2023-2024学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.在空间直角坐标系O-xyz中，点（1,1,2）到坐标原点。的距离为（）

A."B.A/3C.A/6D.也

2.一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为

A.4B.5C.9D.20

3.椭圆卷+9=1的长轴长是（）

A.2B.3C.4D.6

4.已知在10件产品中有2件次品，现从这10件产品中任取3件，用X表示取得次品的件数，贝IJP（X=1）=

r,1厂1厂2厂2厂1

D也

A.kB.-73—C.-73—D-匾

「ioGoCi。

5.圆Cl：X2+、2=1与圆。2：（久一3）2+y2=9的位置关系是（）

A,外切B.内含C.相交D.外离

6.已知m=（1,2,4）,Ji=（2,1,x）分别为直线a,6的一个方向向量，且a1b,则久=（）

A.1B.-1C.2D.-2

7.设小明乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4.汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.7,

0.9,则小明正点到达目的地的概率为（）

A.0.78B,0.82C,0.87D,0.49

8.已知点P（3,4）,A,B是圆C：/+*=4上的两个动点，且满足=2,M为线段4B的中点，则|PM|

的最大值为（）

A.S-邓B.5+^/3C.3D.7

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：

月份编号x12345

销量y（万件）5096142185227

若y与x线性相关，其线性回归方程为y=+7.1,则下列说法正确的是（）

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A.线性回归方程必过(3,140)B.b=44.3

C.相关系数r<0D,6月份的服装销量一定为272.9万件

10.某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X〜N(3.5,0.25),则下列结论正确的是()

A.该正态分布的均值为3.5B.P(X>3.5)=|

C.P(4<X<4.5)>|D.P(X>4.5)=P(XW3)

11.已知双曲线M：9—卷=1，则下列说法正确的是()

A.M的离心率e=亨B.M的渐近线方程为3x+2y=0

C.M的焦距为6D.M的焦点到渐近线的距离为3

12.如图，在棱长为2的正方体4BCD-AiaCiDi中，E,F分别为D£)i，3比的中点，则下列选项正确的是

()5G

A.直线FQ与直线2E平行

B.直线FCi与底面4BCD所成的角为30°

C.直线FCi与直线4E的距离为^^

AB

D.直线FCi到平面4BF的距离为|

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知直线小3x-4y+5=0,l2：3x-4y-10=0,则A与％的距离为一

14.(久+2尸展开式中含壮项的系数等于.

15.用0,2,4,6,8这5个数字，组成没有重复数字的三位数的个数为一――(用数字作答).

16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光

线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆^4-£=l(a〉6>0)的左、右焦点分别

为Fi，F2,若从M右焦点&发出的光线经过M上的点a和点B反射后,满足AB1AD,^cosZ-ABC=则

M的离心率为______.

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题10分)

已知直线h：x-2y+3=0与直线%：%+2y-5=0相交于点A.

(1)求点/的坐标；

7T

(2)求过点4且倾斜角为4的直线I的方程.

18.(本小题12分)

2021年5月31日，中共中央政治局召开会议，审议《关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》并

指出，为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施.某市为了解政策开放

后已婚女性生育三孩意愿的情况，选取“70后”和“80后”已婚女性作为调查对象，随机调查了100位，

得到数据如表：

生育三孩意愿无生育三孩意愿合计

“70后”30X45

“80后”y1055

合计7525100

(1)请根据题目信息，依据2x2列联表中的数据求出x,y的值；

(2)根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“已婚女性生育三孩意愿与年龄有关”，并说明理由.参考

在平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知直线I：y=x-1与抛物线C：必=以相交于a,吕两点.

(1)求C的焦点坐标及准线方程；

(2)求△04B的面积.

20.(本小题12分)

某校高二(1)班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准备了10张相同的卡片，其中只在6张卡片上印有

“奖”字.

(1)采取放回抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数X的分布列、数学期望及方

差；

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(2)采取不放回抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到

未印有“奖”字卡片的概率.

21.(本小题12分)

TT

如图，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，N4BC=2,AAt=1,AB=BC=2,点E,M分另1J为BC,HE的中

点.

