新高考数学二轮复习考点讲义第十讲导数与函数的极值、最值（原卷版）

第十讲：导数与函数的极值、最值【考点梳理】1．极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的函数值SKIPIF1<0比它在点SKIPIF1<0附近其他点的函数值都小，SKIPIF1<0，而且在点SKIPIF1<0附近的左侧SKIPIF1<0，右侧SKIPIF1<0，就把SKIPIF1<0叫做函数SKIPIF1<0的极小值点，SKIPIF1<0叫做函数SKIPIF1<0的极小值．(2)极大值点与极大值若函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的函数值SKIPIF1<0比它在点SKIPIF1<0附近其他点的函数值都大，SKIPIF1<0，而且在点SKIPIF1<0附近的左侧SKIPIF1<0，右侧SKIPIF1<0，就把SKIPIF1<0叫做函数SKIPIF1<0的极大值点，SKIPIF1<0叫做函数SKIPIF1<0的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．特别提醒：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不一定是极值点（2）只有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0两侧单调性不同，SKIPIF1<0才是极值点.(3)求极值点，可以先求SKIPIF1<0的点，再列表判断单调性.2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程SKIPIF1<0的根（3）用方程SKIPIF1<0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由SKIPIF1<0在方程SKIPIF1<0的根左右的符号，来判断SKIPIF1<0在这个根处取极值的情况若SKIPIF1<0左正右负，则SKIPIF1<0为极大值；若SKIPIF1<0左负右正，则SKIPIF1<0为极小值；若SKIPIF1<0左右同号，则SKIPIF1<0无极值。3.最大值:一般地，设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，如果存在实数SKIPIF1<0满足：（1）对于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0;（2）存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0那么，称SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的最大值4.最小值:一般地，设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，如果存在实数SKIPIF1<0满足：（1）对于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0;（2）存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0那么，称SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的最小值【典型题型讲解】考点一：求函数的极值与极值点【典例例题】例1.（2021·广东汕头·高三期末）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求函数SKIPIF1<0的极值；（2）证明：有且只有两条直线与函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象都相切.例2.已知函数SKIPIF1<0……自然对数底数）.(1)当SKIPIF1<0时，求函数f（x）的单调区间；(2)当SKIPIF1<0时，（i）证明：SKIPIF1<0存在唯一的极值点：（ii）证明：SKIPIF1<0【方法技巧与总结】1．在求函数极值问题中，一定要检验方程SKIPIF1<0根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越SKIPIF1<0轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与SKIPIF1<0轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为常数）.(1)讨论函数SKIPIF1<0的极值点个数；(2)若SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.2.函数SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的极值；(2)证明：SKIPIF1<0有两个零点．【典型题型讲解】考点二：根据极值、极值点求参数【典例例题】例1．（2022·广东广东·一模）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值，求实数SKIPIF1<0的值；（2）当SKIPIF1<0时，若对SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的值．【方法技巧与总结】极值点是一个函数导数的零点问题，转化零点问题。【变式训练】1.已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上无极值，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.若函数SKIPIF1<0有两个不同的极值点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03.函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上无极值，则m＝______．4.已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)若SKIPIF1<0存在两个极小值点SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【典型题型讲解】考点三：不等式恒成立与存在性问题【典例例题】例1．已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的极值；(2)若对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求实数a的取值范围．【方法技巧与总结】在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．【变式训练】1.已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的单调递增区间；(2)若对任意SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围.2．（2021·广东佛山·一模）已知函数SKIPIF1<0的两个极值点为SKIPIF1<0，2，且在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的表达式；(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．3．已知函数SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)若对SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0恒成立，求a的取值范围.4．（2022·广东佛山·高三期末）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.(1)设SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作曲线SKIPIF1<0的切线（斜率存在），求切线的斜率；(2)证明：当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.【巩固练习】一、单选题1．已知SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一个极值点，则SKIPIF1<0的值是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的极小值点，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有最小值，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知函数SKIPIF1<0，a为实数，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在最小值，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题7．已知SKIPIF1<0．则下列说法正确的有（

）A．函数SKIPIF1<0有唯一零点SKIPIF1<0B．函数SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0C．函数SKIPIF1<0有极大值SKIPIF1<0D．若关于x的方程SKIPIF1<0有三个不同的根．则实数a的取值范围是SKIPIF1<08．设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极大值点，以下结论一定正确的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极大值点C．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点 D．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点9．（2022·全国·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增C．SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的极小值点 D．SKIPIF1<0仅有两个零点三、解答题10．已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个极值点，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0． 11．设函数SKIPIF1<0.(1)若曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与SKIPIF1<0轴平行，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值，求SKIPIF1<0的取值范围.12．已知函数SKIPIF1<0．（注：SKIPIF1<0是自然对数的底数）(1)当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)若SKIPIF1<0只有一个极值点，求实数a的取值范围；(3)若存在SKIPIF1<0，对与任意的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的最小值．13．（2022·广东·铁一中学高三期末）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0的最大值是0，求函数SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0处的切线方程；（2）若对于定义域内任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围.14．（2022·广东潮州·高三期末）已知函数SKIPIF1<0