吉林省白山市第七中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题理

白山七中2018—2019学年度下学期高二数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一选择题：(本大题共12小题,每小题5分，共60分,在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为()A．4B．16C．8D．22如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在(1,3)上f(x)是减函数C．在(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝4时，f(x)取极大值3．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是()A．甲B．乙C．丙 D．丁4．曲线y＝eq\f(1,3)x3－2在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(5,3)))处切线的倾斜角为()A．1B．eq\f(π,4)C.eq\f(5,4)π D．－eq\f(π,4)5用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是()A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个是偶数6．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A）24个（B）30个（C）40个（D）60个7．若n∈N且n<20，则(27－n)(28－n)……(34－n)等于（）（A）（B）（C）（D）8《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理 D．一次三段论9若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为()A．1B．eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2) D．eq\r(3)10设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝eq\f(2S,a＋b＋c)；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V，则r＝()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B．eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D．eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)11．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A.eq\f(4,27)，0B．0，eq\f(4,27)C．－eq\f(4,27)，0 D．0，－eq\f(4,27)12设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．复数eq\f(2＋i,1＋i)的共轭复数是________．14有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有种15若，则的展开式中常数项为16已知f(x)在x＝x0处的导数为4，则lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝三解答题17(10分)已知复数z＝(3＋bi)(1＋3i)(b∈R)是纯虚数．求b的值；(2)若ω＝eq\f(3＋bi,2＋i)，求复数ω的模|ω|.18(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.求a、b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．19用数学归纳法12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝eq\f(1,3)n(4n2－1)(n∈N*)．20(12分)如图，在直角坐标系QUOTE中，过坐标原点QUOTE作曲线QUOTE的切线，切点为QUOTE分别作QUOTE轴的垂线，垂足分别为A,B，求阴影部分的面积21(12分)用长为32cm，宽为20cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？22．(12分)已知函数f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a.(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；围．

高二期中参考答案1．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为()A．4B．16C．8D．2解析：因为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2x＋Δx2－2x2,Δx)＝4x＋2Δx，所以f′(x)＝lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))(4x＋2Δx)＝4x.则点A处的切线斜率k＝f′(2)＝8.答案：C)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在(1,3)上f(x)是减函数C．在(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝4时，f(x)取极大值[答案]C3．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁[答案]C[解析]若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．4．(2015·漳州模拟)曲线y＝x2在点M(eq\f(1,2)，eq\f(1,4))的切线的倾斜角的大小是()A．30° B．45°C．60° D．90°[答案]B[解析]y′＝2x，∴当x＝eq\f(1,2)时，y′＝1，得切线的斜率为1，所以k＝1；∴1＝tanα，∵0°≤α<180°，∴α＝45°，故选B.5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是()A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个是偶数[答案]B[解析]“至少有一个”的对立面是“一个都没有”．6．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（A）（A）24个（B）30个（C）40个（D）60个7．若n∈N且n<20，则(27－n)(28－n)……(34－n)等于（D）（A）（B）（C）（D）8《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()A．类比推理 B．归纳推理C．演绎推理 D．一次三段论[答案]C[解析]这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．9．(2015·吉林实验中学高二期中)若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为()A．1 B．eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2) D．eq\r(3)[答案]B[解析]过点P作y＝x－2的平行直线，当与曲线y＝x2－lnx相切时，P到直线y＝x－2的距离最小，设P(x0，xeq\o\al(2,0)－lnx0)，则有k＝y′|x＝x0＝2x0－eq\f(1,x0).