2020-2024年高考数学试题分类汇编：导数（解析版）

2020-2024年五年高考真题分类汇编

与敷14等教(其题3个考点精灌株+精选演秋株)

5年考情•探规律

5年考情

考题示例考点分析

2024年秋考21题基本不等式、极值、最值、导数的应用

2023春考21题

导数的综合应用

2022秋考18题抽象函数的性质应用

2022春考12题极限及其运算

5年真题•分点精准练

一.极限及其运算(共1小题)

1.(2022•上海)已知函数y=/(x)为定义域为R的奇函数，其图像关于x=l对称，且当xe(0,1]时，

/(x)=Inx，若将方程/(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为X],/，/、〃，则Hm(x〃+i-当)=2-

〃一>8

K祥解》/(X)是周期为4的周期函数，作出图像，lim(x用-七)的几何意义是两条渐近线之间的距离，由

M—>00

此能求出结果.

【解答】解：•.■函数y=/(x)为定义域为R的奇函数，其图像关于,c=1对称，且当x£(0,1］时，f(x)=Inx

是周期为4的周期函数，图像如图：

rijin

•Yiii*

将方程/(%)=x+l的正实数根从小到大依次记为M,x2,%3，...9Xn9

则-七)的几何意义是两条渐近线之间的距离2,

lim(x„+1-x„)=2.

n—>oo

1

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故答案为：2.

【点评】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图像、极限的几何意义等基础知识，考查运算求

解能力，是中档题.

二.利用导数研究函数的单调性(共1小题)

2.(2024•上海)对于一个函数和一个点M(a,6),定义s(x)=(x-a)2+(/(x)-6了，若存在尸(%,/(x0)),

使s(x0)是s(x)的最小值，则称点尸是函数/(x)到点"的“最近点”.

(1)对于/(x)=L(x>0),求证：对于点"(0,0),存在点尸，使得点尸是〃x)到点M的“最近点”；

(2)对于/(尤)=",/(1,0),请判断是否存在一个点尸，它是〃x)到点〃的“最近点”，且直线与/(x)

在点尸处的切线垂直；

(3)已知/(x)存在导函数f'(x),函数g(x)恒大于零,对于点点监(f+1，f(t)+g(t))>

若对任意twR,存在点P同时是/(x)到点Mx与点M2的“最近点”，试判断〃x)的单调性.

K祥解R(1)代入/(0,0),利用基本不等式即可；

(2)由题得s(无)=(x-l)2+e2，，利用导函数得到其最小值，则得到P,再证明直线与切线垂直即可；

(3)根据题意得到.(%)=52，(%)=0,对两等式化简得/'(%)=-—匚，再利用“最近点”的定义得到不等

g(0

式组，即可证明/=入最后得到函数单调性.

【解答】解：(1)当M(0,0)时，5(x)=(x-0)2+(--0)2=X2+-^...2,X2~=2,

XX\X

当且仅当V=与即X=1时取等号,

X

故对于点A/(0,0),存在点P(l,l),

使得该点是Af(0,0)在的“最近点”；

(2)由题设可得s(x)=(x-以+(/-0)2=(x-以+e2x,

则s'(x)=2(x-l)+2e3因为y=2(x-l),y=2/工均为尺上单调递增函数,

则s'(x)=2(x-1)+2e2%在R上为严格增函数，

而s'(0)=0,故当x<0时，s<x)<0,当x>0时，s[x)>0,

故s(x)加“=s(0)=2,此时尸(0,1),

Wf'(x)=ex,k=f'(O)~1,故f(x)在点尸处的切线方程为y=x+l,

0-1

\^\k=--=-1,故如.•左=-1，故直线与y=〃x)在点尸处的切线垂直•

MP1-0

(3)设1(x)=(xT+1)2+(/(x)-/(/)+g(f))2,

S2(X)=(尤T-1)2+(/(X)-/(0-g(f))2,

2

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而1(x)=2(x-7+1)+2(/(x)-f(t)+g⑺)/'(x)，

