2021年中考数学重难点题型专项训练：圆综合（解析版）

专题09：圆综合一备战2021年中考数学重难点题型专题训练之2020中考真题重组

1.（2020•黑龙江齐齐哈尔市•中考真题）如图，AB为。。的直径，C、。为。。上的两个点，疑=CD=

DB，连接4D,过点。作。交NC的延长线于点£.

（2）若直径N8=6,求的长.

【答案】（1）见解析；（2）3G

【分析】（1）连接8,根据已知条件得到/3。。=；乂180。=60。，根据等腰三角形的性质得到

DAB=30°,得到/瓦必=60。，求得ODLDE,于是得到结论；

（2）连接2。，根据圆周角定理得到//。8=90。，解直角三角形即可得到结论.

【解答】（1）证明：连接O。，

,­■AC=CD=BD，

1

，Z50£>=-xl80°=60°,

3

'・•CD=DB，

1,

・•・ZEAD=ADAB=-ZBOD=30°,

2

9

：OA=ODf

：.NADO=/DAB=30。,

9：DELAC,

：.NE=9。。,

ZEAD+ZEDA=90°,

：.ZEDA=60°f

：./EDO=ZEDA+ZADO=90°,

：.ODLDE,

・・・。£是。。的切线；

(2)解：连接5D,

・・・45为。。的直径，

・•・NADB=90。,

VZDAB=30°,45=6,

1

：.BD=—AB=3,

2

••AD=->/62-32=3-\/3•

【点评】本题考查了切线的证明，及线段长度的计算，熟知圆的性质及切线的证明方法，以及含30。角的直

角三角形的特点是解题的关键.

2.（2020・山东淄博市•中考真题）如图，AABC内接于。O,AD平分NBAC交BC边于点E,交。O于点

D,过点A作AFLBC于点F,设。O的半径为R,AF=h.

（1）过点D作直线MN〃:BC,求证：MN是。0的切线;

（2）求证：AB«AC=2R«h；

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2cosa

【解答】解：（1）证明：如图1,连接OD,

：AD平分/BAC,.\ZBAD=ZCAD,二丽=C。

又；OD是半径，.-.OD±BC,

VMN//BC,；.OD_LMN,；.MN是。O的切线；

：AH是直径，.,.ZABH=90°=ZAFC,

又：/AHB=NACF,

AACF^AAHB,

・AC-AF

'•屈一花

图3

(3)如图3,过点D作DQLAB于Q,DP±AC,交AC延长线于P,连接CD,

VZBAC=2a,AD平分NBAC,

・・・NBAD=NCAD=a,=而，ABD=CD,

•・・/BAD=NCAD,DQ±AB,DP±AC,.\DQ=DP,

ARtADQB^RtADPC(HL),ABQ=CP,

VDQ=DP,AD=AD,

ARtADQA^RtADPA(HL),.,.AQ=AP,

AB+AC=AQ+BQ+AC=2AQ,

2,。

AQAQA8+ZC

VcosZBAD=^,AAD=——AQ=2cosa.

ADcosaAD

cosa

(1)连接OD,由角平分线的性质可得NBAD=NCAD,可得标=而，由垂径定理可得ODLBC,可证

4cAF

OD±MN,可得结论；(2)连接AO并延长交。。于H,通过证明△ACFS/\AHB,可得——=—，可

AHAB

得结论G)由‘HL”可证Rt^DQB也RtZ\DPC,RtADQA^RtADPA,可得BQ=CP,AQ=AP,可得AB+AC

=2AQ,由锐角三角函数可得AD=」£,即可求解.

cosa

【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三

角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键.

3.(2020・四川雅安市•中考真题)如图，四边形/BCD内接于圆，ZABC=60。,对角线平分

ZADC.

(1)求证：A/BC是等边三角形；

(2)过点2作BEHCD交DA的延长线于点E,若AD=2,DC=3,求ABDE的面积.

E

D

【答案】（1）见解析；（2）生m；

4

【分析】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；

（2）过点A作AELCD,垂足为点E,过点B作BFJ_AC,垂足为点F.根据S四边取ABCD=SAABC+SMCD，

分别求出△ABC,4ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得4EAB0ZiDCB（AAS）,

即可求得4BDE的面积=四边形ABCD的面积=空8.

【解答】解：(1)证明：・・•四边形ABCD内接于。O.