∴2x0－eq\f(1,x0)＝1，∴x0＝1或x0＝－eq\f(1,2)(舍去)，∴y0＝1，∴P(1,1)，∴d＝eq\f(|1－1－2|,\r(1＋1))＝eq\r(2).故选B.10．(2015·海南文昌中学高二期中)设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝eq\f(2S,a＋b＋c)；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V，则r＝()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B．eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D．eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)[答案]C[解析]将△ABC的三条边长a、b、c类比到四面体P－ABC的四个面面积S1、S2、S3、S4，将三角形面积公式中系数eq\f(1,2)，类比到三棱锥体积公式中系数eq\f(1,3)，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，∴V＝eq\f(1,3)S1r＋eq\f(1,3)S2r＋eq\f(1,3)S3r＋eq\f(1,3)S4r，∴r＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).11．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A.eq\f(4,27)，0 B．0，eq\f(4,27)C．－eq\f(4,27)，0 D．0，－eq\f(4,27)[答案]A[解析]f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2p－q＝0，,1－p－q＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2，,q＝－1，))∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝eq\f(1,3)或x＝1，易得当x＝eq\f(1,3)时f(x)取极大值eq\f(4,27).当x＝1时f(x)取极小值0.12．(2015·吉林市实验中学高二期中)设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案]D[分析]由x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0可确定F(x)＝f(x)g(x)在x<0时的单调性，再由f(x)与g(x)的奇偶性可得出x>0时F(x)的单调性．再结合g(－3)＝0，可得结论．[解析]设F(x)＝f(x)g(x)，当x<0时，∵F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0.∴F(x)当x<0时为增函数．∵F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F(x)．故F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上亦为增函数．已知g(－3)＝0，必有F(－3)＝F(3)＝0.构造如图的F(x)的图象，可知F(x)<0的解集为x∈(－∞，－3)∪(0,3)．故选D.填空题13．复数eq\f(2＋i,1＋i)的共轭复数是eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)i14有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有75种15若，则的展开式中常数项为672．16已知f(x)在x＝x0处的导数为4，则lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝_____8___解答题17(10分)已知复数z＝(3＋bi)(1＋3i)(b∈R)是纯虚数．(1)求b的值；(2)若ω＝eq\f(3＋bi,2＋i)，求复数ω的模|ω|.解析：(1)z＝(3＋bi)(1＋3i)＝(3－3b)＋(9＋b)i.∵z是纯虚数，∴3－3b＝0，且9＋b≠0，∴b＝1.5分(2)ω＝eq\f(3＋i,2＋i)＝eq\f(3＋i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(7－i,5)＝eq\f(7,5)－eq\f(1,5)i，8分∴|ω|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))2)＝eq\r(2).10分18(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.(1)求a、b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[解析](1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，∴f(1)＝2.∴a＋b＝1.①2分又函数图象在点P处的切线斜率为8，∴f′(1)＝8，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴2a＋b＝5.②4分解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.6分(2)由(1)得f′(x)＝3x2＋8x－3，令f′(x)>0，可得x<－3或x>eq\f(1,3)；8分令f′(x)<0，可得－3<x<eq\f(1,3).10分∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，(eq\f(1,3)，＋∞)，单调减区间为(－3，eq\f(1,3))．1219(12分)用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝eq\f(1,3)n(4n2－1)(n∈N*)．19．证明：(1)当n＝1时，左边＝12，右边＝eq\f(1,3)×1×(4×1－1)＝1，左边＝右边，等式成立．3分(2)假设当n＝k时，等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝eq\f(1,3)k(4k2－1)，5分则当n＝k＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2＝eq\f(1,3)k(4k2－1)＋(2k＋1)2＝eq\f(1,3)k(2k＋1)(2k－1)＋(2k＋1)2＝eq\f(1,3)(2k＋1)[k(2k－1)＋3(2k＋1)]8分＝eq\f(1,3)(2k＋1)(2k2＋5k＋3)＝eq\f(1,3)(2k＋1)(k＋1)(2k＋3)10分＝eq\f(1,3)(k＋1)(4k2＋8k＋3)＝eq\f(1,3)(k＋1)[4(k＋1)2－1]，即当n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式成立．12分20(12分)如图，在直角坐标系QUOTE中，过坐标原点QUOTE作曲线QUOTE的切线，切点为QUOTE分别作QUOTE轴的垂线，垂足分别为A,B，求阴影部分的面积设，则4分解得，故点的坐标为，6分，12分21．从长为32cm，宽为20cm的矩形薄铁皮的四角剪去四个相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解析：设剪去的正方形的边长为xcm，则箱子的容积V(x)＝x(32－2x)(20－2x)(0<x<10)＝4x3－104x2＋640x，3分V′(x)＝12x2－208x＋6406分＝4(3x2－52x＋160)＝4(3x－40)(x－4)．9分令V′(x)＝0，得x1＝eq\f(40,3)(舍去)，x2＝4.10分当0<x<4时，V′(x)>0，当4<x<10时，V′(x)<0，所以V(x)在(0