ST(X)=2(X-Z-1)+2(/(X)-,

若对任意的feR,存在点尸同时是〃；，A/?在〃x)的''最近点”，

设P(x(),y0),则/既是S](x)的最小值点，也是S2(x)的最小值点,

因为两函数的定义域均为R,则%也是两函数的极小值点，

则存在使得Sr(x())=S2，(Xo)=0,

即“(%)=2(%T+1)+2r(x°)[/(x0)-/(0+g⑺]=0，①

“(%)=2(x°—-1)+2r(%)[/(%)-f(t)-g«)]=0,②

由①②相等得4+4g«)./<%)=。即1+/'(%)g(f)=0，

即/(%)=-▲,又因为函数g(x)在定义域火上恒正，

g(。

则/Vo)=-一二＜0恒成立，

g(0

接下来证明/=:,

因为X。既是SI(x)的最小值点，也是s?(x)的最小值点,

则1(%)„S«)，52(xo)„5(0,

2

即(X0-t+I)+(/(X0)-/(O+g(。)；,1+(g(f)>，③

(X。T一I)?+(/(X0)-/(/)-g(f))2„1+(g(/))2,④

③+④得2(x0-)2+2+2[/(x0)-/■(52+2g2⑺”2+2g2⑺,

即(％-)2+(/(%)-/(OR,0，因为(%-)2...0,(/(%)1%)咒0

则°，解得X。=/,

/(^o)-/(O=o°

则/0)=——1—＜0恒成立，因为r的任意性，则“X)严格单调递减.

g(0

【点评】本题考查基本不等式，极值、最值的求解，导数的应用等，属于难题.

三.利用导数研究函数的最值(共1小题)

3.(2023•上海)已知函数/'(%)=+1)/+工，g(x)=kx+m(其中a..O,k,meR),若任意xe[0,

1]均有/(x),g(x),则称函数＞=8。)是函数y=f(x)的“控制函数”，且对所有满足条件的函数y=g(x)在

x处取得的最小值记为『(x).

(1)若。=2,g(x)=x,试判断函数y=g(x)是否为函数y=〃x)的“控制函数”，并说明理由;

⑵若八°'曲线y=/(x)在处的切线为直线＞=3)’证明：函数＞=3)为函数片〃x)的“控

3

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制函数”，并求了勺)的值；

(3)若曲线y=/(x)在x=%,与e(0,1)处的切线过点(1,0),且ce[x(),1],证明：当且仅当c=x0或c=l

时，f(c)=/(c).

K祥解U(1)设h(x)=f(x)~g(x)=2x3—3尤2,h'(x)=6x2-6x=6x(x-1),当xe[0,1]时，易知

/i'(x)=6x(x-1)„0,即〃(x)单调减,求得最值即可判断；

(2)根据题意得到/(x)„h(x),即尸根x)为函数y=/(x)的“控制函数"，代入即可求解;

(3)f(x)=ax-(a+1)JC2+x,「(x)=Box2-2(.+l)x+1,y=/(x)在x=x。ge(0,1))处的切线为f(x),

求导整理得到函数/(x)必是函数>=/(%)的“控制函数"，又此时“控制函数"g(x)必与y=相切于X

点，心)与>=/。)在》='处相切，且过点(1,0),在之间的点全在使得y=/(x)在切线下方，所

2a2a

以/(。)=/(c)=>c=—=/或c=1,即可得证.