.•.ZABC+ZADC=180°,

ZABC=60°,

.\ZADC=120o,

VDB平分NADC,

・•・ZADB=ZCDB=60°,

AZACB=ZADB=60°,ZBAC=ZCDB=60°,

・•・ZABC=ZBCA=ZBAC,

/.△ABC是等边三角形；

E

(2)过点A作AM,CD,垂足为点M,过点B作BNJ_AC,垂足为点N.

I.ZAMD=90°

VZADC=120°,

・•・ZADM=60°,

ZDAM=30°,

DM-yAD=1,AM=SJAD--DM-=布)，

VCD=3,

；.CM=CD+DE=1+3=4,

SAACD=vCD-AM=gx3x有=巫,

222

在RtAAMC中,ZAMD=90°,

AC=YIAM2+CM2=V19-

,/△ABC是等边三角形，

.".AB=BC=AC=V19，

:.BN=®BC=^~，

22

.Sx叵U

224

四边形ABCD的面积=吆8+m=生叵，

424

：BE〃CD,

ZE+ZADC=180°,

ZADC=120°,

；./E=60。，

ZE=BDC,

四边形ABCD内接于OO,

；.NEAB=/BCD,

在AEAB和ADCB中，

NE=NBDC

<ZEAB=ZDCB,

AB=BC

.".△EAB^ADCB(AAS),

.".△BDE的面积=四边形ABCD的面积=生叵.

4

【点评】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解

题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

4.(2020•黑龙江大庆市•中考真题)如图，在A48c中，AB=AC,以为直径的。。交5C于点。，

连接Z。，过点。作垂足为AB、的延长线交于点N.

(1)求证：上W是。。的切线；

(2)求证：DN2=BN\BN+AC).

3

(3)若BC=6,cosC=|,求。N的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)DN^—

7

【分析】

(1)连接OD,根据等腰三角形的性质和圆的相关性质证得OD为AABC的中位线，即可求证；

(2)根据题中条件证明△BNDs/\DNA,再根据AB=AC,进行等量代换即可证明；

(3)先根据等腰三角形的性质、解直角三角形和勾股定理求出AB、BD、AD的长度，再利用相似三角形

的性质即可求解.

【解答】

(1)如图，连接OD,

：AB为。。的直径，

I.ZADB=90°,

VAB=AC,

・・・BD=CD,点D为BC的中点，

又・.,AO=BO,

AOD为4ABC的中位线,

AOD//AC,

•・・DMLAC,

AOD±MN,

故跖V是。。的切线.

(2)VZADB=90°,

Zl+Z3=90°,

•：DMLAC,

.'.Z3+Z5=90°,Z2+Z3=90°,

AZ2=Z5,

VAB=AC,AD±BC,

AZ4=Z5,

VZ1=Z2,

AZ1=Z4,

ZN=ZN,

.,.△BND^ADNA,

.BNDN

・♦而一南，

VAB=AC,

.BN_DNDN

''1DN~BN+AB~BN+AC

:,DN?=BN(BN+AC)

A

(3)U：BC=6,

・・・BD=CD=3,

3

*.*cosC=—

5

CD

・・・AC==5,

cosC

・・・AB=5,

由勾股定理可得AD=4,,

由(2)可得，ABND^ADNA,

.BN_DN_BD_3

3

：.BD=-DN,

4

..DN_3

,'AN~4,

---------=—,即<34，

AB+BN45+-DN

4

解得：DN="

7

【点评】本题考查圆的切线的判定、相似三角形的性质与判定和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相

关性质和判定并灵活应用.

5.（2020•广西中考真题）如图，在中，以/C为直径的。。交CE于点。，连接幺。,且

NDAE=ZACE,连接OD并延长交AE的延长线于点P,PB与QO相切于点B.

B

AEP

(1)求证：4P是。。的切线：

(2)连接4g交0P于点尸，求证：YFAD:X/DAE；

1Ap

(3)若tan/OAF=—,求——的值.

2AP

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)1二1

2

【分析】(1)证明0414尸即可得到结论；

(2)连接0B,由切线长定理可得PA=PB,根据SSS即可证明V08PV/04P,进一步得到

ZFAD=ZDAE,ZAFD=ZADE=90°»从而可证明VK4。：X/DAE；

(3)由加〃=g可设===得到4P=2氐，根据VE4。：MDAEW

tanZACE=tanZFAD列式豆=2L=/一1卜,最后进行求解即可.

