2021-2022学年人教版八年级数学上册压轴题汇编：最短路径问题（解析版）

2021-2022学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编

专题05最短路径问题

一.选择题

1.(2021春•开江县期末)如图，在四边形/5CD中，N/=NC=90°,NB=32°,在边48,上分别

找一点£,尸使的周长最小，此时/以用=()

A.110°B.112°C.114°D.116°

【思路引导】如图，作点。关于A4的对称点尸，点。关于3C的对称点0,连接尸。，交AB于

交.BC于F',则点E',尸,即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案.

【完整解答】解：如图，作点。关于A4的对称点尸，点。关于8c的对称点0,连接P。，交4B于

E',交BC于F',则点中，P即为所求.

O

:四边形48CD中，N/=/C=90°,NB=a,

：.ZADC=\S0°-a,

由轴对称知，ZADE'=/P,ZCDF'=ZQ,

在△尸DQ中，NP+/0=18O°-ZADC

=180°-(180°-32°)

=32°,

/.ZADE'+ZCDF'=/P+N0=32°,

AZE'DF'=ZADC-(AADE,+ZCDF')

=180°-64°

=116°.

故选：D.

2.(2020秋•泗水县期末)如图，等边△48C中，于。，QD=1.5,点、P、0分别为/8、上的

两个定点且8P=4。=2,在8。上有一动点£使PE+QE最短，则尸£+。£的最小值为()

A.3.5B.4C.5D.6

【思路引导】作点。关于8。的对称点0',连接尸。'交.BD于E,连接0E,此时尸E+E。的值最

小.PE+PQ=PE+EQ'=PQ',

【完整解答】解:如图，:△/Be是等边三角形，

：.BA=BC,

；BD_LAC,AQ=1cm,QD=\.5cm,

.•-C=/0+0D=3.5(cm),

作点。关于AD的对称点0',连接尸0'交BD于E,连接。E,此时PE+E0的值最小.最小值PE+QE

=PE+EQ'=PQ',

AQ—2cm,AD—DC—3.5cm,

：.QD=DQ'=1.5(cm),

：.CQ'=BP=2(cm),

.'.AP=AQ'=5(cm),

VZA=60°,

：./\APQ'是等边三角形，

：.PQ'=PA=5(cm),

：.PE+QE的最小值为5cm.

故选：C.

A

3.（2021春•蜀山区校级期中）如图，在RtZUBC中，ZBAC=90a,AB=4,AC=3,N/8C的平分线交

ZC于点。，点E,尸分别是2D、48上的动点，则/£+斯的最小值为（）

A.2B.2.4C.2.5D.3

【思路引导】作点Z关于8。的对称点过M作MfUNB于R交BD于E,则NE+EF的最小值是

MF的长.由百〃C4可得迎里，进而可得答案.

CBCA

【完整解答】解：作点A关于BD的对称点M,

,；BD平分/4BC,

二用■落在BC上.

：.BM=BA=4,

过〃■作MF_L4B于R交.BD于E,

则AE+EF的最小值是MF的长.

C.MF//CA,

.BMMF

••二,

CBCA

即MF=2A,

53

：.AE+EF=MF=2A.

故选：B.

方法二：作点尸关于2。的对称点

连接AM交BD于E,则则AE+EF的最小值是AM的长,

■:点E,歹分别是3。、48上的动点，

.•.当时，最小，

VZBAC=90°,AB=4,AC=3,

：.AC=5,

'：ZCAB=ZAMB=90°,

NCBA=NABM,

：./\CABS/\AMB,

•.•一CB=AC一，

ABAM

：.AM^2A.

故选：B.

4.（2020秋•封开县期末）如图，等边△48C中，BDLAC^D,AD=3.5cm,点、P、0分别为48、AD1.

的两个定点且8P=/Q=2c"z,在AD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（）

B

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【思路引导】作点。关于3。的对称点。'，连接P0'交BD于E,连接。E,此时尸E+EQ的值最

小.PE+EQ=PE+EQ'=PQ'.