2a

【解答】解：(1)f(x)=2x3-3x2+x,设/z(x)=/(x)-g(x)=2d一3一,

1(x)=6x?-6x=6x(x-1),当工£[0,1]时,易知〃(%)=6x(x-l)”0,即%(%)单调减，

h

二•Mmax=%(0)=0,即/(x)-g(x)„0n/(x)„g(x),

.•.g(x)是/(%)的“控制函数”；

(2)/(x)=-x2+JG)="2x+"(；)=|,

/./z(x)=—(x--)+—=—x+—,f(x)-h(x)=-x2+—x--=-(x--)2<0，

24162162164

/.f(x)„h(x)，即y=h(x)为函数y=/(x)的“控制函数”，

证明：(3)f(x)=ay?-(a+l)x2+x,f\x)=3tzx2-2(a+l)x+1,

y=/(x)在x='o(%oe(0,1))处的切线为«x)，

*X)=/'(%0)(%-/)+/(%)，⑪0)=/(%)，，⑴=0n/⑴=0,

2

f'(x°)=3%2-2(。+l)x0+1n/(%)(1—%)=/(I)-/(%)=(1—+X0+X0)-(6/+1)(1+x0)+l]

22111

3ax。-2(q+l)x0+1—cix^—=>(2tzXg_1)(XQ—1)—0,XQw1ci-----G(-,+co)=>x°——，

2x022a

111

2772

f'(x0)=3ax0-2(a+l)x0+1=3a(—)-2(a+1)(—)+1=——，

2a2a4Q

/(%)=吟…+1)(犷+:=*

4

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*1

f(x)=/'(%)(x-x0)+/(x0)=---(x--!-)+=，(x)=一：(x-1),

4a2a8。4。

f(x)-x(x—l)(ax-1)(f(x)=>ax2—xH-----20,(x------了20恒,

4。2a

函数£(x)必是函数歹=/(x)的“控制函数

Vg(x)=kx+m>/(x)nV7(x)>/(x),/(x)=/(X),XG(0,1)是函数>=/(x)的“控制函数"，

此时“控制函数"g(x)必与y=/(x)相切于x点，心)与y=/(%)在、=工处相切，且过点(1,0)，

2a

在(工,1)之间的点全在使得丁=/(%)在切线的下方，所以『(0)=/(0)=。='=/或。=1,

2a2。

所以曲线〉=/(x)在％=x0(x0G(0,1))处的切线过点(1,0),且cc[%o,1],

当且仅当c=x0或。=1时，/(c)=/(c).

【点评】本题考查了导数的综合运用，属于难题.

1年模拟•精选模考题

一.选择题(共9小题)

1.(2024•徐汇区校级模拟)现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积厂(单位：为与直径d(单位：dm)

JI#

的关系式为忆="，当d=2加1时，气球体积的瞬时变化率为()

6

A.InB.%C.-D.-

24

K祥解X直接根据瞬时变化率的定义求解即可.

7l(2+A6?)27ix22

【解答】解：气球体积在[2,2+△刈内平均变化率为叱=—-------J=2n+兀丛d+土•(4dY,

△d4d6

所以当d=2而i时，气球体积的瞬时变化率为lim—=lim[2^+^A^+--(At/)2)]=2^.

△d-o4do6

故选：A.

【点评】本题考查了瞬时变化率，属于基础题.

2.(2024•浦东新区校级模拟)已知函数/(x)和g(x)在区间[a,6]上的图象如图所示，那么下列说法正确

的是()

5

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A./(x)在a到6之间的平均变化率大于g(x)在a到6之间的平均变化率

B./(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率

C.对于任意/e(a,b),函数〃x)在x=/处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=%处的瞬时变化率

D.存在x°e(a,b),使得函数在x=x。处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率

K祥解X由函数在某一区间上的平均变化率的定义，可以判定选项N、8错误；

由函数在某一点处的瞬时变化率是函数在该点处的导数，即函数在该点处的切线的斜率，可以判定选项C错

误，D正确.

【解答】解：对于/、B,•:/(x)在a到b之间的平均变化率是/⑹-/⑺,

b-a

g(x)在a到b之间的平均变化率是g(b)-g⑷,

b-a

「⑹-/(“)=g(6)-g(“),即二者相等；

b-ab-a

二.选项/、3错误；

对于C、■函数/(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数〃x)在x=x0处的导数，

即函数“X)在该点处的切线的斜率，

同理函数g(x)在X=X。处的瞬时变化率是函数g(x)在X=X。处的导数，

即函数g(x)在x=x0处的切线的斜率，

由图形知，选项C错误，D正确.

