2020-2024年高考数学试题分类汇编：复数（解析版）

与题09要檄延3小考焦精淮称+精送模枢株）

5年考情•探规律

5年考情

考题示例考点分析

2024年秋考9题复数概念及四则运算

2024年春考3题共施复数

2023秋考6题复数的基本运算

2023春考11题复数的三角形式以及三角恒等变换

2022秋考1题共粗复数

2022春考1题共根复数

2021年秋考1题复数的加减运算

2021年春考2题共粗复数、复数的模

2020年秋考3题复数模的求法

2020年春考4题共粗复数、复数的运算

■——

5年真题•分点精准练

共甄复数（共5小题）

1.（2023•上海）已知4，22£。且4=泊《为虚数单位），满足|z「1|=1,贝1Ji4-z2|的取值范围为—[02

2+@_.

（祥解』引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解.

【解答】解：设Zi-l=cose+，sin。，贝U4=l+cose+isin。，

因为4=，•Z2,所以Z?=sin8+z（cos8+1）,

所以14—Z21=AJ（COS-sin+1）2+（sin0-cos0-1）2

=J2[^sin（（9--）-l]2=拒|应sin（。一二）一1|，

V44

显然当sin（e-工）=变时，原式取最小值0,

42

当sin（e-?）=-l时，原式取最大值2+0,

故I4—21的取值范围为[0,2+衣.

故答案为：[0,2+72].

【点评】本题考查复数的三角形式以及三角恒等变换，同时考查了复数的模长公式，属于中档题.

2.（2022•上海）已知z=l+i（其中，为虚数单位），则25=_2-2i_.

K祥解I直接利用共辗复数的概念得答案.

【解答】解：z=l+i,贝i]5=l—i,所以25=2—2〉

故答案为：2-21.

【点评】本题考查了共辗复数的概念，是基础题.

3.（2022•上海）已知z=2+i（其中i为虚数单位），则彳=_2-z_.

（祥解》根据已知条件，结合共轨复数的概念，即可求解.

【解答】解：,.•z=2+》，

••z=2i•

故答案为：2-i.

【点评】本题主要考查共朝复数的概念，属于基础题.

4.（2021•上海）已知z=l-3i,则|5-R=_6_.

K祥解X由已知求得乞-i,再由复数模的计算公式求解.

【解答】解：z=l-3i,

z—z=1+3z—z=1+2z,

贝lj|5-i|=|l+2i|=JF+2?=百.

故答案为：石.

【点评】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题.

5.（2020•上海）已知复数z满足z+22=6+i,则z的实部为2.

K祥解力设2=々+次，（。,力.根据复数z满足z+2彳=6+/,利用复数的运算法则、复数相等即可得

出.

【解答】解：设z=a+庆，（a,bwR）.

•.­复数z满足z+2N=6+i,

:.3a-bi=6+i,

可得：3a=6,—b=1,解得a=2,b——\>

则Z的实部为2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

二.复数的运算（共4小题）

7

6.（2024•上海）已知虚数z,其实部为1,且Z+4=M（〃ZWR）,则实数加为2

z

（祥解》根据已知条件，结合复数的概念，以及复数的四则运算，即可求解.

【解答】解：虚数Z,其实部为1,

则可设Z=l+砥6/0）,

所以z+-=l+bi-\——--=l+bi+~把=1-1—+"6，因为〃zeR,

z\+bi1+b2\+b21+b2

所以6---=0，解得b=±1,

1+b2

2

所以机=1+——-=1+1=2.

1+b2

故答案为：2.

【点评】本题主要考查复数的概念，以及复数的四则运算，属于基础题.

7.（2024•上海）已知二」=’•，则2=-1-i.

l+i一一

K祥解X利用复数的运算性质以及共轨复数的定义化简即可求解.

【解答】解：由题意可得z=力（1+，）=-1+i,

所以

故答案为：-.

【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到共辗复数的求解，属于基础题.

8.（2023•上海）己知复数z=l-z々为虚数单位），则|1+泛|=_6_.

K祥解》根据复数的基本运算，即可求解.

【解答】解：z=1-/•,

.--I1+iz1=11+i（l-z）1=12+z|=j5.

故答案为：也.

【点评】本题考查复数的基本运算，属基础题.