【完整解答】解：如图，:△/Be是等边三角形，

：.BA=BC,

\'BD±AC,

AD—DC—3.5cm,

作点。关于8。的对称点0'，连接尸。'交BD于E,连接0E,此时尸E+E0的值最小.最小值尸£+£。

=PE+EQ'=PQ',

AQ—2.cm,AD—DC—3.5cm,

：.QD=DQ'=1.5(cm),

：.CQ'=BP=2(cm),

'.AP=AQ'=5(cm),

VZyl=60°,

：./\APQ'是等边三角形，

：.PQ'=PA=5(cm),

：.PE+QE的最小值为5cm.

故选：C.

5.(2020秋•丛台区校级期末)/和8两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN,使从/到8的路径

NMV3最短的是(假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直)()

A/

【思路引导】过/作河的垂线/〃，要使最短，直线a,AI=MN,连接3/即可得出N,作出/M、

MN、8N即可.

【完整解答】解：根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线“(或直线6),只要

/加最短即可，

即过/作河岸。的垂线垂足为"，在直线上取点/,使4等于河宽.

连接力交河的b边岸于N,作垂直于河岸交。边的岸于M点，所得即为所求.

6.(2021春•鼓楼区校级月考)如图，在平面直角坐标系中，点/(2,5),B(5,1),C(m,-m),D

(m-3,-加+4),当四边形/BCD的周长最小时，则加的值为()

A.3B.JQC.2D.3

2

【思路引导】首先证明四边形/BCD是平行四边形，再根据垂线段最短解决问题即可.

【完整解答】解：,.'A(2,5),B(5,1),C(m,-m),D(m-3,-加+4),

V(5-2)2+(l-5)2;732+42=5,CD=V(m-3-m)2+(-m+4-4n)2;732+42=5)

，AB=Cr)=5,

..•点8向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到

点C向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到。，

由平移的性质得：

BC//AD,BC=AD,

四边形48C。是平行四边形，

...当8CLCD时，的值最小,

*/C(m,-m)

点C在直线y=-x上运动，

・.,Bca直线尸-x,

・•・直线平行直线^=%,

・,・直线BC的解析式为y=x+b,

把8(5,1)代入y=x+b得：

1=5+6,

解得：b=~4,

.\y=x-4,

联立方程组得：产x-4,

ly=-x

解得，x=2

ly=-2

：.C(2,-2),

:・m=2,

故选：C.

7.(2020秋•东城区校级期中)如图，在△48C中AB=/C,BC=4,面积是20,NC的垂直平分线即分别

交/C、AB边于E、F点、,若点。为8c边的中点，点M为线段上一动点，则△CW周长的最小值为

()

A.6B.8C.10D.12

【思路引导】连接4D，AM,由于△/5C是等腰三角形，点。是5c边的中点，故/OL2C,再根据三

角形的面积公式求出ND的长，再再根据E尸是线段NC的垂直平分线可知，点C关于直线防的对称点

为点/,故4D的长为CA什的最小值，由此即可得出结论.

【完整解答】解：连接4D,AM.

是等腰三角形，点。是8C边的中点，

C.ADLBC,

：.S^ABC=—BC-AD=工X4X/D=20,解得AD=10,

22

是线段/C的垂直平分线，

•••点C关于直线EF的对称点为点4

：.MA=MC,

■:ADWAM+MD,

.AD的长为CM+MD的最小值,

.,.△COM的周长最短=CCM+MD)+CD=AD+^-BC=10+^X4=10+2=12.

22

8.（2019秋•吴兴区期末）线段N8上有一动点C（不与/,8重合），分别以NC,8c为边向上作等边△/CM

和等边△3CN,点。是的中点，连接4D,BD,在点C的运动过程中，有下列结论：①可能

为直角三角形；②可能为等腰三角形；③△CW可能为等边三角形；④若/3=6,则ND+3D的

最小值为3VM.其中正确的是（）

A.②③B.①②③④C.①③④D.②③④

【思路引导】当C为的中点时，如图，设NO,CM交于E,BD,CN交于F,连接EF,根据等边三

角形的性质得到4M=/C=MC=8C=；V5,推出△CW是等边三角形，故③正确；根据全等三角形的性

质得到4D=AD,推出是等腰三角形，故②正确；当点C为48的中点时，4D+AD的值最小，求

得C。为的垂直平分线，得到儿少=1/8,根据勾股定理得到AD+8D=3有，故④正确；若AABD

可能为直角三角形，则//£>8=90°,推出ZC=CD,与所求的结论不符，故①错误.