故选：D.

【点评】本题考查了导数的概念及其应用问题，解题时应结合平均变化率与瞬时变化率以及导数的几何意

义，判定每一个选项是否正确，是基础题.

3.(2024•闵行区校级三模)计算：limSin2(X+/z)~sin(2x)=()

2。h

A.0B.cos2xC.2cosxD.2cos2x

K祥解》根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解.

【解答】解:1皿.2人〃)-$山(2外=⑸9疔=2cos2x.

△->0h

故选：D.

【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.

6

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4.(2024•浦东新区校级四模)下列各式中正确的是()

A.(3)=3'加3B.(logax)'=—

C.(3，y=3，TD.(5=3』

K祥解力逐一求导验证可得结果.

【解答】解：(39=3%3,N正确，C错误；

(/og“x)'=」一，2错误；

xlna

(4/=-4-。错误.

XX

故选：A.

【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，是基础题.

5.(2024•青浦区二模)如图，已知直线>=履+机与函数y=/(x),xe(a,6)的图像相切于两点，则函数

歹=/可-履有()

A.2个极大值点，1个极小值点B.3个极大值点，2个极小值点

C.2个极大值点，无极小值点D.3个极大值点，无极小值点

K祥解》由图象可得函数/(X)在极值点两侧导函数值的正负，得到尸(X)的符号，判断"X)的极值点的情

况，从而判断N8C。的正误.

【解答】解：•.・直线y=履+〃?与曲线y=/(x)相切于两点,

:.kx+m=/(x)有两个根，且/(x),kx+m,

由图象知m<0,令F{x)=f(x)-kx,

由图可知，函数/(x)有3个极大值点，2个极小值点,

而F'(x)=f'(x)-k,

设/(x)的三个极大值点分别为c,d,e,两个极小值点分别为g.

则在c,d,e的左侧，f\x\..k,在c,d,e的右侧，/f(x)<k,此时函数尸(x)=/(x)-fee有3个极大

值，

在7,g的左侧，f\x)<k,在/,g的右侧，f'{x\.k,此时函数F(x)=/(x)-质有2个极小值，

7

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故函数/(x)=/(x)-履有5个极值点，3个极大值，2个极小值.

故3正确，/错误，C错误，。错误.

故选：B.

【点评】本题考查函数零点的判断以及极值的判断，考查导函数的符号与原函数单调性间的关系，考查数

形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题.

6.(2024•金山区二模)设/(X)=X3-3X,有如下两个命题：

①函数y=的图像与圆尤2+必=1有且只有两个公共点；

②存在唯一的正方形月BCD,其四个顶点都在函数y=/(x)的图像上.

则下列说法正确的是()

A.①正确，②正确B.①正确，②不正确

C.①不正确，②正确D.①不正确，②不正确

K祥解》对于①：根据题意可得/(x)为奇函数，求导分析单调性，又/(-1)=2,/(1)=-2,即可判断

①是否正确；

对于②:根据对称性,假设正方形的中心在原点，设OA直线方程为y=丘，直线的方程y=，设NG,

k

必)，B(X2,%),分别联立V=d-3x,解得X],%2，由解得左，即可得出答案.

【解答】解：对于①：/(X)为奇函数，八尤)=3尤2-3,

当xe(-1,1)时，f'(x)<0,/(x)单调递减，且〃-1)=2,f(1)=-2,

则函数/(x)的图像与圆x?+/=1有且只有两个公共点，故①正确；

对于②：根据对称性，假设正方形的中心在原点，

设直线方程为y=依，直线08的方程>=

k

设4(%，乂)，B(X2，%),

联立厂=丫，则无：=k+3,同理可得君=3-L,

=x-3xk

由得，+=+,即/+343—3左+1=0,

所以(/+2左一1)(r+左一1)=。,

角牟得k=-1-G或后=一1土-41,

2

所以不止一个正方形/8C。，其四个顶点都在函数y=/(x)的图像上，故②不正确.