ACAF2x

【解答】(1)证明：•••4C为直径

NADC=90°,

:.ZACE+ZCAD^90°,

又NCU£+ND1C=9O°

OA±AP,

为。。的切线

(2)连。民・••尸4尸8为圆的切线

PA=PB,

又OB=OA,OP=OP

:VOBP^/OAP(SSS)

ZBOD=ZDOA,

AD弧弧

NFAD=NACE

OF±AB,

又QNACE=NDAE,

ZFAD=ZDAE,ZAFD=ZADE=90°

:VFAD：VDAE(AA)

(3)在放△0E4中，tanZOAF=^

设：OF=x,AF=2x,OA=&,

故AP=2OA=2/x

QDF=0D-0F=0A-0F=(4^-，x

且YFAD:MDAE

NFAD=NDAE=NACE,

tanAACE=tan/FAD,

明AE_DF

ACAF2x

2£=a_1).底=(5-石卜

4E_（5_布卜

"AP~2氐-2

【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、

三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解决问

题的关键.

6.（2020•辽宁营口市•中考真题）如图，△N2C中，/4CB=90。,2。为△/8C的角平分线，以点。为圆

心，0c为半径作。。与线段/C交于点D

（1）求证：48为。。的切线；

3

（2）若taib4=—，AD=2,求5。的长.

4

【答案】（1）见解析；（2）36

【分析】（1）过。作于X,根据角平分线的性质得到O8=OC,根据切线的判定定理即可得到结

论；

（2）设。。的半径为3x,则O〃=8=OC=3x,再解直角三角形即可得到结论.

【解答】（1）证明：过。作于X,

・：NACB=90。,

：.OCLBC,

为△48C的角平分线，OHLAB,

：.OH=OC,

即。〃为。。的半径，

；OH_LAB,

为。。的切线；

(2)解：设。。的半径为3x,则O〃=OD=OC=3x,

3

在RtZ\/O〃中，'：tanA=-,

4

,OH3

••--=—,

AH4

313

----=一,

AH4

.\AH=4x,

・・・40=yJOH2-^-AH2=7(3X)2+(4X)2=5X，

\*AD=2,

.\AO=OD+AD=3x+2,

3x+2=5x,

•»x=1,

・・・CM=3x+2=5,OH=OD=OC=3x=3,

AC=OA+OC=5+3=8,

在RtZUBC中，VtarU=^,

3

：.BC=AC<anA=8x-=6,

4

0B=y/0C2+BC2=A/32+62=3A/5.

【点评】本题考查切线的判定、解直角三角形等内容，熟练运用圆中的性质定理是解题的关键.

7.(2020•江苏宿迁市•中考真题)如图，在aABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的。O经过点A,

且/CAD=NABC.

(1)请判断直线AC是否是。。的切线，并说明理由；

(2)若CD=2,CA=4,求弦AB的长.

A

【答案】(1)见解析；(2)超5

5

【分析】(1)如图，连接0A,由圆周角定理可得/BAD=9()o=/OAB+NOAD,由等腰三角形的性质可得

ZOAB=ZCAD=ZABC,可得NOAC=90。，可得结论；

(2)由勾股定理可求OA=OD=3,由面积法可求AE的长，由勾股定理可求AB的长.

【解答】(1)直线AC是。0的切线，

理由如下：如图，连接0A,

：BD为。0的直径，

・・・ZBAD=90°=ZOAB+ZOAD,

VOA=OB,

AZOAB=ZABC,

又・.,NCAD=NABC,

・•・ZOAB=ZCAD=ZABC,

ZOAD+ZCAD=90°=ZOAC,

Z.AC1OA,

又〈OA是半径，

・,・直线AC是。O的切线；

(2)过点A作AE_LBD于E,

VOC2=AC2+AO2,

A(OA+2)2=16+OA2,

AOA=3,

.\0C=5,BC=8,

11

SAOAC=-OA-AC=-OC-AE,

3x412

；.AE=

rT

【点评】本题考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，求圆的半径是本题的关键.

8.2020•四川凉山彝族自治州•中考真题）如图,AB是半圆AOB的直径,C是半圆上的一点,AD平分NA4c

交半圆于点D,过点D作。HL/C与AC的延长线交于点H.

（1）求证：DH是半圆的切线；

⑵若DH=2亚,sinZBAC^—，求半圆的直径.

3

【答案】（1）见详解；（2）12

【分析】（1）连接OD,先证明OD〃AH,然后根据DH_LAH,可得OD_LDH,即可证明；

（2）过点O作OELAH于E,由（1）知，四边形ODHE是矩形，可得OE=DH=26，

在RtZXAOE中，根据sin/BAC=好，sinZBAC=—,可得AO=———=275x^=6,即可求出

3OAsinZBACJ5

直径.

