2021-2022学年人教版八年级数学上册压轴题汇编：乘法公式（解析版）

2021-2022学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编

专题06乘法公式

一.选择题

1.（2021春•浦江县期末）如图是将正方形/BCD和正方形CEFG拼在一起的图形，点8,C,E在同一条

直线上，连结8D,BF.若阴影部分△8〃斤的面积为8,则正方形/BCD的边长为（）

【思路引导】连接CF,根据题意可得D8//CR利用平行线之间的距离处处相等可得：S&BDF=S&BDC=

8,即可得出边长.

【完整解答】解：如图，连接CR

四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形,

/.ZBDC=45°,ZGCF=45°,

ZBDC=ZGCF,

J.BD//CF,

■SABDF=SABCD=8,

•SABDF=BCXBC+2=8.

5c=4,

故选：C.

2.（2021春•盐城期末）如图，4张边长分别为a、6的长方形纸片围成一个正方形，从中可以得到的等式

是（）

A.Ca+b)(a-b)—a2-b2B.(a+b)2—a2+2ab+b2

C.(a-b)2—a2-2ab+b2D.(a+6)2-(a-b)2~4ab

【思路引导】假设大正方形的面积用，小正方形的面积$2,则S-$2=4个长方形面积.

【完整解答】解：设大正方形的面积S1，小正方形的面积$2，

大正方形的边长为。+6,则大正方形面积$=(a+6)2,

小正方形的边长为a-6,则小正方形面积$2=(a-b>2,

四个长方形的面积为4ab,

,：Si-S2=4ab,

(a+b)2-(a-6)2—4ab,

故选：D.

3.(2021春•庐阳区期末)如图，两个正方形的边长分别为。和6,如果a-6=2,ab=26,那么阴影部分

【思路引导】由图可得阴影部分面积为4个直角三角形面积的和.

【完整解答】解：如图，

Vtz-6=2,ab=26,

：.a2-2ab+b2=4,

/.a2+b2=4+2ab=4+52=56,

阴影部分的面积=SACDM+SMEF+S&GHM

=2xL(a-b)Xa+2X^bXb

22

=a(a-b)+b2

=a2+b2-ab

=56-26

=30.

故选：A.

4.(2021春•西湖区校级月考)若x满足(2021-x)2+(x-2020)2=2019,则(2021-x)(%-2020)的

值是()

A.-1006B.-1007C.-1008D.-1009

【思路引导】设2021-%=。，x-2020=6,根据题意可得，6zW=2020,a+b=(2021-x)+(x-

2018)=3,将化成/[(a+6)2-(a2+z?2)]的形式，代入求值即可.

【完整解答】解：1S2021-x=a,x-2020=6,贝!!(2021-x)2+(x-2020)2=aW=2019,a+b=

(2021-x)+(x-2020)=1,

所以，(2021-x)(x-2020)="=春[(。+6)2-(/+〃)]=Ax(I2-2019)=-1009；

故选：D.

5.(2021春•拱墅区期中)用若干个形状，大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如

图1所示的正方形，其阴影部分的面积为81；8个长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的

面积为64；12个长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（）

□图2图3

Si

A.22B.24C.32D.49

【思路引导】设长方形的长为a,宽为b,由图1、图2可求出a、b的值，再根据图3,求出（a+36）2-

12仍的值，即求出阴影部分的面积即可.

【完整解答】解：设长方形的长为。，宽为6,由图1得，（。+6）2-4仍=81,即：a-6=9,

由图2得，(。+26)2-8。6=64,即：a-26=8,

解得：a=10,6=1,

由图3得，（a+36）2-12a6=（a-3b）2=49,即阴影部分的面积为49,

故选：D.

6.（2020秋•鼓楼区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和

谐数”如（8=32-12,16=52-32,即8,16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和

谐数”之和为（）

A.255024B.255054C.255064D.250554

【思路引导】设相邻的两奇数分别为2〃+1,2«-1（“21,且"为正整数），求出和谐数的表达式，根据

和谐数不超过2017,列出不等式，求得〃的范围，进而可以知道最大的"，求出此时的相邻两个奇数,

然后把这些和谐数加起来计算即可.

【完整解答】解：设相邻的两奇数分别为2〃+1,2〃-1（"21,且〃为正整数）,

(2»+1)2-(2〃-1)2=8”,

根据题意得：8〃W2017,

...〃W252』,

8

最大为252,此时2"+1=505,2〃-1=503,

A32-了+52-32+...+5032-5012+5052-5032

=5052-J

=255024.