【完整解答】解：当C为的中点时，如图，设CM交于E,BD,CN交于F,连接跖，

A4CM和丛BCN是等边三角形,

:.AM=AC=MC=BC=NB,

•.•点。是MN的中点，

：.MD=ND,

VZMCN=6Q°,

：.ZCMN=ZCNM=60°,

...△CW是等边三角形，故③正确；

VAAMD=ZBND=120°,

：.AAMD^ABND(SAS),

:.AD=BD,

是等腰三角形，故②正确；

当点C为的中点时，AD+BD的值最小,

•.•点。是的中点，

CD为的垂直平分线，

4

'：AB=6,

2

"：AD=BD,

：.AD+BD=347,故④正确;

过〃作MP_L48于尸，过D作。于E,过N作NQ_L4B于Q,

J.PM//DE//NQ,

"：MD=DN,

：.PE=EQ,

设/尸=PC=a,BQ=CQ=b,

：.PM=42fl,NQ=^,

:.DE=^0+b)PE=0E=31L,

22

/.AE=a+^~=3a+b_,g—a+Wb,

222

•/a—(3a+b)2+3(a+b)2—(a+3b)'+3(a+b)”

~i4，4T~

AB2=(2a+26)2,

：.AD2+BD2^AB2,

...△48。不是直角三角形，故①错误；

故选：D.

二.填空题

9.(2020秋•碑林区校级期末)如图，四边形N8C。中，Z5=30°,ZZ)=120o,ABLAC,AD+CD=

6,则四边形/BCD周长的最小的是15+6、用.

【思路引导】过点/作。垂线交CD延长线于E,设矶＞=。，由N/DC=120°得/。=2°,AE=心,

再由得CE=6-a,由此可求得NC最小值为3«,设/C=x，由乙8=30°,/8_L/C得/8+2C

=(2+73)AC,故/8+8C的最小值为6扬9,从而四边形/8C。周长的最小值为6+6J19=

15+6百

【完整解答】解：过点A作CD垂线交CD延长线于E,

AZADE=60°,

谈ED=a,则/O=2a,

AE=，AD2-ED2=，

•：4D+CD=6,

：.CD=6-2a,

:・CE=DE+CD=6-a,

•*^C=VAE2+EC2=7(V3a)2+(6-a)2=^4(a-y)2+27)

.•.当。=_|时，/C有最小值3«,

VZ5=30°,ABLAC,

；•设NC=x,则3c=2x,AB=，BC2-AC2=,

：.AB+BC=(2+V3)x=(2+V3)/C，

J.AB+BC的最小值为6标9,

四边形488周长的最小值为6+673+9=15+6V3.

故答案为：15+6

10.(2020秋•无棣县期末)如图，在△48C中，N4CB=90°,ZB=30°,NC=6,尸为5c边的垂直平

分线。£上一个动点，则△NCP周长的最小值为18

A

【思路引导】因为的垂直平分线为DE,所以点C和点8关于直线DE对称，所以当动点尸和E重

合时尸的周长最小值，再结合题目的已知条件求出的长即可.

【完整解答】解：•••尸为8c边的垂直平分线。£上一个动点，

点C和点8关于直线DE对称，

当动点尸和£重合时△/CP的周长最小值，

VZACB=90°,/B=30°,AC=6,

；.A8=2/C=12,

'：AP+CP=AP+BP=AB=12,

LACP的周长最小值=4C+/8=6+12=18,

故答案为：18；

11.（2021春•新乡期末）如图，在RtZUBC中，ZACB^90°,CM平分N/C8,点。为CM上一点，点

P为边/C上一动点（不与点，，C重合），连结。尸，BP.已知CD=8C,当。P+8P的值最小时，ZCDP

的度数为22.5.

【思路引导】如图，作点8关于NC的对称点次，连接。夕交4c于点、P,当D,P,B'共线时，PA+P8

的值最小.证明C2'=8,根据/。。8=工//。3=45°,可得结论.

2

【完整解答】解如图，作点2关于/C的对称点夕，连接。2'交/C于点尸，当。，P,B'共线时,

AZZ)CS=Ax90°=45。，

2

,:CB=CB',CD=CB,

：.CD=CB',

：.ZCDB'=ZB',

VZDCB=ZCDB'+ZB',

:.NCDP=225°,

故答案为：22.5.