【解答】（1）连接OD,

HA

I

D

AOB

VOA=OD,

/.ZOAD=ZODA,

VAD平分ZB/C,

/.ZCAD=ZOAD,

ZCAD=ZODA,

；.OD〃AH,

VDH±AH,

AODIDH,

；.DH是半圆的切线；

（2）过点O作OELAH于E,由（1）知，四边形ODHE是矩形,

.•.OE=DH=2B

在RtAAOE中,

VsinBAC=,sin/BAC=,

3OA

OE3

••AO=——-------=2.5rx-/==6,

sinABACV5

；.AB=2OA=12,

...半圆的直径长为12.

【点评】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，矩形的性质和判定，解直角三角形，灵活运用所

学知识点是解题关键.

9.（2020•内蒙古呼伦贝尔市•中考真题）如图，。。是A/BC的外接圆，直线EG与。。相切于点

E,EG//BC,连接4E交3C于点Z）.

（1）求证：/£平分N8/C；

（2）若N48C的平分线8尸交/。于点尸，且。E=3,DF=2,求/尸的长.

【答案】（1）见解析；（2）—

【分析】（1）连接OE,利用垂径定理、圆周角、弧、弦的关系证得结论；

BEDE

（2）根据题意证明BE=EF,得到BE的长，再证明△EBDsaEAB得到一=——，求出AE,从而得到

EABE

AF.

【解答】解：（1）连接OE.

\•直线EG与。O相切于E,

.".OE1EG.

；EG〃BC,

；.OE_LBC,

•■BE=CE^

ZBAE=ZCAE.

；.AE平分NBAC；

（2）如图，：AE平分/BAC,

AZ1=Z4,

VZ1=Z5,

・・・Z4=Z5,

VBF平分NABC,

/.Z2=Z3,

VZ6=Z3+Z4=Z2+Z5,即N6=NEBF,

・・・EB=EF,

VDE=3,DF=2,

・・・BE=EF=DE+DF=5,

VZ5=Z4,ZBED=ZAEB,

.,.△EBD^AEAB,

.BEDE53

・・---=----，即Rn----=——，

EABEEA5

.*.AE=—,

3

2510

AF=AE-EF=--5=—.

【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆周角、弧、弦的关系，切线的性质，相似三角形的判定和

性质，掌握定理并熟练运用是解题必备的能力.

10.2020•辽宁鞍山市•中考真题）如图，4s是。。的直径，点C,点。在。。上，AC=CD，AD与BC

相交于点E,/尸与。。相切于点/,与5c延长线相交于点R

(1)求证：AE=AF.

3

⑵若EF=12,smZABF=~,求O。的半径.

5

【答案】(1)见解析；(2)—

3

【分析】⑴根据圆周角定理得到/ACB=90。，根据切线性质得到NBAF=90。，由)己=①得出/CAD=

ZCDA,结合NCDA=/ABC,证明/CAF=NCAD,从而证明△ACFgAACE,即可得到结论；

(2)根据EF求出CE,结合sinZABF=sinZCAD求出AE,再利用勾股定理算出AC,最后根据sinZABF=

AT

——求出AB即可得到半径.

AB

【解答】解：(1);AB为圆O直径，

・•・NACB=90。，

・・・AF与圆O相切，

・・・ZBAF=90°=ZCAF+ZCAB,

・•・NCBA+NCAB=90。，

AC=CD'

・・・AC=CD,

・•・ZCAD=ZCDA,

又・・・NCDA=NCBA,

・•・NCDA+NCAB=NCAD+NCAB=90。，

・・・NCAF=NCAD,又AC=AC,ZACF=ZACE=90°,

AAACF^AACE(ASA),

・・・AE=AF；

(2)VZABF=ZADC=ZCAD,

CE3

,sinZABF=sinZCAD=—="

AE5

VAACF^AACE,EF=12,

，CE=CF=6,

63

•*----——，解得：AE=10,

AE5

.•.AC=JN£2_C£2=8,

...圆O的半径为一.

3

【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正弦的定义，知识点较多，有

一定难度，解题时要注意多个知识点相结合.

11.（2020•湖南永州市•中考真题）如图，A/BC内接于是O。的直径，8。与。。相切于点3,

交ZC的延长线于点。，£为的中点，连接CE.

（1）求证：CE是。。的切线.

（2）己知AD=3jS,CD=5，求。，E两点之间的距离.

