新高考数学二轮复习讲义专题15 数列的求和方法和不等式问题 原卷版

专题15数列的求和方法和不等式问题【考点专题】1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))2．分组求和法与并项求和法(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解．3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)常见的裂项技巧①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).②eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))). =3\*GB3③SKIPIF1<0=4\*GB3④eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).=5\*GB3⑤SKIPIF1<0=6\*GB3⑥SKIPIF1<0=7\*GB3⑦eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).=8\*GB3⑧logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))＝loga(n＋1)－logan(n>0)．4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．【核心题型】题型一：倒叙相加法求和1．（2022·河南驻马店·河南省驻马店高级中学校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2022 B．2023 C．4044 D．40462．（2020·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·河北·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0对一切SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.题型二：错位相减法求和4．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求实数SKIPIF1<0的值及SKIPIF1<0的通项公式；(2)求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．5．（2023·湖南·模拟预测）已知正项等比数列SKIPIF1<0的的前n项和为SKIPIF1<0，且满足：SKIPIF1<0，(1)求数列SKIPIF1<0的通项；(2)已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.6．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．题型三：裂项相消法求和7．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0是等差数列，并求数列SKIPIF1<0的通项公式．(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项的和SKIPIF1<0．8．（2023·全国·模拟预测）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)证明：数列SKIPIF1<0是等比数列；(2)令SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．9．（2023·山东菏泽·统考一模）已知首项不为0的等差数列SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为给定常数），SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所有可能取值由小到大组成的数列.(1)求SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，证明：SKIPIF1<0.题型四：分组求和法10．（2023·江西上饶·统考一模）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)证明：数列SKIPIF1<0是等差数列，并求SKIPIF1<0的通项公式；(2)若等比数列SKIPIF1<0满足，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.11．（2023·全国·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)证明：数列SKIPIF1<0是等差数列，并求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)记SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．12．（2023·山东潍坊·统考一模）已知数列SKIPIF1<0为等比数列，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值及数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.题型五：数列与不等式问题13．（2023·全国·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0前n项的和.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.14．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第SKIPIF1<0个图形包含SKIPIF1<0个小正方形．(1)求出SKIPIF1<0的表达式；(2)求证：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．15．（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，求使得SKIPIF1<0恒成立的m的最小整数.题型六：数列的其他求和方法16．（2022·广东佛山·统考三模）设各项非零的数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和记为SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值，证明数列SKIPIF1<0为等差数列并求SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．17．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)令SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.18．（2022·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，记SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，对任意自然数SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【高考必刷】一、单选题19．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）在正项数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0．整数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，则SKIPIF1<0的整数部分为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．（2022·陕西宝鸡·统考一模）SKIPIF1<0的整数部分是（

）A．3 B．4 C．5 D．622．（2022秋·甘肃武威·高三校考阶段练习）已知数列满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前2023项和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<023．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）设等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中在区间SKIPIF1<0中的项的个数，则数列SKIPIF1<0的前50项和SKIPIF1<0（

）A．109 B．111 C．114 D．11624．（2022·上海闵行·统考一模）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，那么（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题25．（2023·浙江·校联考模拟预测）数列SKIPIF1<0定义如下：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若对于任意SKIPIF1<0，数列的前SKIPIF1<0项已定义，则对于SKIPIF1<0，定义SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为其前n项和，则下列结论正确的是（

）A．数列SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0项为SKIPIF1<0 B．数列SKIPIF1<0的第2023项为SKIPIF1<0C．数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<026．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则下列正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0C．数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0D．SKIPIF1<027．（2023·山西·统考一模）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21SKIPIF1<0该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列SKIPIF1<0称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记SKIPIF1<0为该数列的前SKIPIF1<0项和，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0为偶数C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<028．（2022·全国·校联考模拟预测）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0三、填空题29．（2023·全国·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．30．（2023·贵州毕节·统考一模）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和________．31．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知数列SKIPIF1<0中：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的前8项和为______．32．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）在正项数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0.整数m满足SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前m项和为______.33．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）现取长度为2的线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径作半圆，该半圆的面积为SKIPIF1<0（图1），再取线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径作半圆．所得半圆的面积之和为SKIPIF1<0（图2），再取线段SKIPIF1<0的中点SK