12.(2021春•济源期末)如图，在直角坐标系中，点/(2,2),C(4,4)是第一象限角平分线上的两点,

点3的纵坐标为2,且历1=C8,在y轴上取一点。，连接BC,AD,C。，使得四边形的周

长最小，则这个周长的最小值为4+2满.

【思路引导】根据平行线的性质得到/R4C=45°,得到48=90°,求得NC=BC=2,作C关于y轴

的对称点C',连接ZC'交y轴于。，则此时，四边形/BCD'的周长最小，这个最小周长的值=

AB+BC+AC,过根据勾股定理即可得到结论.

【完整解答】解：•••点/(2,2),点8的纵坐标为2,

.•.43〃x轴，

ZBAC=45°,

,:CA=CB,

:.NACB=NBAC=45°,

：.ZB=90°,

VC(4,4)

：.B(4,2),

；.AB=BC=2,

作C关于y轴的对称点C'，

连接/U交y轴于。'，

则此时，四边形/BCD'的周长最小，这个最小周长的值=/3+2C+/C',

VC,(-4,4),A(2,2)

­■AC=可2+22=2泥,

最小周长的值=/6+BC+/C'=4+2泥，

故答案为：4+2遥.

13.(2021春•思明区校级月考)若力为常数，且机＞0,点/的坐标为(0,10加)，8点的坐标为(5m,-

2m),C点为x轴上一点，NC+2C的最小值为13m,4C-BC最大值为—圾如(用含加的代数

式表示)

【思路引导】根据两点之间线段最短求出AC+BC的最小值，利用轴对称求出AC-BC的最小值即可.

【完整解答】解：如图，连接交x轴于点C,此时NC+C8的值最大，

最大值=/=={(5m)2+(12m)2=13w-

作点8关于x轴的对称点夕，连接N8',延长/夕交x轴于C',

此时NC'-BC的值最大，

最大值为/夕=4(5m)2+(8戊)2=我加

故答案为：13m,

14.（2021春•海淀区校级月考）已知如图，是等边△4SC中NB/C的平分线，尸是ND上一点，£为

NC中点，连接尸C,PE,若45=6,则尸C+PE的最小值是3、/.

A

BDC

【思路引导】先根据等边三角形的性质可得垂直平分8C,再根据线段垂直平分的性质可得尸8=PC,

然后根据两点间线段最短可得PC+PE的最小值.

【完整解答】解：如图，连接尸8、BE,

'：AD是等边三角形N2C中ABAC的平分线，

：.AD垂直平分BC,

:.PB=PC,

:.PC+PE=PB+PE,

由两点间线段距离最短可知，

当点3,P,E在一条直线上时，P8+PE取值最小，最小值为8E,

:△/BC为等边三角形，且48=6,E为/C的中点，

：.BC=AB=6,CE=LC=X48=3,

22

BE=22=22=

VBC-CEV6-33«'

即PC+PE的最小值为3«,

故答案为：

15.（2020秋•碑林区校级期末）如图，点48在直线儿W的同侧，N到的距离/C=8,8到九W的距

离BD=5,已知CD=4,P是直线MN上的一个动点，记尸N+P8的最小值为°,平-尸目的最大值为6,

【思路引导】作点/关于直线上的对称点,连接2交直线上于点尸，过点作直线HE±BD

的延长线于点£,再根据勾股定理求出8的长就是尸/+%的最小值；

延长48交M2V于点P,此;时PA-P'B=AB,由三角形三边关系可知-尸引，故当点P运

动到P点时|尸/-必|最大，作由勾股定理即可求出48的长就是甲/-依|的最大值.进一步

代入求得答案即可.

【完整解答】解：如图，

作点/关于直线£的对称点卬，连接H5交直线L于点尸，

则点尸即为所求点.

过点H作直线的延长线于点E,则线段H3的长即为尸/+尸8的最小值.