9

【答案】（1）见解析；（2）—

2

【分析】（1）连接OC,先推出N8C0=9O°,然后根据CE是及A5C。斜边AD上的中线，得出

CE=BE,从而可得NEBC=NECB,根据BD与。。相切，得到NO5C+NESC=90。，

可得NOC8+NEC5=90。，即NOCE=90。，即可证明CE是。。的切线；

(2)连接0E,先证明MCDSAAo,可得—=一,可求出AD,根据。£是△48。的中位线，即

4ADBD

可求出0E.

【解答】(1)证明：连接。C,

OC=OB,

：.ZOBC=ZOCB,

：48是。。的直径，

ZACB=90°,则NBCD=90°,

CE是RtABCD斜边8。上的中线，

CE=BE,

：.ZEBC=ZECB,

YBD与。。相切，

ZABD=90°,即ZOBC+ZEBC=90°,

：.ZOCB+NECB=90°,即NOCE=90°,

：.OCLCE,

；.CE是O。的切线；

(2)连接OE,

D

,:ND=ND,/BCD=NABD,

：.MiCDsMBD,

BDCDi—r.

——=----，即n（3J^）=5AD，

ADBD''

AD=9,

是的中位线，

19

：.0E=-AD=~.

22

【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定进而性质，三角形中位线定理，直角三角形斜

边上的中线等于斜边上的一半，掌握知识点，结合现有条件灵活运用是解题关键.

12.（2020・西藏中考真题）如图所示，AB是。。的直径，AD和BC分别切。。于A,B两点，CD与。O

有公共点E,且AD=DE.

（1）求证：CD是。O的切线；

（2）若AB=12,BC=4,求AD的长.

【答案】（1）见解析；（2）9

【分析】（1）连接OD,OE,根据切线的性质得到/DAB=90。，根据全等三角形的性质得到/OED=/OAD

=90°,于是得到CD是。O的切线；

（2）过C作CHLAD于H,根据已知条件推出四边形ABCH是矩形，求得CH=AB=12,AH=BC=4,

根据切线的性质得到AD=DE,CE=BC,求得DH=AD-BC=AD-4,CD=AD+4,根据勾股定理即可

得到结论.

【解答】（1）证明：连接OD,0E,

•；AD切。0于A点，AB是。0的直径，

ZDAB=90°,

：AD=DE,OA=OE,OD=OD,

•.•△ADO丝AEDO(SSS),

.,.ZOED=ZOAD=90°,

；.CD是。O的切线；

(2)过C作CH_LAD于H,

：AB是。O的直径，AD和BC分别切。。于A,B两点,

...NDAB=/ABC=NCHA=90。，

二四边形ABCH是矩形，

.*.CH=AB=12,AH=BC=4,

：CD是。。的切线，

；.AD=DE,CE=BC,

；.DH=AD-BC=AD-4,CD=AD+4,

VCH2+DH2=CD2,

：.n2+(AD-4)2=(AD+4)2,

；.AD=9.

【点评】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，正确

的作出辅助线是解题的关键.

13.（2020•湖南郴州市•中考真题）如图，A/BC内接于。O,45是。。的直径.直线/与。。相切于点

A,在/上取一点。使得£%=£>C.线段。C,48的延长线交于点E.

（1）求证：直线。。是。。的切线；

（2）若BC=2,ZCAB=30°,求阴影部分的面积（结果保留乃）.

【答案】（1）见解析；（2）2百—2乃

3

【分析】（1）连接。C,根据CM=OC,D/=OC可得NO/C=NOC4,NDAC=NDCA,再根据直线/与

00相切于点/可得/。/。=90。，进而可得NOCO=90。，由此可证得直线。C是。。的切线；

2

（2）先证明△80。为等边三角形，可得OB=OC=8C=2,根据扇形面积公式可求得S扇形皿c=§»,再利

用含30。的直角三角形的性质及勾股定理可求得C£=2百，由此可求得S,OE=2百，最后便可得

S阴影-S^COE_S扇形50c=2j3--

【解答】（1）证明：连接OC,

•：OA=OCf

：.ZOAC=ZOCAf

'：DA=DC,

：.ZDAC=NDCA,

•・•直线/与。。相切于点4,

・•・ZDAO=90°,

：.ZDAC+ZOAC=90°f

：.ZDCA+ZOCA=90°f

：.NDCV=90。,

C.OCLDC,

又•・•点。在。。上，

・・・直线。。是。。的切线;

(2)解：VZC45=30°,

：.ZCOB=2ZCAB=60°,

又，：OB=OC,

•••△BOC为等边三角形，

：.OB=OC=BC=2,

._60-^-22_2

,,扇形8"――kF"'

VZOC£=90°,NCO5=60。，

・•・ZE=90°~NCO5=30。，

・・・O£=2OC=4,

・••在RSCOE中，CE=y/0E2-OC2=273，

:・S“。E=；OCOE

二—x2x2百

2

=2^/3,

S阴影=S^COE_S扇形50c=2一飞兀

：.阴影部分的面积为2百-2万.

