2020-2024年高考数学试题分类汇编：不等式（解析版）

专题02不等式（上题5小涔点精灌株+精送模枢株）

5年考情•探规律

5年考情

考题示例考点分析

2024年秋考3题一元二次不等式及其应用

2024年春考6,13题基本不等式及其应用，不等式的性质

2023秋考1题

绝对值不等式

2023春考3题

2022秋考14题基本不等式及其应用

2022春考3,19题分式不等式，基本不等式及其应用

2021年春考4题分式不等式

2020年秋考13题基本不等式及其应用

5年真题•分点精准练

等式与不等式的性质（共1小题）

1.（2022•上海）若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>be

K祥解R根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.

【解答】解：对于Af令a=2,b=1,c=—lJd=—2,满足Q>Z?>c>d,但a+d=Z?+c,故A错误,

对于5,a>b>c>d,即c>d,

.,•由不等式的可加性可得，a+c>b+d,故5正确，

对于C,令a=2,b=1,c=—lfd——2,满足｛Bac-bd,故C错误，

对于£）,令a=2,b=l,c=-l,d=—2,满足a>6>c>d,iS.ad<bef故。错误.

故选：B.

【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题.

二.不等关系与不等式（共2小题）

2.（2024•上海）a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是（）

A.a+b*1>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.c^b>c^c

(祥解I根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.

【解答】解：对于A,若则选项不成立，故A错误；

对于3,a2=a2,b>c,

22

由不等式的可加性可知，a+b>a+c,故3正确.

对于C、D,若a=0,则选项不成立，故C、。错误.

故选：B.

【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题.

3.(2021•上海)已知两两不相等的百，%,x2,y2,尤3，%，同时满足①玉<%，%<%，尤3<%；②

玉+%=%+必=电+%；③玉X+工3y3=2尤2%，以下哪个选项恒成立()

xf<

A.2X2<X^+X3B.2X2>XX+X3C.D.>\x3

k祥解工设4="一〃，2"二，r=时，，根据题意，则有卜：+：=2也可得

=m+a[y2=m+b=m+c\m>b

22

xi+x3—2X2=2b—{a+c),通过求解(2b)-(tz+c)>0,可得x,+毛一2x2=2b-(a+c)>0,可得A正确,B

错误；利用作差法可得xxx3-^=(2b-a-c)m-丝产，而上面已证(26-。-c)>0,因无法知道优的正负，

可得该式子的正负无法恒定，即无法判断CD,即可得解.

【解答】解：设玉+M=%2+%=%3+%=2m，

=m-afx2=m-bfx3=m-c

=m+a=m+b[y3=m+c

根据题意，应该有f”),。，

[a,b,c>0

22

且用2_Q2+机2_02=2(m-Z?)>0,

―\a2+c2=2b2

[m>b

I

贝玉+W—2X2=(m-a)+(m-c)—2(m—b)=2b—(a+c),

2

因为(20)2—(a+c)=2(/+(?)一(〃+32>0,

所以％+七一2X2=2Z?—(a+c)>0,

所以A项正确，5错误.

石毛一次；~(m-a)(jnZ?)2=(2b-a-c)m+ac-b2=(2b-a-c)m-2"，而上面已证

(2Z?—a—c)>0,

因为不知道机的正负，

所以该式子的正负无法恒定.

故选：A.

【点评】本题主要考查不等关系与不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题.

三.基本不等式及其应用（共6小题）

4.（2020•上海）下列不等式恒成立的是（）

A.a2+b2„2abB.a2+b1..2abC.a+b..2^\ab\D.a1+b2„—2ab

K祥解》利用（a+6）2..0恒成立，可直接得到片+〃…-2必成立，通过举反例可排除ACD.

【解答】解：A.显然当a<0,6>0时，不等式4+^,,2必不成立，故A错误；

B.（a+b）?..。，:.a2+b2+2ab..O,a2+b2...-2ab,故3正确；

C.显然当a<0,6<0时，不等式。+6..2，|。6|不成立,故C错误；

D.显然当°>0,6>0时，不等式〃+火，一2"不成立，故。错误.