'：AC=8,BD=5,CD=4,

：.A'C=8,B£=8+5=13,A'E=CD=4,

'B=4]§2+《2=Q185,

即PA+PB的最小值是a

■:P'A-P'B=AB,AB>\PA-PB\,

当点P运动到P点时，\PA-

"：BD=5,CD=4,AC=8,

过点3作3E_L/C,则8E=CD=4,AE=AC-BD=S-5=3,

二3山2+32=5-

：.\PA-PB\=5为最大，

即b=5,

：.a2--=185-25=160.

故答案为：160.

16.（2021春•番禺区期末）如图，在平面直角坐标系中，的边。/在x轴上，且。4=6,点8的坐

标为（2,4）点。为CM的中点，A8的垂直平分线交x轴于点C,交于点£,点尸为线段CE上的

一动点，当的周长最小时，点P的坐标为（［鱼，A）.

—5-5―

【思路引导】如图，连接8C,PB,BD.首先证明N/CB=90°,利用勾股定理求出8D,tg®PA+PD

PB+PD^BD,推出5,P,。共线时BP+尸。的值最小，可得直线CE的解析式为y=x-2,直线3D的

解析式为y=-4x+12,构建方程组确定点尸坐标.

【完整解答】解：如图，连接3C,PB,BD.

:。/=6,B（2,4）,

ZBAO=45°,

「CE垂直平分线段48,

:.CB=CA,PA=PB,

；./CBA=NC4B=45°,

：.ZBCA=90°,

：.OC=2,AC=BC=4,

•：OD=DA=3,

:.CD=OD-CD=L

/\PADW=PD+PA+AD=PB+PA+3,

又；BP+PD>BD,

；.B,P,。共线时8P+P。的值最小，

•.•直线CE的解析式为y=x-2,直线3。的解析式为y=-4x+12,

J14

由（y=x-2,解得,5

（y=-4x+12V=A

I5

.•.满足条件的点尸（皂，A）.

55

故答案为：（」四，1）.

55

17.（2021•仪征市二模）如图，RiAABC^RtAFDE,/ABC=NFDE=90°,N2/C=30,NC=4,将

RtzXEDE沿直线/向右平移，连接8。、BE,则AD+2E的最小值为，夜_.

【思路引导】根据平面直角坐标系，可以假设E(m,«),则。(m+1,2«),则AD+2E=

7(m+l)2+(273)2+7m2+(V3)2,欲求8D+BE的最小值，相当于在x轴上找一点尺⑸，0),使得R

到〃(-1,2«),N(0,«)的距离和的最小值，如图1中，作点N关于x轴的对称点N',连接

MN,交x轴题意尺，连接RN,此时RW+RN的值最小，最小值=MN'的长.

【完整解答】解：建立如图坐标系，

在RtZX/BC中，ZABC=90°,AC=4,NBAC=3Q°,

：.BC=^AC=2,

2

AB=y[^BC=2M，

斜边/C上的高=2"：返=«,

,/△4BC0△FDE,

：.EF=AC=4,斜边斯上的高为丁

••.可以假设E(.m,J§),则。(加+1,2^^),

J血+1)2+(2付2+汗+(a)2,

欲求8ZHAE的最小值，相当于在x轴上找一点7?(m,0),使得R到〃(7,2«),N(0,«)的

距离和的最小值，如图1中，

图1

作点N关于x轴的对称点N',连接MN'交x轴题意尺，连接RV,此时公RV的值最小，最小值=

MN=爪2+（加）2=2"