⑴求二面角A—CiE—C的余弦值；

(2)若点G满足京=2GM,求直线与直线CG所成角的正弦值.

22.(本小题12分)

已知椭圆E：今+y2=l(a>1)的上顶点为4右顶点为B,直线48与直线x+2y=0平行.过点P(—1,0)且

斜率为依因<1)的直线2与E相交于C,D两点.

(1)求E的方程；

(2)记直线4C,2。的斜率分别为的，七，求|任一句的最小值.

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参考答案

l.c

2.C

3.0

4.B

5.C

6.B

7.4

8.B

9sB

IQ.AB

11.ABD

12.ACD

13.3

14.24

15.48

16;

17.解：⑴咪%解需三；

故4(1,2)；

7T

(2)过点2(1,2)且直线的倾斜角为I的直线方程为y-2=(x-l),整理得x-y+1=0.

18.解：⑴由2X2列联表中的数据可知，x=45-30=15,y=55-10=45；

(2)2x2列联表如下：

生育三孩意愿无生育三孩意愿合计

“70后”301545

“80后”451055

合计7525100

因为依=I%'%?""黑⑸2〜3.03。＞2,706,

所以没有90%以上的把握认为“已婚女性生育三孩意愿与年龄有关”.

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19.解：(1)由抛物线C的方程y=4%得，p=2,

所以焦点坐标为(1,0),准线方程为“=-1；

(2)设4(*1,%),8(>2,丫2)，

联立直线Z与抛物线C的方程消去y并整理得，%2-6%+1=0,

贝！U1+%2=6,%1%2=1，

所以=V1+fe2-+%2)2—4%1久2

=y/1+1x^/62—4=8,

点。到直线珀勺距离d=孝，

所以S44OB=]|AB[xd=x8x=2^/2,

△。/IB的面积为2避.

20.解：(1)解：由题意可知，X〜B(3,|),

则P(X=0)=。)3=荔P(X=1)=玛•|・。)2=需，

P(X=幻=鬣•弓产.卜耗P(X=3)=(|)3=冬,

所以，随机变量X的分布列如下表所示:

X0123

8365427

P

125125125125

所以£(X)=3x|=1,Z)(X)=3x|x|=if；

(2)解：记事件4第一次抽到印有“奖”字卡片，事件8：第三次抽到未印有“奖”字卡片，

…636x4x84

则P(4)=I5=*P(4B)=岛=1?

1UD810X3

由条件概率公式可得P(B|4)=，罂)=2X1=*

所以，在第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率为*

21.1?：(1)在直三棱柱ABC—AiBiCi中，BBil平面ABC/2BC=全

以点B为坐标原点，BC、BA,BBi所在直线分别为x,y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

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由题意,4(0,2,0)、C(2,0,0)、G(2,0,l)、E(l,0,0),

设平面4C1E的法向量为何=Q,y,z),丽=(—1,2,0),阮=(1,0,1),

.(m-EA=—x+2y=0„,,一一

则匕.万六一K+Z—O'取％=2，可侍6=(2,1,-2)，

\IILJDL*1—A.T4—U

易知平面CQE的一个法向量为元=(0,1,0),贝kos<m,n>=2n2=

\m\•\n\3

由图可知，二面角A-CiE-C的平面角为钝角，

故二面角4-CiE-C的余弦值为一最

-1

(2)易知41(0,2,1)、8(0。0)、的(2。1)、M(-,l,0),

点G满足C]G=2GM,则C]G=I,CiM=^1,—1)=(-1,一日),

则万=CQ+C^=(0,0,1)+(-1,|-|)=(-1,辅，且两=(0,2,1),

所以cos(瓦?1，花〉=嵩第=下餐=备'

则sinM，硒=Jl—cos2〈丽;，丽==噜，

因此，直线与直线CG所成角的正弦值为嗜.

22.解：(1)由题意可知点4(0,1)、B(a,0),直线久+2y=0的斜率为一最

因为直线与直线x+2y-0平行,

则%B=7^—=--=一4，解得a=2,

0—aa2

7

因此，椭圆E的方程为与+产=1.

(2)设点C