故选：A.

二.填空题

7.(2021春•海淀区校级期末)将4张长为p、宽为b(a>b)的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为

(a+b)的正方形，图中空白部分的面积之和为多,阴影部分的面积之和为S2,若&=至$2,则曳的值

3b

为3.

$1=〃+62.2+2=

【思路引导】求出S2=2ab,根据用=至5得出〃方至_・2々6,求出°=工6或a=36,再求

333

出答案即可.

【完整解答】解：51=4X-ab+(a-b)2

2

=2ab+a2-2ab+b2

=。2+〃，

Sk(7^^)2-(a-b)2

=a2+b2-a2+2ab-b1

=2ab,

•,Q_5Cf

•51-灯2，

3

a2+b2——'2ab,

3

/.3a2-10a&+3Z>2=0,

(3a-b)(a-36)=0,

.,.3a-6=0或a-36=0,

解得：0=工6或a=36,

3

\'a>b>0,

.,.a=—b舍去，

3

当a=36时，包=生=3,

bb

故答案为：3.

8.（2021春•西湖区校级月考）下列结论中：①已知2*=Q,2y=b,则2%+歹=M；②若〃2・〃4=56,则〃=5；

③若N-（上+2）x+4是完全平方式，则左=2；④关于x,>的方程组]及+5丫=2卜的自然数解有2对，正

Ix+2y=k-l

确的结论是①.（填正确的序号）

【思路引导】先根据同底数幕的乘法，完全平方公式，解方程组进行计算，再求出答案即可.

【完整解答】解：：2x=a,2V=6,

;.2计1=2工乂28=47,故①正确；

a2,a4=a6=56,

；.a=±5,故②错误；

".,x2-*+2）x+4是完全平方式，

-（K2）x=±2*x*2,

；.左=2或-6,故③错误；

解方程组俨+5丫=21:得：fx=-k+5

lx+2y=k-l[y=k-3

•••方程组的解是自然数，

.[-k+5）0

"lk-3>0'

解得：3WK5,

自然数为3,4,5,

即关于x,y的方程组[及+5/=211的自然数解有3对，故④错误；

（x+2y=k-l

即正确的有①，

故答案为：①.

9.（2020秋•丛台区期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是40,则阴影部分的面积是20.

【思路引导】设大正方形的边长为。，小正方形的面积为6,根据题意得屏-62=40,Q+6）（a-b）

=40；根据Sfn=S/^iCD-SACDE计算即可.

【完整解答】解：设大正方形的边长为用小正方形的面积为6,

根据题意得。2-62=40,

(。+6)(a-6)=40；

S网=%48-SACDE，

...5阴=工义。。*/5--LXCDXBE

22

=—(a+6)a-—(a+6)b

22

=—(a+6)(a-b)

2

(a+6)(a-b)=40,

.•.5阴=工乂40

2

=20.

故答案为：20.

10.(2020春•武侯区校级期中)若多项式N+x+人是关于x的完全平方式，则后=1.

一4一

【思路引导】根据完全平方公式的乘积二倍项和已知平方项先确定出另一个数是工，平方即可.

2

【完整解答】解：：X=2XLXX

2

故答案为：1.

4

11.(2017春•张掖月考)乘法公式的探究及应用.

小题1：如图1,可以求出阴影部分的面积是。2一62(写成两数平方差的形式):

小题2：如图2,若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的窗是(a-b),长是(a+如

面积是(。+6)-b)(写成多项式乘法的形式)

小题3：比较图1,图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式(a+6)(a-6)=°2-环(用式子表达)

小题4：应用所得的公式计算：（1-3）（1-J-）（1-A-）…（1-二刀）（1-—

2232429921002

【思路引导】小题1：利用正方形的面积公式就可求出；

小题2：仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；

小题3：建立等式就可得出；

小题4：利用平方差公式就可方便简单的计算.

【完整解答】解：小题1：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积=02-左；

故答案为：邪一〃；

小题2：由图可知矩形的宽是。-6,长是所以面积是（a+b）（a-6）；

故答案为：a-b,a+b,（a+b）（a-b）；

小题3：（a+b）Qa-b）=/-左（等式两边交换位置也可）；

故答案为：（a+b）Qa-b）=cfi~b2；

工）（1-J-).