：.BD+BE的最小值为2枚，

故答案为：

18.（2021春•中原区校级月考）如图，在△4BC中，//=45°,48=17,CD为边上的高，CD=12,

点P为边3c上的一个动点，M、N分别为边48,NC上的动点，则△M7VP周长的最小值是

204>/2

131

【思路引导】作点P关于直线ABAC的对称点。，凡连接QM,RN,QR,通过APMN的周长为:尸M+M2V+PN=

QW+MN+AN,判断出当点Q,M,N,R四点共线时，△肱V。的周长最小，即为QR的长，再根据当/尸，8c时，

AP的值最小，此时QR的值最小，即△MAP的周长最小，求出QR的最小值即可。

【完整解答】解：作点P关于直线ABAC的对称点0K连接QM,RN,QR,W：

.：.丛PMN的周长为:PW+7W+PN=QA/+AmRN,

/.当点Q,MNR四点共线时,△〃样的周长最小，即为QR的长，

连接/。力尸〃尺

:点P关于直线AB^C的对称点为点Q,R,

：.ZBAQ=ZBAP,ZCAR=ZCAP^4Q=AP=AR,

：.ZQAP=2ZBAP,ZRAP=2ZCAP,

VZBAC=45°,

AZBAP+ZCAP^45°,

：.2ZBAP+2ZCAP=90°,

ZQAR=ZQAP+ZRAP=2ZBAP+2ZCAP=90°,

在RtZkQ/R中，ZQAR=9Q°^4Q=AR,

'.'A^+AR2=QR2,

：.2AQ2=Qie,

:©R=®AQ=®AP,

...求0R的最小值时，只需求出4P的最小值，

•.,点尸在8c上运动，

...当/PL3c时，4P的值最小，此时0？的值最小，即△跖VP的周长最小,

在RtAa4c中,/ADC=90°,/ZUC=45°,

AZDCA=90°-ZDAC=90°-45°=45°=ADAC

：.AD=CD=12,

:48=17,

：.BD=AB-AD=17-12=5,

在RtADBC中,N8DC=90°,

-3c=JBD24cl)2=V52+122=13,

.•.当/P_L3C时,

S^BC=—BC-AP=IAB-CD,

22

.,pAB-CD17X12204

BC1313

•••QR=&*P=&x20420472

1313

:ANMP的周长的最小值为圆运.

13

故答案为：22还。

13

19.(2020秋•河东区期末)如图，在边长为2的等边△4BC中，。是3C的中点，点E在线段4D上，连

接BE,在的下方作等边△8ER连接。F.当△8。厂的周长最小时，/DBF的度数是3下.

【思路引导】连接CF,由条件可以得出尸，再根据等边三角形的性质就可以证明△5/£名

△BCF,从而可以得出NBCF=4840=30°,作点。关于CF的对称点G,连接CG,DG,则ED=

FG,依据当8,F,G在同一直线上时，。尸+8厂的最小值等于线段5G长，可得△3DP的周长最小，再

根据等边三角形的性质即可得到b的度数.

【完整解答】解：如图，连接CF,

,:AABC、ZXBE尸都是等边三角形，

；.AB=BC=AC,BE=EF=BF,NBAC=/ABC=/ACB=NEBF=/BEF=/BFE=6G°,

/./ABC-ZEBD=ZEBF-ZEBD,

：.ZABE=ZCBF,

在△&IE和△5CF中，

rAB=BC

<ZABE=ZCBF-

tBE=BF

:.ABAE安/\BCF(W),

:.NBCF=NBAD=3Q°,

如图，作点。关于CF的对称点G,连接CG,DG,则EDjFG,

...当8,F,G在同一直线上时，。尸+8厂的最小值等于线段8G长，且2G_LCG时，△8。厂的周长最小,

由轴对称的性质，可得/OCG=2N3CF=60°,CD=CG,

.♦.△OCG是等边三角形，

:.DG=DC=DB,

:./DBG=NDGB=L/CDG=30。,

2

故答案为：30。.

20.(2021春•同安区校级月考)如图，A,3两个工厂位于一段直线形河的异侧，/厂距离河边/C=5机,

B厂距离河边BD=lkm,经测量CD=8筋z,现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理厂E.

(1)设ED=x,请用X的代数式表示AE+BE的长；

(2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？

(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想吐石W(15-x)2+25的最小值

【思路引导】(1)依据ACLCD.BDYCD,故根据勾股定理可用x表示出的长；

(2)根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置.过点B作BFYAC于

F,构造出直角三角形，利用勾股定理求出的长；

(3)根据AE+BE=dx2+gT(15r)2十25可作出图形，当“、瓜吕共线时，利用勾股定理求出

的值即可.

【完整解答】解：(1)在RtZkNCE和中，根据勾股定理可得/£={(8_*)2+25,BE=

7x2+r

*'-^+^=V(8-x)2+25+Vx2+r

(2)根据两点之间线段最短可知，连接N2与CD的交点就是污水处理厂E的位置.

过点8作瓦LL4C于R则有8F=CD=8,BD=CF=\.

：.AF=AC+CF=6.

在RtA^SF中，BA=^^p2+gp2=yj^2+^2=]0,

此时最少需要管道10km.