故选：B.

【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题.

5.（2024•上海）已知。6=1,4/+9k的最小值为12.

K祥解》由已知结合基本不等式即可求解.

【解答】解：由ab=l,4f/2+9b2..2•2a-3Z?=12,当且仅当2a=3b,BPa=-—,b=

2323

时取最小值12,

所以4a2+9廿的最小值为12.

故答案为：12.

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

6.（2022•上海）若实数°、6满足a>6>0,下列不等式中恒成立的是（）

A.a+b>2\[abB.a+b<2\[abC.—+2Z?>2-JabD.—+2b<2-Jab

22

（祥解》利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解.

【解答】解：因为a>b>0,所以a+6..2疝，当且仅当。=人时取等号，

又a>b>0,所以a+6>2«F,故A正确，3错误，

-+2b..2.!-x2b=24^b,当且仅当@=26,即a=4b时取等号，故CD错误，

2V22

故选：A.

【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题.

7.（2023•上海）已知正实数a、6满足a+4b=1,则的最大值为—.

―16一

K祥解》直接利用基本不等式求出结果.

【解答】解：正实数。、6满足a+46=l,则仍=!><止4瓦Lx(叱竺)2=',当且仅当。=,，6=工时

4421628

等号成立.

故答案为：--

16

【点评】本题考查的知识要点：基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题.

8.(2021•上海)已知函数/(x)=3"+§%(a>0)的最小值为5,则"9.

k祥解》利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成

/(%)=3­+1+^-1,然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件.

【解答】解：f(x)=3XH—-—=3A+1H------—5)

3A+13V+1

所以a=9,经检验，3工=2时等号成立.

故答案为：9.

【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题.

9.(2022•上海)为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的

建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD,AB=30m,AD=15m.为保护。处的一棵古树，有

关部门划定了以。为圆心、为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区.若架空线入线口为边上

的点E,出线口为CD边上的点尸，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为

绿地保护生态区.(计算长度精确到01〃，计算面积精确到0.01疗)

(1)若NADE=20。，求EF的长；

(2)当入线口E在脑上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？

K祥解》(1)作DHLEF,然后结合锐角三角函数定义表示出EF,

(2)设NAZ)E=9,结合锐角三角函数定义可表示AE,FH,然后表示出面积，结合同角基本关系进行化

简，再由基本不等式可求.

【解答】解：(1)作垂足为

贝UEF=EH+=15tan200+15tan50°仁23.3m；

(2)设ZADE=6>,则AE=15tan6>,FH=15tan(9O°-20),

S四边形ADFE\5tan0伍(。)

一乙°•DET°AD/7/=2x—xl5x+—x15x15“90—26,

22

15/”八“、15’”八，匚l+tan20,225八01、225A

——(30tan0+15cot28)——(30tan6+15x----------)------(3tan0H--------)..；---------,

222tan6>4tan。2

当且仅当3tan6=—--,即tanf)=置时取等号，此时AE=15tan6*=5』,最大面积为

tan。3

450-225ga255.14痴.

【点评】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题,

属于中档题.

四.其他不等式的解法（共3小题）

10.（2022•上海）不等式忙1<0的解集为_（0,1）_.

x

K祥解X把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解.

【解答】解：由题意得x（x-l）<0,

解得0<x<l,

故不等式的解集（0,1）.

故答案为：（0,1）.

【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题.

11.（2021•上海）不等式a上<1的解集为_（-7,2）_.

x-2

K祥解》由已知进行转化山<0,进行可求.

x—2

wbjjA^S-』hjj2x+52x+5„%+7

［角牟答］W：--------<1=>-----------］<o=>-------<0,

x—2x—2x—2

解得,-7<x<2.

故答案为：（-7,2）.

【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题.

12.（2020•上海）不等式1>3的解集为_（0,g）_.

［［祥解X将不等式化简后转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集.