小题4：(1--(1-••(1(1-

2222

2349910。2

=（1-A）x（i+A）(1-A）（i+A）（1-A）（1+1）•••(1-J-)(1+工)(1-)(1+^—)

2233449999100100

乂乂乂乂x§x…乂

_13243,X毁X.100Y99101

2233449999100100

』典

2100

_101

200'

12.如图，小刚家有一块””形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，

这两个梯形的上底都是xm,下底都是"7,高都是（y-x）心，请你帮小刚家算一算菜地的面积是

一平方米.当x=20加，y=30%时，面积是500平方米.

【思路引导】本题结合图形，根据梯形的面积公式=上（上底+下底）义高，列出菜地的面积，再运用平

2

方差公式计算.

【完整解答】解：由题意得菜地的面积为2></（x+y）（厂x）=了2-》2.

当x=20,y—30时，

y2-x2=302-202=900-400=500m2.

故答案为：y2-x2；500.

13.（2020春•建平县期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下

图），此图揭示了（a+b）"（”为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律.

例如：

（a+b）。=1,它只有一项，系数为1；

（a+b）l=a+b,它有两项,系数分别为1,1,系数和为2；

（a+b）2=。2+29+62,它有三项,系数分别为1,2,1,系数和为4；

（a+b）3=炉+3.2什3近2+",它有四项，系数分别为1,3,3,1,系数和为8；

根据以上规律，解答下列问题：

（1）（。+6）4展开式共有5项,系数分别为1,4,6,4,1；

（2）（a+6）"展开式共有（〃+1）项,系数和为2".

1

11

121

1331

【思路引导】经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1,从第3行开始,

中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多L根据上面观察的规律很容

易解答问题.

【完整解答】解：（1）展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1,4,6,4,1,

（2）展开式共有”+1项，系数和为2".

故答案为：（1）5；1,4,6,4,1；（2）（n+1）,2".

三.解答题

14.（2021春•于洪区期末）数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，/种纸片是边长为a

的正方形，3种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为6,宽为。的长方形，并用N种纸片一张，B

种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形.

(1)观察图②，写出代数式(。+6)2,a2+b2,之间的等量关系是(a+b)2=。2+2。%+62.；

(2)根据(1)中的等量关系，解决下列问题；

①已知a+6=4,.2+62=10,求成的值；

②已知(x-2021)2+(x-2019)2=130,直接写出x-2020的值.

【思路引导】(1)图形②是边长为S+6)的正方形，它的面积由一个边长为。的正方形和一个边长为6

的正方形以及两个长为从宽为。的长方形组合而成，由此结论可得；

(2)①把a+6=4进行平方，结合。2+62=]()即可求得"的值；

②设x-2020=a,则x-2021=a-1,x-2019=a+l贝！]有(a-1)2+(a+1)2=130,进行整理可得序=

64,从而求出所求.

【完整解答】解：(1)•••图形②是边长为(。+6)的正方形,

：.S=(a+6)2.

•..大正方形的面积由一个边长为。的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长为b,宽为a的长方形

组合而成，

/.S=ar+1ab+b^.

(a+6)2=a2+2ab+b2.

故答案为：(a+6)2=a2+2ab+b2.

(2)①：a+6=4,

:.(a+6)2=16.

/.a^+2ab+b^=16.

VaW=10,

ab=3>.

②设x-2020=a,贝！］x-2021=a-1,x-2019=a+l.

,/(x-2021)2+(x-2019)2=130,

(a-1)2+(a+1)2=130.

tz2-2〃+1+。2+2〃+1=130.

・・・2〃2=128.

/.”=64.

即(x-2020)2=64.

Ax-2020=±8.

15.(2021春•新都区期末)(1)已知a+b=6,a2+b2=26,求的值；

(2)已知多项式必+几x+3与-3x+冽的乘积中不含有和项，求加+〃的值.

【思路引导】(1)欲求Q-6,可求(a-b)2.由于(a-b)-2ab,所以转化求ab.由a+b=

6,a2+b2=26,(a+b)2=a2+b2+2ab,故可求得ab=5,

(2)由题意，需求多项式N+〃x+3与N-3x+加的乘积中的含有N和一项的代数式，若不存在，则N

和/项的系数为0,进而解决此题.

【完整解答】解：(1)・・・〃+6=6,

/.(。+6)2=36.

/.a2-^-b2+2ab=36.

XVt/W=26,

・・・26+2〃6=36.

••ctb=5.

/.(a-b)2=a2+b2-2ab=26-10=16.

