由三角形等面积法直接求斜边上的高．【详解】，，故选：D类型五、利用中线求周长或面积利用中线的两个大性质：等分三角形的面积；把三角形分的两个小三角形的周长的差等于边长的差。例．在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（

）A．47 B．43 C．38 D．25【答案】B【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据的周长为45，可得，再结合三角形中线的定义，即可求解．【详解】解：的周长为45，，是边上的中线，，，，，的周长是．故选：B．【变式训练1】．如图，是的中线，，若的周长比的周长大3，则的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本题主要考查了三角形中线的知识，理解三角形中线的定义是解题关键．根据三角形中线的定义可得，结合题意可得，进而获得答案．【详解】解：∵是的边上的中线，∴，∵的周长比的周长大3，∴，∴，∵，∴．故选：C．【变式训练2】．如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且，若，则（

）A．3 B．6 C．8 D．12【答案】D【分析】本题考查了三角形的面积，解题主要利用了三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形，理论依据是等底等高的三角形的面积相等，需熟记．根据，，，求得，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，从而求出，再根据计算即可得解．【详解】解：∵，，∴，∵D是的中点，∴，∵E是的中点，D是的中点，∴，∴，∴的面积为，故选：D．【变式训练3】．如图，已知、分别为的边、的中点，线段为的中线，连接，若四边形的面积为，且，则中边上高的长为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线，熟练掌握等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．连接，设，四边形的面积为：，求出，中边上高的长为，根据等底同高的三角形的面积相等以及三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接，设，中边上高的长为，、分别为的边、的中点，线段为的中线，，，，，四边形的面积为：，，的面积为，即的面积，解得：．故选：C．1．若三角形的两边长分别是3和4，则这个三角形的周长可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．14【答案】C【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键，根据三角形的三边关系可得不等式，再根据三角形的周长为，再由不等式的性质即可得出，进而可判断出正确的选项。【详解】解：设第三边的长为x，由题意得：，即，则三角形的周长为，则，∴7，8，9，14中，只有9符合题意故选：C.2．用长度均为奇数的三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长度分别为和，则第三根木棒的长度可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了三角形的三边关系以及奇数的定义，首先根据三角形的三边关系求得第三根木棒的取值范围，再进一步根据奇数这一条件分析，掌握三角形的三边关系是解题的关键．【详解】解：根据三角形的三边关系，得：第三根木棒，即第三根木棒，又∵第三根木棒的长度是奇数，∴第三根木棒的长度可以为，，，故选：D．3．已知的面积为24，是边上的高，若，，则的长为（）A．1 B．1或11 C．7 D．7或17【答案】D【分析】分在三角形内部和外部两种情况计算．【详解】解：当在三角形内部时，如图：

的面积为24，是边上的高，，，，；当在三角形外部时，如图：

的面积为24，是边上的高，，，，，，综上所述，的长为7或17，故选D．【点睛】本题考查了三角形的高，根据高的位置进行分类讨论是解题的关键．4．如图，，分别为的中线和高线，的面积为5，，则的长为（）A．5 B．3 C．4 D．6【答案】A【分析】首先利用中线的性质可以求出的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解．【详解】解：∵为的中线，∴，∵的面积为5，∴，∵为的高线，，∴，∴．故选：A．【点睛】题主要考查了三角形的面积，同时也利用了三角形的中线的性质，有一定的综合性．5．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（

）A．或 B． C． D．或【答案】C【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，解二元一次方程组和三角形三边关系的综合运用，设等腰三角形的腰长、底边长分别为，，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为，故应该列两个方程组求，解题的关键是分两种情况分析，求得解之后注意用三角形三边关系进行检验．【详解】设等腰三角形的腰长、底边长分别为，，由题意得或，解得或，∵，∴不能构成三角形，故等腰三角形的底边长为，故选：．6．如图，中，，，点是边上的