9.（2020•上海）已知复数z=l-2i（z•为虚数单位），则|Z|=_A/^_.

（祥解』由已知直接利用复数模的计算公式求解.

【解答】解：由z=l—2八得|z|=J『+（—2）2=遥.

故答案为：芯.

【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题.

三.复数的加、减运算及其几何意义（共1小题）

10.（2021•上海）已知Z]=l+i,z2=2+3«,求q+z?=_3+4i_.

（祥解I直接根据复数的运算性质，求出4+z?即可.

【解答】解：因为Z]=1+，，z2=2+31,

所以4+z2=3+41.

故答案为：3+4/.

【点评】本题考查了复数的加法运算，属基础题.

1年模拟•精选模考题

一.选择题（共2小题）

1.（2024•长宁区二模）设zeC,贝U“z=彳”是“zwR”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

K祥解R结合复数的基本概念，分别检验充分及必要性即可.

【解答】解：设2=“+友，a,b&R）,

由z=5可得友=a-沅，即人=0,此时z=aeR,充分性成立，

当zeR时，即2=〃，则5=a,满足z=5,即必要性成立.

故选：C.

【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了复数的基本概念，属于基础题.

4

2.（2024•浦东新区校级模拟）"是“复数Z=（32）+（加-1»在复平面内对应的点位于第四象

3

限”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

K祥解X根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解.

【解答】解：复数Z=（3〃L2）+（m-l）i在复平面内对应的点位于第四象限，

.（3m—2>05,口2

则\,解得—<根<1,

[m-1<03

94

（-,l）U（0,-）,

则是“复数Z=（3机-2）+（利-）在复平面内对应的点位于第四象限”的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

二.填空题（共29小题）

3.（2024•松江区二模）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1,2）,贝iJi-z=_-2+i_.

K祥解》根据复数的运算性质计算即可.

【解答】解：由题意得：z=1+2z,

^Liz=i（l+2i）=-2+i,

故答案为：—2+z.

【点评】本题考查了复数的运算，是基础题.

4.（2024•杨浦区校级三模）对于复数z=l+2，（i是虚数单位），Imz=2.

K祥解》由己知直接利用虚部的概念得答案.

【解答】解：•.•复数z=l+22

Imz=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题.

5.（2024•宝山区校级四模）设复数z满足z?=3+4迫是虚数单位），则z的模为

K祥解》直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可.

【解答】解：复数z满足z?=3+4》，

可得|z||z|=|3+4i|=J32+4=5,

z|=A/5.

故答案为：后.

【点评】本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力.

6.（2024•闵行区校级模拟）若复数2=/_1+（〃一1）灯为虚数单位）为纯虚数，则实数〃=

K祥解》复数z为纯虚数，则它的实部为零，虚部不为零，可求。的值.

【解答】解：复数2="_1+（”一1）甲为虚数单位）为纯虚数，所以/_1=0,“—解得。=_1.

故答案为：-1.

【点评】本题考查复数的代数形式表示法及其几何意义，复数的分类，是基础题，常考题.

7.（2024•普陀区校级模拟）设复数z满足z+6=35+16i,则Iz|=5.

K祥解1设z=a+友，根据复数的共轨复数、复数相等列方程组解得a,b,再根据模长公式求解即可得

答案.

【解答】解：设z=a+Ma,8eR）,则。+友+6=3。一3Az,+16i,于是,“+63a,

[b=-3b+16

解得[则|Z|=，？+」=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查复数的共根复数、复数相等，属于基础题.

8.（2024•闵行区三模）己知i为虚数单位，复数z=i（l+3i）,则|洲=_9_.

K祥解》根据复数的乘法运算求得z=-3+i,可得彳，根据复数模的计算即得答案.

【解答】解：由z=i（l+3i）可得z=-3+7,

故N=-3-"

[*=J（_3）2+F=痴.

故答案为：Tie.

【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题.

9.（2024•普陀区校级三模）设复数z的共朝复数为7,若l-3»=2z-彳，则|z|=_^

（祥解》结合共轨复数的定义，以及复数模公式，即可求解.

【解答】解：设Z=Q+砥A）,

贝Iz=a—bi.

因为l—3i=2z—N,所以1+a—4=2。+（2b+3».