故选：B.

【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

8

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7.(2024•闵行区校级模拟)已知函数》=/(x)的定义域为(0,2),则下列条件中，能推出1一定不是>=/(x)

的极小值点的为()

A.存在无穷多个/e(0,2),满足/(工0)</(1)

B.对任意有理数x°e(0,1)0(1,2),均有(1)

C.函数y=在区间(0,1)上为严格减函数，在区间(1,2)上为严格增函数

D.函数y=/(x)在区间(0,1)上为严格增函数，在区间(1,2)上为严格减函数

K祥解X根据极值的定义，结合选项，即可得出结果.

【解答】解：由极值的定义可知，当函数y=/(x)在x=l处取得极小值时，

在X=1左侧的函数图象存在点比X=1处的函数值小，

在x=l右侧的函数图象存在点比x=l处的函数值小，故排除N,B；

对于C,函数y=/(x)在区间(0,1)上为严格减函数，

在区间(1,2)上为严格增函数，则x=1是函数的极小值点；

对于D,函数y=在区间(0,1)上为严格增函数，

在区间(1,2)上为严格减函数，则x=1不是函数的极小值点.

故选：D.

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题.

8.(2024•闵行区校级三模)已知函数〃x)=x2+2历x的图像在/(乃，〃xj),B(x2,/(%))两个不同点处

的切线相互平行，则下面等式可能成立的是()

A.%]+%=2B.X]+12=C.再入2=2D.X]%=

(祥解力求出函数的导函数，依题意可得2再+e=2%+上，再由西〉0、%>。、玉工、2，即可得至曦泾=1，

石x2

最后由基本不等式求出玉+々的范围，即可判断.

【解答】解：由/(X)=X2+2/〃X,得r(x)=2x+4,

X

22

r

则/'(再)=2再+—，f(x2)=2x2+—，

石x2

上,22

依题意可得2%id—=2X2H,且演〉0、x2>0>演"工2，

演x2

x{x2=1,贝！J再+%>2dxix2=2,

经验证，当X]、々分别取3、；时，再+'2=]满足题意.

故选：B.

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义及应用，是中档题.

9

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9.（2024•闵行区校级二模）已知/（%）是尺上的单调递增函数，Vxe（0,+oo）,不等式

/（—冽）+/（如）,,/（1+冽）+/（1—如）恒成立，则冽的取值范围是（）

xx

A.(-oo,eB.[-,+■»)C.(-00,1+-]D.[--l,+oo)

eee

K祥解》令g（x）=-/（1-X）在R上是增函数，不等式/（-m）+/（—）„/（1+m）+“1-螭）恒成立等价

XX

于g(—)„g(l+⑼，所以1+冽…—,h(x)=—(x>0),转化为I+.凤琦皿.

xXX

【解答】解：依题意，g（x）=/（x）-/（I-%）在A上是增函数,

Vxe(0,+«)),不等式/(-m)+/(—)„/(I+m)+/(I-也)恒成立,

XX

即/（蛆）-/（1-蛆/（1+加）-/（-加）恒成立，

XX

等价于g（妈）,,g（/+"）恒成立,

X

1Inx

]+加...—

x

令h(x)=的>0)，

x

贝！I〃(x)=—"(x>0),

x

易得"（x）加工="（e）=-

e

ee

故选：D.

【点评】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.

二.填空题（共22小题）

10.（2024•嘉定区二模）已知曲线＞=；/上有一点尸q,|）,则过尸点的切线的斜率为4或I

K祥解》根据题意，求出函数的导数，将x=2代入计算可得答案.

【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：

①尸为切点，曲线了=其导数了，=苫2,则均7=4,

即过尸点的切线的斜率后=4；

3

②尸不是切点，设切点的坐标为（见?），

10

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曲线＞其导数V=f,则川,二产疗，

则有冽2=/,解可得加=-1或2（舍），

m—2

此时切线的斜率左=m12=1.