.'.a-b=±4.

(2)(x2+«x+3)(x2-3x+m)

=x4-3x3+mx2+nx3-3nx2+mnx+3x2-9x+3m

=/+(n-3)x3+(m-3〃+3)x2+(mn-9)x+3m.

多项式x2+nx+3与N-3x+冽的乘积中不含有x2和R项，

・"-3=0,m-3〃+3=0.

••JTl~~6>Yl~~3.

冽+“=6+3=9.

16.(2021春•皇姑区期末)若x满足(x-4)(%-9)=6,求(%-4)2+(%-9)2的值.阅读下面求解的

方法：

解：设(x-4)=a,(x-9)=b,贝Iab=(x-4)(x-9)=6,a-b=(x-4)-(x-9)=5

2

二(X-4)+(X-9)2=。2+〃=(a_b)2+206=52+2X6=37.

请仿照上面的方法求解下面的问题：

（1）若X满足（x-2）（X-5）=10,求（X-2）2+（X-5）2的值；

（2）如图，正方形48CD中，E、尸分别是40、。。上的点，且4E=1,CF=3,长方形EA/FD的面积

是15,分别以板、。厂为边作正方形，若/D=x,贝U

①DE=x-1,DF=x-3（用含x的代数式表示）；

②直接写出图中阴影部分的面积.

【思路引导】(1)根据材料方法，即可求出(x-2)2+G-5)』29；

(2)①由图直接可得；

②由长方形EMFD的面积是15,得(x-1)(x-3)=15,再算(x-1+x-3)2=(x-1-x+3)2+4(x

-1)(x-3)=2?+4X15=64,即可求出尤-1+无-3=8,再由(x-1)2-(x-3)2—2(x-1+x-3)

即可求出阴影部分面积.

【完整解答】解：(1)设(尤-2)=a,(x_5)=b,则a6=(x-2)(x-5)=10,a~b=(尤-2)-

(x-5)=3,

(x-2)2+(x-5)2=a2+b2=(a-b)2+2aZ)=32+2X10=29；

(2)①•.,/£1=：!,CF=3,正方形4BCD边长为x,

:.DE=x-LDF=x-3.

故答案为：x-1,x-3；

②•.,长方形EMFD的面积是15,

(x-1)(x-3)=15,

设x-l=a,x-3—b,则。6=15,a-b—1,

/.(x-1+x-3)2(a+b)2=(a-6)2+4aZ?=22+4X15=64,

•；a20,620,

.,.x-1+x-3=a+b=S,

阴影部分面积为(龙-1)2-(x-3)2=a2-b2=(a+6)(a-b)=16.

17.(2021春•南海区期末)在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨.

(1)若a6=30,a+b=10,贝1」4+62的值为40.

(2)“若y满足(40-y)(y-20)=50,求(40-y)2+(y-20)2的值”.

阅读以下解法，并解决相应问题.

解：设40-y=a,y-20=b

则a+6=(40-y)+(y-20)=20

ab=(40-7)3-20)=50

这样就可以利用(1)的方法进行求值了.

若x满足(40-x)(%-20)=-10,求(40-x)2+(x-20)，的值.

(3)若x满足(30+x)(20+x)=10,求(30+x)2+(20+x),的值.

【思路引导】(1)先将等式。+6=10两边平方，再将。6=30代入即可；

(2)设40-y=a,y-20=6,可得：a+6=20,ab=50,再根据完全平方公式即可求解;

(3)设30+x=a,20+x=b,则a6=10,a-6=10,再根据完全平方公式即可求解.

【完整解答】解：(芯-：a+b=10,

：.(a+6)2=100,

BPa2+2ab+b2=100,

将ab=30,代入得：aW+2X30=100,

.\aW=100-60=40,

故答案为40.

(2)设40-x=a,x-20=6,

贝！1(40-x)(x-20)=ab=-10,

'：a+b=(40-x)+(x-20)=20,

(40-x)2+(x-20)2

=a2+b2

=(a+6)2-lab

=202-2X(-10)

420.

(3)设30+x=a,20+x=6,

则(30+无)(20+x)=ab=W,

'.'a-b—(30+x)-(20+x)=10,

(30+x)2+(20+x)2

=a2+b2

—(a-b)2+2ab

=102+2X10

=120.