4+1=2〃

易得

-b=2b+3

tz—1

解得

b=-\'

所以z=l-i,所以|z|=^2.

故答案为：5/2.

【点评】本题考查复数的运算，要求考生了解复数的概念，了解复数的模的概念，属于基础题.

10.（2024•闵行区校级三模）已知复数z=i（2+3i）（i为虚数单位），贝Ijz的实部为_-3_.

K祥解X先对z化简，再结合实部的定义，即可求解.

【解答】解：z=i（2+3z）=-3+2z,其实部为一3.

故答案为：-3.

【点评】本题主要考查复数的概念，属于基础题.

0-；

11.（2024•闵行区校级三模）已知复数2=土」（i为虚数单位），则彳=_-L+2i_.

i

（祥解》结合复数的四则运算，以及复数的概念，即可求解.

【解答】解：z^-=-l-2i,

i

贝”=-l+2i.

故答案为：-1+2/.

【点评】本题考查复数的运算，属于基础题.

12.（2024•浦东新区校级模拟）复数z=上二，则zN=1.

3+4z—5—

K祥解X结合复数的性质，即可求解.

【解答】解：z=9,

3+4Z

|l+2z|A/5

则|z|==

\3+4i\~~5~

故z•N=|z『=一.

5

故答案为：

5

【点评】本题主要考查复数模的性质，属于基础题.

13.（2024•青浦区校级模拟）i为虚数单位，则|—|=叵

1+i—2

K祥解》根据已知条件，结合复数模公式，即可求解.

2-尸2+i|2+〃6M

【解答】解:

1+i~T+i~+

故答案为:萼

【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题.

14.（2024•浦东新区校级模拟）已知复数z满足（l+i）.z=4i（i为虚数单位），贝!|z的模为_2&

（祥解》利用复数的运算法则及其性质即可得出.

【解答】解:复数z满足（l+i）.z=4位为虚数单位），

.-.(1-0(1+z)«z=4z(l-0,贝！1z=2z.+2.

则|z|=A/22+22=2A/2.

故答案为：20.

【点评】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

15.（2024•普陀区模拟）已知复数z=l+i,其中i为虚数单位，则彳在复平面内所对应的点的坐标为

（1,-1）

（祥解》求出复数z的共辗复数，进而可得点的坐标.

【解答】解：由题意，复数彳=1-力，在复平面内所对应的点的坐标为（1,-1）.

故答案为：

【点评】本题考查复数的几何意义，属于基础题.

16.（2024•闵行区二模）己知复数z满足（2+i）z=3+4i（i为虚数单位），则|z|=_e

K祥解》根据复数的除法运算和模的定义求解.

■区乃冰、々刀।/曰3+4，（3+41）（2—I）10+5，.

【解答】解：由（2+山=3+4得2=-----=-------——-=-----=2+1,

2+i（2+z）（2-05

所以|z|=J?TT=若.

故答案为：逐.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题.

17.(2024•浦东新区校级模拟)设i为虚数单位，若复数(1+以1+出)是纯虚数，则实数1

K祥解X先化简复数，再利用复数的相关概念求解.

［解答］解：复数(1+0(1+ai)=(1-a)+(a+l)z,

因为复数(1+0(1+ai)是纯虚数，

所以［解得。=1.

［a+1w0

故答案为：1.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题.

18.(2024•嘉定区校级模拟)已知复数z满足(g+i)z=|若-i|(i是虚数单位)，贝ijz=@一L

一22

(祥解』结合复数模公式，以及复数的四则运算，即可求解.

【解答】解：(G+i)z斗G-J|=J(G)2+(-1)2=2,

叫.220).栏1

一g+1(6+i)(由-i)一22'

故答案为：^--i.

22

【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的四则运算，属于基础题.

34

19.(2024•浦东新区校级三模)i是虚数单位，若复数z满足(3-4i)z=5,则z=_：+/

K祥解』直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

5_5(3+4。34.

【解答】解：由(3—4i)z=5,得—+—1

3-4z-(3-4z)(3+4z)55

故答案为：—+—/.

55

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题.

20.(2023•杨浦区二模)复数上也的虚部是—.

3-4z-25一

K祥解』根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解.

3+4/(3+41)2724.其虚部为II.