(3)根据以上推理，可作出下图，设ED=x,BD=3,CD=15,AC=5,当4、E、2共线时，求出

AB的值即为原式的最小值.

在RtZ\48尸中，AF=8,BF=CD=15,

由勾股定理可得：^^^82+152=17,

；7x2+gT(15-x)2+25的最小值为17.

A

21.(2021春•青羊区校级月考)如图，已知△/8C三个顶点坐标分别为/(0,4),B(-2,-2),C(3,

0),点P在线段/C上移动.

(1)△/2C的面积为13.

(2)当点尸坐标为(1,m)时，请在y轴上找点。，使△尸。。周长最小，画出图形井求出。点坐标和△

PQC周长.

(3)直线AP将△/8C的面积分成1："两部分.

①分别求出当"=1,〃=2时尸点坐标.

②直接写出直线8尸将△A8C的面积分成1："(«>2)两部分时尸点坐标.

【思路引导】(1)过点5作8E〃y轴，过/点作/£〃苫轴交于点E,过C作C尸〃夕轴，过/作/尸〃x

轴父于点尸，根据SUBC=S梯形EBC5-S^EB-S^APC即可求得；

(2)作尸点关于轴的对称点P,连接PC交于0,此时P0+QC=PC,根据两点之间线段最短，。

就是△尸0。周长最小的点，利用勾股定理求得直线NC的解析式，即可求得尸的坐标，进而求得则P'

(-1,1),个待定系数法求得直线CP,即可求得。的坐标，然后根据△尸0c周长=PC+CP求得

3

即可，

(3)①根据/、C的坐标即可求得尸的坐标；②根据同高三角形面积的比等于底边的比，然后根据/、

。的坐标即可求得结论.

【完整解答】解(1)过点8作8E〃y轴，过/点作么£〃苫轴交于点E,过C作C尸〃y轴，过N作/尸

〃无轴交于点F,

SAABC=S梯形EBCFS^AEB~S^AFC

=(BE+CFAEFX工-LE・BE-=^AF-CE

222

=(6+4)X5XA-XX9X6-AX3X4

222

=25-6-6

=13,

•••△/5C的面积为13,

故答案为13；

(2),：A(0,4),C(3,0),

设直线4C的解析式为歹=fct+b(左WO),

4

.*=4,解得.k=万，

l3k+b=0卜=4

直线NC的解析式为：y=-AX+4,

3

•..点P在线段NC上移动，点P坐标为(1,m),

:.m=--X1+4=—,

33

：.P(1,旦)，

3

作尸点关于轴的对称点P,连接PC交于0,此时尸Q+QC=PC,根据两点之间线段最短，0就是

△尸0。周长最小的点，则P(-1,1),

3

设直线P。的解析式为（冽WO）,

'_2

.*.<解得.m-1，

L3m+n=0n=2

直线PC的解析式为尸--|-x+2,

点的坐标为（0,2）,

△9℃周长=PQ+CQ+CP,

...△PQC的周长最小值为：此.

33

(3)①

尸为/C的中点,

'：A(0,4),C(3,0),

：.P(&,2),

2

当〃=2时，8P三等分△4BC,

尸为/C的三等分点，

当尸靠近4时，

：.P(1,旦)，

3

当尸靠近C时，

：.P(2,A),

3

综上所述，«=1时，P(―,2)；«=2时，P(1,金)或尸(2,A),

233

②当SMBP：SABPC='：〃时'

：.AP：PC=l：n,

:.p

n+1n+1

当S^BP：S^BPc=n：1时'

：.AP：PC=n：1,

:.p(@_,/-),

n+1n+1

综上述，P(_J_,_^L)或尸(①，-A_).

n+1n+1n+1n+1

22.(2020秋•襄城区期末)如图，已知△N8C是等边三角形，于点。，点E是NC的中点.

(1)在直线CD上作一点P,使PA+PE最小；

(2)在(1)的条件下，若CD=12,求线段。尸的长.

【思路引导】(1)点E关于直线CC•的对称点厂在线段C3上，连接//交CD于点尸，连接PE,此时

PA+PE的值最小.

(2)解直角三角形求出/O,。尸即可.