3

【点评】本题考查了切线的性质与判定、扇形的面积公式以及含30。的直角三角形的性质，勾股定理，熟练

掌握切线的性质与判定、扇形的面积公式是解决本题的关键.

14.（2020・贵州黔南布依族苗族自治州•中考真题）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的

圆”，请研究如下美丽的圆，如图，RM48C中，N8C4=90°,ZC=3,8C=4,点O在线段上，且

3

。。甘以。为圆心.。。为半径的。。交线段/。于点D,交线段/。的延长线于点E.

E

(1)求证：48是。O的切线;

AJJDE

(2)研究过短中，小明同学发现——=——,回答小明同学发现的结论是否正确？如果正确，给出证明;

DEAE

如果不正确，说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)结论成立，见解析

3

【分析】(1)过点。作的于H,由勾股定理可求A8的长，由面积法可求0//=—=OC,即可求

2

结论.

ACAD

(2)连接CD,EC,通过证明AD/CsAaE,可得—=—,由。£=/C=3,可得结论.

AEAC

【解答】解：(1)如图1,过点。作于H,

ZBCA=90°,AC=3,BC=4,

AB=4AC1+BC~=V9+16=5，

••C—CIc

•u^ABC-T3ABO'

1131

—x3x4=—x3x—+—x5xOH

2222

3

：.OH=-

2

：.OC=OH,

且O”,A4,

・•・AB是OO的切线;

(2)结论成立,

・•.ZECD=90°=AACO,

・•・/ECO=NACD,

OC=OE,

・・・/CEO=ZOCE,

・・.ZACD=/CEO,

又•・・/DAC=/EAC,

：.ADACS^CAE,

,AC_AD

••瓦一刀’

3

•.・OC=-

2f

:・DE=2OC=3=AC,

.DEAD

…花一而‘

故小明同学发现的结论是正确的.

【点评】本题考查了相似三角形的判定，切线的判定与性质，勾股定理，圆的有关知识.证明石

是解题的关键.

15.（2020•云南中考真题）如图，4g为。O的直径，。为。O上一点，4DLCE,垂足为。，NC平分

/DAB.

c

AB

O

(1)求证：CE是。O的切线；

4

(2)若/。=4,cosZCAB=~,求的长.

5

25

【答案】(1)见解析(2)—

4

【分析】(1)连接OC,根据角平分线及等腰三角形的性质得到NOCD=90。，即可求解；

4D4

(2)连接BC,在Rt^ADC中，利用cos/l=——=cosZCAB=-,求出AC=5,再根据在RtZIkABC中,

AC5

4c54

cosZCAB=——=——=-,即可求出AB的长.

ABAB5

【解答】(1)证明：连接OC,

,/AD1CE

：.ZADC=90°

.•.Zl+Z4=90°

：AC平分NDAB

/.Z1=Z2

又AO=OC,

Z2=Z3

.•.Z1=Z3

Z4+Z3=90°

即ZOCD=90°

故OC_LCD,OC是半径

CE是。O的切线；

(2)连接BC,

VAB是直径，

/.ZACB=90°

：AC平分NDAB,Z1=Z2

*4AD4

在Rt^ADC中，cos/l=——=cosZCAB=-

AC5

又AD=4

；.AC=5

ZC54

在Rt^ABC中，cos/CAB=——=——=-

ABAB5

【点评】此题主要考查圆的切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知切线的判定定理及三角函数的定

义.

16.（2020•山东济南市•中考真题）如图，A8为。。的直径，点C是。。上一点，CD与。。相切于点C,

过点/作连接/C,BC.

（1）求证：/C是ND/8的角平分线；

（2）若4D=2,AB=3,求/C的长.

【答案】（1）见解析；（2）V6

【分析】（1）连接。C,根据切线的性质可得/OCD=90。，再根据和半径线段即可证明NC是/

DAB的角平分线；

（2）利用圆周角定理得到//C3=90。，再证明RtZ\4DCsRtZ\/C3,对应边成比例即可求出/C的长.