综合可得：切线的斜率为4或1.

故答案为：4或1.

【点评】本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，属于基础题.

11.（2024•静安区二模）已知物体的位移d（单位："）与时间/（单位：s）满足函数关系1=2sinf,则在

时间段，£（2,6）内，物体的瞬时速度为1加/s的时刻芋—（单位：s）.

K祥解》可求出导函数d=2cos，然后求出d=l时的导数即可.

【解答】解：由题可得：d'=2cosZ=1,

可得cost=—，

2

又f£（2,6）,

可得”至.

3

故答案为：—.

3

【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的单调性，导数的物理意义，考查了计算能力，属于基础题.

12.（2024•浦东新区校级模拟）某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深8c机，上口宽6c加，若以为疗於

的匀速往杯中注水，当时间为3s时，酒杯中水升高的瞬时变化率是加/s.

9\71

K祥解力设I时刻水面高为/?,水面圆半径为r,用〃表示r,求出圆锥中水的体积，根据杯中水的体积列

方程求出〃关于Z的函数，利用导数求瞬时变化率即可.

【解答】解：由题意，设f时刻水面高为〃，水面圆半径为r,贝口=3,即厂=3人，

h88

则此时水的体积为工4%=—h3，

364

又以3c疝/s的匀速往杯中注水，则此时水的体积为比，即3/=包/7，

64

则〃=（一64/）-3,所以〃，⑺=1—x（6—4户---3,

71371

当E=3s时，/（3）=-1x（—64）-3x3--3=4-（-）-3=~4^~.

3719719\71

11

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故答案为：.

9\7t

【点评】本题考查了导数的概念与应用问题，是基础题.

13.(2024•青浦区二模)如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深8c加，上口宽6c加，若以30c疝/$

40

的匀速往杯中注水，当水深为4cm时，酒杯中水升高的瞬时变化率v=_—_cm/s.

37r

K祥解』由导数物理意义，结合变化的快慢与变化率及求导公式求解即可.

【解答】解：由题意，设i时刻水面高为“，水面圆半径为厂，

则二,

h8

即r=—〃,

8

则此时水的体积为Lx〃X尸2X〃=^-h3,

364

又以30c冽3/s的匀速往杯中注水，

则此时水的体积为30，

即30%=%3,

64

日口7640r1

即〃=(z---＞，

71

日口7,/、1,6401

即〃⑺=_x(——)3/3,

371

又当水深为4c加时，

即为=4时，t=—

10

40

即酒杯中水升高的瞬时变化率？=丝0加/5,

3万

40

故答案为:

3K

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【点评】本题考查了导数物理意义，重点考查了变化的快慢与变化率，属基础题.

14.(2024•徐汇区校级模拟)已知函数f(x)=2r(3)-x-■|/+加，则/(1)=_y_.

K祥解X对〃x)求导，再代入x=3,从而求得(3)=1,进而得到〃X)=2X-$2+/“X,由此计算可

得了(1).

941

【解答】解：因为"x)=2r(3)-x—x2+lnx,所以广。)=2/(3)——x+—,

99x

41

贝|」((3)=2/(3)-1+§,解得：f(3)=1,

001A

所以/(x)=2x--x2+Inx,贝!J/(I)=2—/9=互.

故答案为：

9

【点评】本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题.

15.(2024•宝山区三模)若直线X+〉+Q=0与曲线y=x—2方x相切，则实数a的值为_一2_.

K祥解X根据导数的几何意义即可求解.

【解答】解：设切点尸为。"-2/加)，

7

又1/=ff(x)=1，根据题意可得:

=1——=—1Jt=\J

.•.切点尸为(1,1),又尸在直线X+》+Q=0上，

2+a=0,

a=-2,

故答案为：-2.

【点评】本题考查导数的几何意义，属基础题.

16.(2024•普陀区校级三模)曲线/(x)=/(x2一x—l)在点(0,〃0))处的切线方程是_y=-2x-l_.

K祥解》求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由斜截式求出切线方程.