18.（2021春•丹阳市期末）如图，有长为〃?，宽为"的长方形卡片N（〃?>〃），边长为加的正方形卡片3,

边长为〃的正方形卡片C,将卡片C按如图1放置于卡片/上，其未叠合部分（阴影）面积为矫，将卡

片/按如图2放置于卡片2上，其未叠合部分（阴影）面积为S2.

（1）Sy=mn-n2,S,=m2-mn；（用含加、〃的代数式表示）

（2）若$+52=18,则图3中阴影部分的面积、=18；

（3）若m-n=6,mn—10,求图4中阴影部分的面积S4.

【思路引导】（1）如图1,阴影面积&=卡面/面积-卡片C面积；

如图2,阴影面积$2=卡片8面积-卡片/面积；

（2）如图3,阴影面积$3=卡片8面积-卡片。面积=笳-",而由己知$+$2=18,可解出18=51+5,2

=m2-n2,即可依此解答；

(3)由于已知若冽-〃=6,mn—10,有代数式加-〃，mn,所以在运算S4过程中出现：—Cm2+n2

2

+mn)=-^-[(m-n)2+3m«],要转化成冽-小mn,才能用已知条件的数值代入.

【完整解答】解：卡片4面积=加小卡片5面积=加2,卡片。面积=",

(1)5i=A-C=mn-n2,

2

S2=B-A=m-mn,

故答案为：mn-n2,m2-mn,

(2)Sx=mn-n2,S?=--mn,

/.S]+S2=(mn-H2)+(加2-mn),

81+82=加2-S，

VSI+52=18,

m2-〃2=18

:・S3=B-C=m2-n2=18,

故答案为：18,

(3)S^ABC=—BC*AC=—m(加+九),

22

S梯形4co(〃+加+〃)n~~~~n(2〃+加),

22

S4BDE=—n(冽+n)，

2

m4

BwCn~D

图4

-

图4中阴影部分的面积S4=S四边形/3QES2BDE

-

=(SA248c+S梯形4CZ>E)S^BDE

=—m(m+n)+—n(2n+m)--n(加+〃)

222

=—1m2+—1n2+—1mn

222

=—(m2+n2+mn)

2

=-^-[（m-n'）2+?>mri\

\"m-n—6,mn—10,

.\54=-^-[（%-”）2+3mn]

=A（62+3X10）

2

=33,

答：图4中阴影部分的面积S4是33.

19.（2021春•新邵县期末）如图，它是一个长为2加，宽为2〃的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小

长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形.

（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长为（m-n）

（2）请用两种不同的方法表示图（2）阴影部分的面积；

方法一：（〃？-"）2m2方法二：[（加+”）2-4加"]加2

（3）观察图（2）,写出三个代数式：（加+〃）2,（m-n）2,加〃之间的等量关系.

（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+6=7,ab=5,求（a-b）2的值.

【思路引导】（1）根据线段的和差关系即可求解；

（2）根据（1）中的结果即可得出答案；

（3）先根据（2）的结果进行变形，再代入求出即可.

【完整解答】解：（1）图中阴影部分的正方形边长为（机-〃）.

故答案为：（加-"）；

（2）方法一：：图2中阴影部分为正方形边长为：（加-〃）m,

.•.图2中阴影部分的面积是：（加-“）2加2

方法二：图2中阴影部分的面积=边长为（加+"）的正方形的面积-4个小长方形的面积和

即：[（%+〃）2-4mn]m2

（3）关系为：（加-〃）2=（加+〃）2-4mn（4）；

*.*(m-n)2=(加+〃)2-4mn；

2

・••有Ca-b)2=(a+b)-4ab

又•.•4+6=7,ab—5

：.(a-b)2=(a+b)2-4仍=72-4X5=49-20=29.

20.（2021春•泰兴市期末）已知（x+y）2=25,（x-y）2=1,求N+俨与孙的值.

【思路引导】已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求式子的值.

【完整解答】解：:（x+y）2=N+2盯+y=25①，（x-y）2=N-2盯+产=1②,

・,•①+②得：2(N+yZ)=26,即N+y2=13；

①-②得：49=24,即孙=6.

21.(2021春•宽城县期末）若我们规定三角“△表不为：abc；方框表示为:

5切"）.例如：/93\|2______4=1><19><3+（24+3D=3.请根据这个规定解答下列问题:

【思路引导】（1）根据新定义运算代入数据计算即可求解；

（2）根据新定义运算代入数据计算，再根据完全平方式的定义即可求解;

（3）根据新定义运算代入数据得到关于x的方程，解方程即可求解.