【解答】解：（1）证明：连接。C,如图，

：CD与。。相切于点C,

：.ZOCD=90°,

N/CD+N4co=90。，

9

：AD.LDCf

：.ZADC=90°,

：.ZACD+ZDAC=90°,

：.NACO=/DAC,

9：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCAf

：.ZDAC=ZOAC,

・・・/C是ND43的角平分线;

(2)T/B是。。的直径，

・•・NACB=90。,

：.ZD=ZACB=90°,

•・•ZDAC=/BAC,

ARtA^DC^RtA^C5,

.ADAC

**AC-AB'

：.AC1=AD^AB=2^=6,

：.AC=y/6

【点评】本题主要考查切线的性质和圆周角定理，解题关键是连接根据切线的性质可得NOCD=90。.

17.（2020•贵州黔南布依族苗族自治州•中考真题）如图，已知是。。的直径，。。经过此△4CD的直

角边。。上的点尸，交/C边于点点尸是弧EB的中点，ZC=90°,连接4F.

（1）求证：直线是。O切线.

⑵若BD=2,05=4,求tanNZ尸。的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）且.

5

【分析】（1）连接OF,因为点尸是弧仍的中点，所以可得NC4F=NE48,因为。4=。尸，所以

ZOFA=ZFAB,所以NC4F=/OE4,所以CZ〃OE,所以/O£D=NC=90。，即可得出直线CD

是。0切线;

(2)由⑴得CA//OF,所以AOEO〜A4CD,所以型="，可求出ZC=型，在RtAACD,根

ADAC3

据勾股定理可得出。。=12。2一2。2=竺普,再根据黑=黑，即器可得

C户=£逝，在小ZUC尸中，可求出tan//PC=C£=N5.

3AC5

【解答】解：如图，连接OF,

•.・尸是弧£5的中点，

NCAF=NFAB,

0A=OF,

ZOFA=ZFAB,

ZCAF=NOFA,

CA//OF,

ZOFD=ZC=90°,

•••直线C。是。O切线.

(2)•/AO^OB=OF=4,BD=2

AD=10；

由(1)得CA//OF,

bOFD〜"CD,

OPOF

"AD~7C

.64

"10~AC

20

•・•在用A4co中，40=10,4c二——

3

AOFD〜AACD,

ODDF

~AD~~CD

^^-CF

6

可得:~-—/=—，解得:

1010V5CF等

3

在火%A4C尸中，可得：tanZ^FC=—=—

AC5

即：tanZ^FC=—

5

【点评】本题考查与圆有关的证明，熟练掌握与圆有关的定理是做题关键，比如本题中看到弧相等，就要

转化成相应的圆周角或者圆心角相等；当题目中出现平行线，并且求线段长度，可考虑利用相似三角形的

性质进行求解，结合勾股定理，注意计算不要出错.

18.(2020•四川广安市•中考真题)如图，AB是。。的直径，点E在AB的延长线上，AC平分NDAE交。

O于点C,ADLDE于点D.

(1)求证：直线DE是。。的切线.

(2)如果BE=2,CE=4,求线段AD的长.

【分析】(1)连接OC,根据等边对等角和垂直定义可得NOAC=NOCA,ND=90。，根据角平分线的定义

可得/DAC=/OAC,从而得出/OCA=/DAC,根据平行线的判定可得OC〃AD,从而得出/OCE=N

D=90°,然后根据切线的判定定理即可证出结论；

(2)连接BC,根据相似三角形的判定定理可证△BCEs/MZAE,列出比例式即可求出AE,从而求出0C、

OB和0E,然后根据平行线证出△EOCS^EAD,列出比例式即可求出AD.

【解答】解：(1)连接OC

/.ZOAC=ZOCA,ZD=90°

VAC平分/DAE

ZDAC=ZOAC

ZOCA=ZDAC

；.OC〃AD

ZOCE=ZD=90°

AOCXDE

直线DE是。O的切线；

(2)连接BC

D

：.NACB=90。

・•・ZACO+ZOCB=90°

V0C1DE

.•.ZBCE+ZOCB=90°

・・・ZBCE=ZACO

ZOAC=ZOCA

ZBCE=ZCAE

ZE=ZE

.,.△BCE^ACAE

.CEBE

^^E~~CE

口口42

即——二一

AE4

解得：AE=8

AAB=AE-BE=6

AOC=OB=-^5=3

2

.,.OE=OB+BE=5

VOC//AD

AAEOC^AEAD

.—OEo-c--

,AEAD

口53

即一=

8而

24

解得：AD=y.