【解答】解：因为/(x)=e%x2-x-1),所以/(0)=-1,f'(x)=ex(x2+x-2),

则/(0)=-2,即切点为(0,-1),切线的斜率为广(0)=-2,

所以切线方程为了=-2》-1.

故答案为：y=—2x-1.

【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.

17.(2024•浦东新区校级三模)设曲线〃x)=ae'+6和曲线g(x)=cosm+c在它们的公共点尸(0,2)处有相

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同的切线，则供+c的值为2.

K祥解》根据两曲线在点(0,2)处有相同的切线，可得.，b,c的值，进而得解.

【解答】解：依题意，ae°+b=a+b=2,cosO+c=l+c=2,

则c=1,

又f'(x)=ae*,g，(x)=-(sin(x，

则r(0)=a,g，(0)=0,

故函数/(x)在点(0,2)处的切线方程为y-2=ax,即y=ax+2,

函数g(x)在点(0,2)处的切线方程为y=2,

依题意，a=0>b—2,

贝/+c=2°+l=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.

18.(2024•黄浦区校级三模)(文)曲线了=d-4x在点(1,3)处的切线倾斜角为

K祥解》求出函数的导数，根据导数的几何意义即可得到结论.

【解答】解：函数的导数为/")=3/-4,

则函数在点(1,3)处的切线斜率左=/，(1)=3-4=-1,

tan包=7

4

曲线了=Y-4x在点(1,3)处的切线倾斜角为今,

故答案为：—

4

【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用函数的导数和函数斜率之间的关系是解决本题的关键.

19.(2024•金山区二模)设/(x)=x3+ox2+x(aeR),若y=/(x)为奇函数，则曲线y=〃x)在点(0,0)处

的切线方程为—y=x—.

k祥解》由函数奇偶性的定义求解。值，可得函数解析式，再求其导函数，可得函数在x=0处的导数值，

求出/(0)的值，然后利用直线方程的斜截式得答案.

【解答】解：,."(x)=x3+&+x(acR)为奇函数,

：.f(—x)+f(x)=—x3+ax2—x+x3+ax2+x—lax1—0恒成立，

贝!Ja=0,f(x)-x3+x,

/,(X)=3X2+1,得/(0)=1,

又40)=0,.•.曲线y=/(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.

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故答案为：y=x.

【点评】本题考查函数奇偶性性质的应用，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题.

20.(2024•虹口区二模)已知关于x的不等式(上工-红)[工2一(左+3)x+4],0对任意x£(0,+co)均成立，则实数

上的取值范围为1]_.

e

K祥解》分两个情况：当人,0时，当左>0,分析方程左端是否符合题意，令f(x)=lnx-kx,

g(x)=x2-(A:+3)x+4,分析单调性，极值，当/(x)在x轴下方，g(x)在x轴上方时,

50/(-)>0

k,当〃x)与g(x)有相同的零点时，<k，可得左的取值范围.

,k+3

g(亏)>。g(^-)<0

【解答】解：当上,0时，xf+oo时，lnx-kx>0,/_(后+3)%+4>0,左边必然大于0,不满足题意,

所以左>0,

令f(x)=Inx-kx,=--k,

x

ck

g(x)=x2_/+3)x+4,对称轴为％=±^2>(),开口向上，有最小值,

令r(x)=0,解得％=，为/(x)极大值点，

k

情况一：/(X)在X轴下方，g(x)在X轴上方，

/(7>,0.

即《，得不等式组的解集为士，左,1,

>+3e

g(—^)>0

情况二：/(X)与g(x)有相同的零点，

/(-)>0

此时左，得不等式组的解集为左无解,

/左+3、

g(——)<0

综上所述，^e[-,1].

e

故答案为：d,1].

e

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【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

21.(2024•闵行区校级三模)中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形.如图，将一

根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x,与承载重力的方向平

行的高度为y,记矩形截面抵抗矩沙=根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则

宽x与高y的最佳之比应为—年一

k祥解》根据已知条件，先求出w(x)的函数，再利用导数研究函数的单调性，即可求解.