【完整解答】解：（1）

=[2X(-3)Xl]4-[(-1)4+3)

=-6+4

3

2

故答案为：-—;

2

=[x2+(3y)2]+xk*2y

2左=±6,

解得左=土3.

故答案为：±3；

(3)为X-23X+A出幽老31=6X2+7,

(3x-2)(3x+2)-[(x+2)(3x-2)+32]=6x2+7,

解得x=-4.

22.(2020秋•盐池县期末)回答下列问题

(1)填空：x2+-l-=(x+L)2-2=(X-L)2+2

x2xX

(2)若0+工=5,则。2+工=23；

2-----

aa

(3)若。2-3。+1=0,求02+二3的值.

A

【思路引导】(1)根据完全平方公式进行解答即可；

(2)根据完全平方公式进行解答；

(3)先根据02-3a+l=0求出0+工=3,然后根据完全平方公式求解即可.

a

【完整解答】解：(1)2、2.

(2)23.

(3)*.*cfi-3tz+l—0

两边同除〃得：a-3+—=0,

a

移项得：—3,

a

tz2+—（ti+—）2-2—7.

2a

a4

23.（2018秋•宁城县期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式,

例如图1可以得到（a+6）2=a2+2ab+b2,请解答下列问题:

（1）写出图2中所表示的数学等式（a+6+c）2=a2+62+c2+2"+2ac+26c

（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式.

（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：

若a+b+c=10,ab+ac+bc=35,贝!Ja2+b2+c2=30.

（4）小明同学用图3中x张边长为q的正方形，y张边长为6的正方形z张边长分别为〃、6的长方形纸

片拼出一个面积为（5Q+76）（9Q+46）长方形，则x+”+z=156.

【思路引导】（1）依据正方形的面积=（a+b+c）2；正方形的面积=层+62+02+246+2〃0+2儿，可得等式;

(2)运用多项式乘多项式进行计算即可；

(3)依据〃2+b2+/=(q+6+c)2-2ab-2ac-2bc,进行计算即可；

(4)依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab,而(5a+7b)(9Q+4b)=45a2+20ab+63ab+28〃=

45a2+28炉+83打，即可得到x,y,z的值.

【完整解答】解：(1):正方形的面积=(a+b+c)2；正方形的面积=q2+b2+c2+2ab+2qc+26c.

/.(a+b+c)2=c^+t^+c^+lab+lac+lbc.

故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

(2)证明：(a+b+c)(a+b+c),

=c^+ab+ac+ab+t^+bc+ac+bc+c1,

=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

(3)a1+b1+c1=(a+b+c)2-lab-lac-26c,

=1。2_2(ab+ac+bc),

=100-2X35,

=30.

故答案为：30；

(4)由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab,

*.*(5a+7b)(9a+46),

=45层+20仍+63仍+28〃，

=454+2862+83口,

.'.x=45,y=28,z=83.

.•.x+y+z=45+28+83=156.

故答案为：156.

24.(2019春•正定县期中)你能化简(。-1)(Q99+Q98+Q97+…+。2+。+1)吗？

我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论.

(1)先填空(6Z-1)(6Z+1)—6Z2-1；(Q-1)(。2+。+1)=。-1;(Q-1)(6Z3+d!2+d!+1)=Q

-1；…

由此猜想：(。-1)(。99+济8+。97+・・・+。2+。+1)=屋00一1

(2)利用这个结论，请你解决下面的问题：

①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；

②若Q7+Q6+Q5+Q4+Q3+Q2+Q+]=0,则°等于多少？

【思路引导】(1)原式利用多项式乘多项式法则计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，写出即可；

(2)各项变形后，利用得出的规律计算即可得到结果.

【完整解答】解(1)：(〃-1)(〃+1)—a2-1；(a-1)(a2+tz+l)—tz3-1；(a-1)(a3+a2+a+l)—a4-

1；…

由此猜想：(a-1)(a99+。98+产+・・・+〃2+4+1)=a100_1;

故答案为：a2-1；a3-1；a4-1；a100-1；

(2)①•・•(2-1)(2199+2198+2197+---+22+2+l)=2200-1,

...2199+2198+2197+…+22+2+1=220°-1;

J65432

②,.,Q8-I=(a-1)(,a+a+a+a+a+a+a+l)=0,即〃=1,

・・.Q=±1,

当a—\时,aJ+a6+a5+a4+ai+a2+a+1=0不成立，

•