【点评】此题考查的是等腰三角形的性质、平行线的判定及性质、切线的判定及性质、圆周角定理的推论

和相似三角形的判定及性质，掌握等边对等角、平行线的判定及性质、切线的判定及性质、圆周角定理的

推论和相似三角形的判定及性质是解题关键.

19.（2020•广西玉林市•中考真题）如图，AB是圆O的直径，点D在直径AB上（D与A,B不重合），CD

±AB,且CD=AB,连接CB与圆O交于点F,在CD上取一点E,使得EF=EC.

（1）求证：EF是圆O的切线；

（2）若D是OA的中点，AB=4,求CF的长.

13

【答案】（1）见解析；（2）y

【分析】（1）连接OF和AF,证明/GFE=NAGD,进而可证明NOFE=90。后即可求解；

（2）先由AB=CD=4,BD=3,在RtZkBCD中结合勾股定理求出BC,再证明△ABFs/iCBD,由对应边成比

例求出BF的长，最后用BC减去BF就是所求的CF的长.

【解答】解：（1）连接OF和AF,设AF与DC相交于点G,如下图所示：

VOA=OF,

ZA=ZOFA,

VAB为圆O的直径，ZAFB=ZAFC=90°,

ZC+ZCGF=90°，ZGFE+ZEFC=90°

又EC=EF,AZC=ZEFC,

ZCGF=ZGFE,

又NCGF=/AGD,

ZGFE=ZAGD

ZOFE=ZOFA+ZGFE=ZA+ZAGD=18O°-ZADG=180°-90°=90°，

；.OF_LEF,

；.EF是圆O的切线.

(2)如下图所示，

：D是OA的中点，且AB=4,

；.DO=1,BD=BO+DO=3,

又AB=CD=4,

.,.在Rt^BCD中，BC2=BD2+CD2=32+42=52,

/.BC=5,

XZBDC=ZBFA=90°,且/B=/B,

.'.△ABF^ACBD,

4BF

———，代入数据后得:

BCBD5"T

.R—

・・,

5

1213

：.CF=BC-BF=5——=—

55

13

故答案为:

5

【点评】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、

勾股定理等知识，熟练掌握其定理及性质是解决此类题的关键.

20.(2020・广西贵港市•中考真题)如图，在A/BC中，=点。在5c边上，且么。=8。，QO

是AZCD的外接圆，/E是。。的直径.

(1)求证：48是。。的切线：

(2)若AB=2娓,40=3,求直径4E1的长.

【答案】(1)见解析；(2)3百

【分析】(1)连接。£,直径所对的圆周角是直角可得NADE=90。，继而根据已知条件和等边对等角的性

质及等角代换可得：NBAD=NE=NC,进而可得ZCME+NR4。=90°,再根据切线的判定即可求证结

论；

(2)作垂足为易证△ABCs^DBA,继而根据相似三角形的性质可得：

AB2=BD-BC，进而可求BC=8,由勾股定理可得AH,然后根据相似三角形的判定及其性质可得

4EAD

RtAAED^Rt/\ABH,——=——，代入数据即可求解.

ABAH

【解答】(1)证明：如图，连接

：/E是O。的直径，

NADE=90°,

：.ZDAE+ZE=90°,

VAB=AC,AD=BD,

ZB=ZC=/BAD,

又/E=NC,

...NBAD=NE=/C,

NDAE+ABAD=90°,即A8，,

48是。。的切线.

(2)解：如图，作垂足为〃，

AB=AC,

：.BH=CH,

'：/B=/C=2ZBAD,

/.△ABC^ADBA

ABBCr,7

DL)AD

又4B=276，BD=AD=3，

BC=8,

在放中，BH=CH=4,

由勾股定理求得：AH=2近，

,/NE=NB,

：.Rt/\AED^Rt/\ABH,

.AEAD

••南一芯‘

【点评】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理的应用，圆周角定理，

解题的关键是熟练掌握所学知识并正确作辅助线构造三角形.

21.（2020・甘肃天水市•中考真题）如图，在A/BC中，NC=90°,4D平分NR4C交3C于点点O

在A8上，以点。为圆心，OA为半径的圆恰好经过点。，分别交ZC、AB于点、E、F.

（1）试判断直线3C与。。的位置关系，并说明理由;

⑵若BD=2%，AB=6,求阴影部分的面积（结果保留乃）.

【答案】（1）3C与。。相切，理由见解析；（2）2百—2乃.

3

【分析】（1）连接。。，求出。D///C