【解答】解:--------------=------1---1

3—4,(3-4z)(3+4/)2525

故答案为：—

25

【点评】本题主要考查合复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题.

21.（2024•松江区校级模拟）若复数z满足5（l-i）=l+3i,i为虚数单位，则z=_-l-2z._.

k祥解』根据复数的除法运算求解.

【解答】解：由题意，F=—=（1+30（1+0=-1+2/,

1-Z（1-0（1+0

贝1z=—l-27.

故答案为：-l-2z.

【点评】本题考查复数的运算，属于基础题.

22.（2024•金山区二模）已知复数z满足z+25=3-贝丘的模为—夜

K祥解》根据共轨复数和复数相等的概念求得z=l+i,即可求解.

【解答】解：设z=a+6i,a,。为实数，则N=

所以z+22=a+bi+2a—2bi=3a—bi=3—i,

所以a=l,b=l>

所以z=l+i,z=\-i,贝！］|济=夜.

故答案为：y/2.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题.

23.（2024•徐汇区模拟）已知复数z=±1（i为虚数单位），则z・C=2.

i

K祥解》首先求出复数z的共轨复数，进一步求出结果.

【解答】解：复数2=?=W=-iT，

ii

故N=

所以z-2=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查的知识点：复数的运算，共轨复数，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

24.（2024•嘉定区校级模拟）若复数2=（〃7+1）+（2-加»（机€尺）是纯虚数，贝!］心=_-1_.

K祥解X直接利用复数的定义的应用求出结果.

【解答】解：复数z=O+l）+（2-〃z）i（meR）是纯虚数，

则〃工+1=0,

解得m=—l.

故答案为：-1.

【点评】本题考查的知识要点：复数的定义，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础

题.

25.（2024・浦东新区校级四模）已知方程_?一2%+0=05€夫）的一个根是1+8«是虚数单位），则p=4

(祥解I由题意结合复数的性质可知，方程的另一个根为1-若7,然后结合方程的根与系数关系即可求解.

【解答】解：因为方程x2-2x+p=0(peR)的一个根是1+Gi,

所以另一个根为,

根据方程的根与系数关系可得，p=Q+百i)Q_6r)=4.

故答案为：4.

【点评】本题主要考查了方程的根与系数关系的应用，属于基础题.

zrZ2

26.(2024•杨浦区校级三模)在复平面xOy内，复数所对应的点分别为Z：Z2,对于下列四个式子：

①z；=|z/2；

②Iz/ZzRzJI&l；

③鬲、西『；

④|西・亚|=|西|.电I.

其中恒成立的是②③(写出所有恒成立式子的序号)

K祥解工设4=。+此z2=c+di,则43力，Z2(c,d),利用复数的乘法运算法则和复数的模判断①②；

利用向量数量积公式和向量的模判断③④.

4=

【解答】解：设。+初，z2=c+dif则Z](a,b),Z2(c,6?),

22|Zj|2=222

对于①,-a+b+2abi,a+b,/.Z11,故A错误；

对于②，z、.z?-{ac-bd)+(be+ad)i,

|Z1,z2|—个(ac-bd)2+(be+dzZ)2=+/d，+Z?2d2,

111222222222

|Zj|­|z2|=yja+b-yjc+d=y/ac+Z?c+ad+bd,

.14•Z21=|4|•|Z21,故②正确;

对于③，西=(。力)，.•.西2=/+/,|西|2="+从，故③正确；

对于④，OZ2=(c,d),OZX-OZ2=ac+dbf

212

/.|OZX-OZ21={(ac+bdY=y/c^c+bd+2acbd,

I西I.I运I二y/a2+b2•y/c2+d2=y/a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,

二.I西•区罔西|・|汉|,故O错误.

故答案为：②③.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查复数的乘法运算法则和复数的模、向量数量积公式和向量的模等

基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

27.(2024•宝山区三模)如图，在复平面内，复数4,Z2对应的向量分别是05,OB,则五=_-l+2z_.

Z2

K祥解可由图形得到复数4=-2-i,Z2=i,代入五，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【解答】解：由图可知，Z]=-2-，，z2=i,

2Z

A=Z^zi=(--y-)=_i+2z.

z2i-产

故答案为：—1+2z.

【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题.

28.(2024•浦东新区校级模拟)设关于尤的实系数方程炉-“