新高考数学二轮复习讲义专题17 空间几何体的结构和内切 外切球问题 （原卷版）

专题17空间几何体的体积和内切外切球问题【考点专题】1．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形含义①有两个面互相平行且全等，其余各面都是平行四边形．②每相邻两个四边形的公共边都互相平行有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环3.三视图与直观图三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等直观图斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.4.多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l6.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3【方法技巧】1．多面体与球接、切问题求解策略(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．(2)补形法：“补形”成为一个球内接长方体，则利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．2．球的切、接问题的常用结论(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即eq\r(a2＋b2＋c2)＝2R.(2)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为x，则该几何体外接球半径R满足R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq\s\up16(2)＋x2.(3)外接球的球心在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心．(4)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体，此时2R＝a；二是球与正方体的十二条棱相切，此时2R＝eq\r(2)a；三是球外接于正方体，此时2R＝eq\r(3)a.【核心题型】题型一：利用三视图求直视图的体积问题1．（2023·四川·校联考一模）如图，网格纸上绘制的是一个四棱台的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．72．（2023·广西桂林·统考模拟预测）如图，已知某个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸（单位：mm），可得这个几何体的体积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023秋·广西河池·高三统考期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型二：利用三视图求直视图的面积问题4．（2022·四川雅安·统考一模）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则构成该多面体的面中最大的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．9 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·河南·校联考模拟预测）下图为某四面体的三视图，则该几何体的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2021秋·江西抚州·高三校考期末）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积SKIPIF1<0（

）A．26 B．36 C．48 D．35题型三：几何体的体积的求法7．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑的体积是1，则原长方体的体积是（

）A．8 B．6 C．4 D．38．（2023·湖北·统考模拟预测）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2023·江西南昌·统考一模）对食道和胃粘膜有刺激性的粉末或颗粒，或口感不好、易于挥发、在口腔中易被唾液分解，以及易吸入气管的药需要装入胶囊，既保护了药物药性不被破坏，也保护了消化器官和呼吸道．在数学探究课中某同学设计一个“胶囊形”的几何体，由一个圆柱和两个半球构成，已知圆柱的高是底面半径的4倍，若该几何体表面积为SKIPIF1<0，则它体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型四：几何体的表面积求法10．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为SKIPIF1<0，高为2，体积为SKIPIF1<0，则该“方斗”的侧面积为（

）A．24 B．12 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．（2023·全国·模拟预测）如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形ABFE和四边形DCFE是两个全等的等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是两个全等的正三角形.已知该多面体的棱BF与平面ABCD所成的角为45°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该屋顶的表面积为（

）A．100 B．SKIPIF1<0 C．200 D．SKIPIF1<012．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）如图，在四面体ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四面体ABCD外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型五：几何体的内切（外切）球问题13．（2023·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥SKIPIF1<0的五个顶点都在球面O上，底面ABCD是边长为4的正方形，平面SKIPIF1<0平面ABCD，且SKIPIF1<0，则球面O的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．（2023·河南焦作·统考模拟预测）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为等边三角形，若三棱柱SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2023·山西晋中·统考二模）我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童．若一刍童为正棱台，其上、下底面分别是边长为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的正方形，高为1，则该刍童的外接球的表面积为（

）A．16π B．18π C．20π D．25π【高考必刷】一、单选题16．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）某药厂制造一种药物胶囊，如图所示，胶囊的两端为半球形，半径SKIPIF1<0，中间可视为圆柱，若该种胶囊的表面积为SKIPIF1<0，则该种胶囊的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）已知三棱锥SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0是正三角形且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）在四棱台SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，则四棱锥SKIPIF1<0的外接球的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<019．（2023·湖南·模拟预测）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo，于1996年被收入世界文化遗产名录，现测量一个Trullo的屋顶，得到母线SA长为6米（其中S为圆锥顶点，O为圆锥底面圆心），C是母线SA的靠近点S的三等分点．从点A到点C绕圆锥顶侧面一周安装灯带，若灯带的最短长度为SKIPIF1<0米，则圆锥的SO的体积为（

