2025年高考二轮复习数学题型专项练8　中低档大题规范练（B）

题型专项练8中低档大题规范练(B)(分值:43分)学生用书P2291.(13分)已知向量m=(cosx,sinx),n=(cosx,sinx23cosx),x∈R.设f(x)=m·n.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)在△ABC中,若f(∠BAC)=1,AB=2,BC=6,∠BAC的平分线交BC于点D,求AD的长.解(1)f(x)=m·n=cos2xsinx(sinx23cosx)=cos2xsin2x+23sinxcosx=3sin2x+cos2x=232sin2x+12cos2x=2sin2x+π6,令2kππ2<2x+π6<2kπ+π2,k∈Z,则kππ3<x<kπ+π6,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为kππ3,kπ+π6,(2)由(1)得,f(x)=2sin2x+π6,故f(∠BAC)=2sin2∠BAC+π6=1,得sin2∠BAC+π6=12.因为0<∠BAC<π,所以π6<2∠BAC+π6<13π6,所以2∠BAC+π6=5π6,所以∠BAC=π3,在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC22AB·AC·cos∠BAC,即6=4+AC22AC,解得AC=3+1,因为∠BAC的平分线交BC于点D,所以S△BAD+S△CAD=S△ABC,即12AB·AD·sinπ6+12AC·AD·sinπ2.(15分)(2024四川广安模拟)已知函数f(x)=lnx2ax.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=1x2a=1当a≤0时,f'(x)=1-2axx>0,所以f(x)在(0,当a>0时,令f'(x)=1-2axx=0,解得x=12a,当x∈0,12a时,当x∈12a,+∞时,f'(x)<0.所以f(x)在0,12a内单调递增,在12a,+∞上单调递减.综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在0,12a内单调递增,在12a,+∞上单调递减.(2)若f(x)≤0恒成立,则lnx2ax≤0恒成立,又x>0,所以2a≥lnxx恒成立.令g(x)=lnxx,只需2a≥g(x)max.又g'(x)=1-lnxx2,令g'当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(e)=1e,所以2a≥1e,解得a≥12e,即实数a的取值范围是12e,3.(15分)(2024河北石家庄模拟)如图,在五棱锥SABCDE中,平面SAE⊥平面AED,AE⊥ED,SE⊥AD.(1)证明:SE⊥平面AED;(2)若四边形ABCD为矩形,且SE=AB=1,AD=3,BN=2NC.当直线DN与平面SAD所成的角最小时,求三棱锥DSAE的体积.(1)证明∵平面SAE⊥平面AED,平面SAE∩平面AED=AE,DE⊂平面AED,DE⊥EA,∴DE⊥平面SAE.又SE⊂平面SAE,∴DE⊥SE,又∵SE⊥AD,ED∩AD=D,AD,DE⊂平面AED,∴SE⊥平面AED.(2)解以E为原点,EA,ED,ES所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设∠EAD=θ,θ∈0,π2,则A(3cosθ,0,0),D(0,3sinθ,0),S(0,0,1),DA=(3cosθ,3sinθ,0),SA=(3cosθ,0,1),SD=(0,3sinθ,1),设平面SAD的法向量为n=(x,y,z),则n取z=3sinθcosθ,得n=(sinθ,cosθ,3sinθcosθ).∵∠ADC=π2,∠EDA+θ=π∴CD与y轴夹角也为θ,则DC=(sinθ,cosθ,0),又CN=13CB=13DA=∴DN=DC+CN=(sinθ+cosθ,cosθsin∴cos<DN,n>=DN·n|DN|