【完整解答】解：(1)如图，:△/Be是等边三角形，CDLAB,

，点E关于直线CD的对称点F在线段CB上，

连接力尸交CD于点P,连接尸E,此时R4+PE的值最小.

即点尸即为所求作.

(2)\'CD=12,ZCDA=90°,ZCAD=60°,

AZACD=30°,

：.AC=2AD,

：.4AD2=AD2+n2

."£>=4愿，

,:AE=EC,E,尸关于CZ)对称，

，CF=BF,

"：AC=AB,

：.ZBAF=ZCAF=ZACD=30°,

：.PA=PC=2PD

：.PD=1-CD=4.

3

23.(2020秋•恩施市期末)如图，B、C两点关于y轴对称，点/的坐标是(0,6),点C坐标为(-

a-b).

(1)直接写出点8的坐标为(a,-a-b)；

(2)用尺规作图，在x轴上作出点尸，使得/P+P8的值最小；

(3)ZOAP=45度.

*C

4

----------------------►

X

【思路引导】(1)根据关于y轴对称的点的特点即可得到结论；

(2)如图所示，作点/关于x轴的对称点H,连接H3交x轴于尸，点P即为所求；

(3)过8作轴于。(0,-a-6),贝U8Z)=-。，。。=-。-6,由(2)知/与H关于x轴

对称，于是得到/'O=AO=b,推出HD=BD,在RtZ\/'DB中，NA'08=90°,A'P=AP,于

是得到D=/B=45°,即可得到结论.

【完整解答】解：(1)点8的坐标为(a,-a-b)；

故答案为：(a,-a-6).

(2)如图所示，点尸即为所求；

(3)过8作轴于。(0,-a-b),

贝I]BD--a,OD--a-b,

由(2)知/与H关于x轴对称，

：.A'O=AO=b,

：.A'D=BD,

在RtZ\4'中，08=90°,A'P=AP,

：.ZBA'D=ZB=45°,

•../与H关于x轴对称，

：.ZOAP=ZDA'P=45°.

24.(2017春•安溪县期末)已知点P在NMON内.

(1)如图1,点尸关于射线0M的对称点是G,点P关于射线ON的对称点是H,连接OG、OH、OP.

①若/MON=50°,则/GO"=100°；

②若PO=5,连接G8,请说明当/MON为多少度时，G8=10；

(2)如图2,若NMON=60。，4、2分别是射线(W、ON上的任意一点，当△尸的周长最小时，求

/APB的度数.

【思路引导】(1)依据轴对称可得OG=OP,OMLGP,即可得到O河平分/POG,ON平分/POH,

进而得出NGO/f=2/MON=2义50°=100°；②当NMON=90°时，NGO/f=180°,此时点G,O,

，在同一直线上，可得G〃=GO+//O=10；

(2)设点P关于(W、ON对称点分别为P、尸〃，当点4、8在PP"上时，△尸周长为P/+/8+AP

=P'P",此时周长最小.根据轴对称的性质，可求出N/P8的度数.

【完整解答】解：(1)①•.•点尸关于射线。河的对称点是G,点尸关于射线ON的对称点是〃，

AOG=OP,OMLGP,

r平分/尸OG,

同理可得ON平64PoH,

:./GOH=2NMON=2X50°=100°,

故答案为：100°；

②：PO=5,

GO=HO=5,

当/MON=90°时，ZGOH=1SO°,

...点G,O,〃在同一直线上，

：.GH=GO+HO=W；

(2)如图所示分别作点尸关于OM、ON的对称点P、P",连接。P、OP"、P'P",P'P"交

OM,CW于点/、B,

连接尸/、PB,则BP=BP"，此时△尸”周长的最小值等于P'P"的长.

由轴对称性质可得，OP'=0P"=0尸，4P'OA=ZPOA,ZP"OB=/POB,

：.AP'OP"=2/MON=2X60°=120°,

：.ZOP'P"=ZOP"P'=(180°-120°)4-2=30°,

同理可得2=30°,

25.(2020秋•雨城区校级期中)如图，C为线段3。上的一个动点，分别过点8,。作N8L8。，EDLBD,

连接/C,EC.已知48=5,DE=1,BD=8,设CD=x.

(1)用含x的代数式表示/C+CE的长；

(2)请问：点C满足什么条件时，NC+CE的值最