【解答】解：设圆的直径为d,

贝1Jx1+y2=d2,即y2=d2-x2,

W--xy2=-x(-3x2+d2)--(-x3+t/2x)(0<x<d),

666

ic

令/(x)=—(-3x2+/)=0,解得x=L",

63

令jr(x)>0,解得0<x<，4,故w(x)在(0,浮)上单调递增，

令人(x)<0,解得故w(x)在(浮，d)上单调递减，

故当x=时，少(x)取得最大值，

此时了

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故答案为：》

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题.

22.（2024•徐汇区模拟）如图，两条足够长且互相垂直的轨道'、4相交于点。，一根长度为8的直杆N3

的两端点/、3分别在乙、乙上滑动（，、3两点不与。点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计）,

直杆上的点尸满足。则AO4P面积的取值范围是

K祥解工根据已知条件，先求出公。4尸的面积，再结合三角函数的有界性，以及利用导数研究函数的单调

性，即可求解.

【解答】解：设NCU尸=6e(0,9),

贝1CU=8cose,。尸=ONsine=4sin26,N尸=8cos?6=4(1+cos2。)，

故AOAP的面积S=；NP-OP=8sin20(1+cos20)=32sin9cos36,

令％=2。£(0"),

则S=/(x)=8sinx(l+cosx),

f'(x)=8[cosx(l+cosx)-sin2x]=8(cosx+1)(2cosx-1),

当xe呜）时，仆）＞0,/（x）在%）上单调递增，

当尤吗㈤时,f'（x）＜0,/（x）在g㈤上单调递减,

故/⑴…=/g）=6g，

/（0）=/（万）=0,

故ACM尸面积的取值范围是（0,673].

故答案为：（0,6向.

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【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.

23.(2024•黄浦区校级三模)函数y=/(x)的表达式为〃X)=2X3-5X2-4X,如果/(a)=/(b)=/(c)

,,.1o

S.a<b<c,贝!labc的取值范围为—(-6,—)—.

K祥解》利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的大致图象，令/(a)=/(b)=/(c)=k,

可得后的范围，贝!l/(x)-左=0的三个根为a,b,c,从而可得2d-5x,-4x-4=2(x-a)(x-b)(x-c),右

边去括号即可得解.

【解答】解：/'(无)=6尤2_10x-4=2(3无+l)(x-2),

当x>2或x<-；时，f'(x)>0,当-g<x<2时，f'(x)>0,

所以函数的增区间为(-8,—),(2,+8),减区间为(-；,2),

则函数“X)的极大值为极小值为/(2)=-12,

作出函数/(x)的大致图象，若/(a)=/(b)=/(c)S.a<b<c,

令/(a)=f(b)=f(c)=k,贝I」左£(—12,苗)，

即/(x)—左=0的三个根为〃，b,c,

即2x3-5x2-4x-k=2(x-〃)(x-Z))(x-c),

又2(x-a)(x-b){x一c)=2x3-2(a+6+c)x2+2(ab+ac+bc)x-2abc,

【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了数形结合的数学思想，属于中档题.

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24.(2024•徐汇区模拟)已知函数/(工)=X3+2加/一〃%+加在％=1处有极值0,贝I」冽+〃=_

，⑴=°,解方程，即可求解.

k祥解》由题可得

/'⑴=0

【解答】解：因为/(x)=X3+2加¥一+加，

所以/'（X）=3—+4mx-n，

根据题意可得:

1+2m-w+m=0

3+4m-n=0

m=-2

解得

n=-5

经检验适合题意，

所以加+〃=一7.

故答案为：-7.

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，方程思想，属中档题.

25.(2024•闵行区校级二模)已知函数〃x)=2x+a,g{x}=lnx-1x,如果对任意的士,马eg,2],都有

/(%,)„go?)成立，则实数0的取值范围是_(-8-勿2-8]_.

K祥解工求导函数，分