新高考数学二轮复习考点讲义第十二讲三角恒等变换（解析版）

第十二讲：简单的三角恒等变换【考点梳理】两角和与差的三角函数公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0二倍角公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03、辅助角公式SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0)4、降幂公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典型题型讲解】考点一：两角和与差公式【典例例题】例1．（2022·广东汕头·高三期末）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．-1 B．0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故选：B例2.（2022·广东湛江·一模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选:B.例3．（2022·广东汕头·一模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去)，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B【方法技巧与总结】1.三角函数式化简的方法：化简三角函数式常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.2.给值求值：解题的关键在于“变角”，把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来，求解时要注意对角的范围的讨论.【变式训练】1.已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.SKIPIF1<0，解方程得SKIPIF1<0.故答案为SKIPIF1<0.2.（2022·广东韶关·一模）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<03.（2022·全国·高考真题）若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由已知得：SKIPIF1<0,即：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故选：C4.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】易知SKIPIF1<0，利用角的范围和同角三角函数关系可求得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，分别在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况下，利用两角和差正弦公式求得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0的范围可确定最终结果.【详解】SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不合题意，舍去；当SKIPIF1<0，同理可求得SKIPIF1<0，符合题意.综上所述：SKIPIF1<0.故选：SKIPIF1<0.5.已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】根据题意得到SKIPIF1<0进而得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0.【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选A.考点二：二倍角公式【典例例题】例1.（2022·广东中山·高三期末）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例2．（2022·广东清远·高三期末）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________．答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0例3.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：A.【方法技巧与总结】三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角恒等变换的关键在于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系.【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】．B【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去)，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B2．（2022·广东韶关·二模）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】．C【详解】由题知SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：C．3.（2022·广东佛山·二模）已知sinSKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<04.（2022·广东肇庆·二模）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.5．（2022·广东深圳·二模）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：由题意可知：SKIPIF1<0.6.若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．2【答案】D【详解】SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，可解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：D7．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B.8．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故选：D9．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B．10．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故选：B【巩固练习】一、单选题1．已知角SKIPIF1<0与角SKIPIF1<0的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于x轴对称．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故选：A．2．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式平方相加得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：C3．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2或6【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选:A.4．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．－4 B．－2 C．2 D．4【答案】B【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：B．5．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故选：D6．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故选：C二、多选题7．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A错误，B正确．SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C错误，D正确．故选：BD.8．下列各式的值为SKIPIF1<0的是（

）.A．sinSKIPIF1<0B．sinSKIPIF1<0cosSKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【详解】A：SKIPIF1<0，符合题意；B：SKIPIF1<0，不符合题意；C：SKIPIF1<0，不符合题意；D：SKIPIF1<0，符合题意，故选：AD9．已知SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为锐角，则以下命题正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AB【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正确；因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故B正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；故C不正确；由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，故D不正确.故选：AB.三、填空题10．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________，SKIPIF1<0_________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．11．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.12．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____________.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<013．SKIPIF1<0__________.【答案】0【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：0．四、解答题14．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)解：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)解：因为SKIPIF1<0，SKI