）A．SKIPIF1<0立方米 B．SKIPIF1<0立方米 C．SKIPIF1<0立方米 D．SKIPIF1<0立方米20．（2023·福建福州·统考二模）已知三棱锥SKIPIF1<0的四个顶点都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．（2023·安徽·统考一模）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<022．（2023·江西赣州·统考一模）古希腊数学家帕普斯在《数学汇编》第三卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即SKIPIF1<0（V表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，S表示平面图形的面积，SKIPIF1<0表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.已知Rt△ACB中，SKIPIF1<0，则△ACB的重心G到AC的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．223．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）已知矩形ABCD中，AB=8，取AB、CD的中点E、F，沿直线EF进行翻折，使得二面角SKIPIF1<0的大小为120°，若翻折后A、B、C、D、E、F都在球SKIPIF1<0上，且球SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，则AD=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<024．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知三棱锥SKIPIF1<0的所有顶点都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，若球SKIPIF1<0的表面积等于SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<025．（2023春·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在很多人的童年中都少不了折纸的乐趣，而现如今传统意义上的手工折纸与数学联系在一起，并产生了许多需要缜密论证的折纸问题.有一张直角梯形纸片ABCD,ADSKIPIF1<0BC，∠A=90°，AD=1，BC=2，E为AB的中点，将△ADE和△BCE分别沿DE，CE折起，使得点A，B重合于P，构成三棱锥P-CDE，且三棱锥P-CDE的底面和侧面PCD均为直角三角形.若三棱锥P-CDE的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题26．（2023·广东江门·统考一模）勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德国机械工程专家，机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，设正四面体SKIPIF1<0的棱长为2，则下列说法正确的是（

）A．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为SKIPIF1<0B．勒洛四面体被平面SKIPIF1<0截得的截面面积是SKIPIF1<0C．勒洛四面体表面上交线SKIPIF1<0的长度为SKIPIF1<0D．勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于227．（2023·山东泰安·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为1，M，N分别为BC，CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论中正确的是（

）A．异面直线AC与BD所成的角为定值B．三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为SKIPIF1<028．（2023·福建泉州·统考三模）在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0内，直线SKIPIF1<0与该长方体的每一条棱所成的角都相等，且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0B．点SKIPIF1<0的轨迹长度为SKIPIF1<0C．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值D．SKIPIF1<0与该长方体的每个面所成的角都相等29．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0与正方体的内切球SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为球心）交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则下列说法正确的是（

）A．线段SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0B．过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点的平面截正方体SKIPIF1<0所得的截面面积为SKIPIF1<0C．三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0D．设SKIPIF1<0为球SKIPIF1<0上任意一点，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的范围是SKIPIF1<0D．平面SKIPIF1<0截正方体所得截面的面积为定值31．（2023·湖南株洲·统考一模）已知三棱锥SKIPIF1<0的所有棱长均相等，其外接球的球心为O．点E满足SKIPIF1<0，过点E作平行于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别与棱SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，则（

）A．当SKIPIF1<0时，平面SKIPIF1<0经过球心OB．四边形SKIPIF1<0的周长随SKIPIF1<0的变化而变化C．当SKIPIF1<0时，四棱锥SKIPIF1<0的体积取得最大值D．设四棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<032．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0为四边形SKIPIF1<0内一点（含边界），若SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0C．线段SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0三、填空题33．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意粮食满园、称心如意、十全十美，下图为一种婚庆升斗的规格，该升斗外形是一个正四棱台，上、下底边边长分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，侧棱长为SKIPIF1<0，忽略其壁厚，则该升斗的容积为_________SKIPIF1<0．34．（2023·辽宁·校联考一模）正四面体SKIPIF1<0的棱SKIPIF1<0中点为O，平面SKIPIF1<0截球SKIPIF1<0所得半径为SKIPIF1<0的圆与SKIPIF1<0相切，则球SKIPIF1<0的表面积为______.35．（2023·河南焦作·统考模拟预测）在正四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0