【解答】解：由上>3得L_%>0,

XX

贝Ux(l-3x)>0,即x(3x-l)<0,解得0<无<!，

3

所以不等式的解集是（0,g）,

故答案为：（0,g）.

【点评】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题.

五.一元二次不等式及其应用（共1小题）

13.（2024•上海）已知xeR,贝I不等式无？一2x一3<0的解集为—{x|-l<x<3}_.

K祥解工根据一元二次不等式的解法直接求解即可.

【解答】解：尤2-2x-3<0可化为（x-3）（x+l）<0,

解得

故不等式的解集为：{x|-L<尤<3}.

故答案为：{x|-l<尤<3}.

【点评】本题考查一元二次不等式的解法，属基础题.

1年模拟•精选模考题

选择题（共11小题）

1.（2024•黄浦区校级模拟）若a,b&R,且a6>0,则下列不等式中恒成立的是（）

__-I-Iry7

A.cr+b*12>2abB.a+b..l4abC.-+->-=D.-+-..2

absjabab

K祥解》利用基本不等式需注意：各数必须是正数.不等式〃+次.2仍的使用条件是beR.

【解答】解：对于A;a2+b2..2ab（当且仅当a=b时，取得等号），所以A错误；

对于3,C,虽然必>0,只能说明a,6同号，若a,6都小于0时，所以3,C错;

ab>0,

：.-+-..2（当且仅当a=人时，取得等号）.

ab

故选：D.

【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：一正、二定、三相等.

2.（2024•青浦区二模）函数y=3x+1（x>0）的最小值是（）

X

A.4B.5C.30D.2指

K祥解》利用基本不等式求最值即可.

【解答】解：因为函数y=3x+4（x>0）,

而3%+L.,当且仅当3%=，时，等号成立，

XVXX

止匕时3炉=1,因为无>0,

所以X=且时，函数、=3彳+4（了>0）的最小值是2后.

3x

故选：D.

【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.

3.（2024•浦东新区校级模拟）已知a+b>0,且6<0,贝I（）

A.->-lB.ab>-b2C.D.a2>b2

bab

k祥解力根据。和6的关系，通过移项，化简，平方依次判断选项是否正确.

【解答】解：由。+>>0,且b<0知。>一6>0,则@<-1,故A错误；

b

ab<-b2,故5错误；

由一工>0得。•（一工）>（-6>（-工），即!<-工，故C错误；

abababab

a1>（-Z?）2,即〃2>从,故£>正确.

故选：D.

【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题.

4.（2024•闵行区校级三模）已知av〃v0,那么下列不等式成立的是（）

A11「772ba「a+b.

ababb

K祥解不由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断.

【解答】解：因为

所以A错误；

ab

由不等式性质可知，ab>b2,5错误；

由avbvO可得，—<!<—,。错误；

ab

区也=1+0>1显然成立，。正确.

bb

故选：D.

【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题.

5.（2024•杨浦区二模）已知实数a,b,c,』满足：a>b>O>c>d,则下列不等式一定正确的是（

）

A.a+d>b-\-cB.ad>beC.a+ob+dD.ac>bd

（祥解］ABD可举出反例，可根据不等式的基本性质检验选项C.

【解答】解：不妨设Q=2,b=1,c=—l9d=—29此时a+d=6+c,A错误，

ad--4<bc»_B错误；

因为c>d,根据不等式的基本性质，同向可加性得到：a+c>b+d,。正确；

a=2,b=1,C=—1Jd=—2时，ac=bd,。显然错误.

故选：C.

【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.

6.（2024•崇明区二模）若a>b,c<0,则下列不等式成立的是（）

A.cic^>bdB.—>—C.Q+CVZ?+CD.a>b—c

cc

K祥解］利用不等式的基本性质即可判断出正误.

【解答］解：a>b,c<0

ac2>be2,@与2大小关系不确定，a+ob+c,Q与b—c的大小关系不确定.

CC

则下列不等式成立的是A.

故选：A.

【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

7.（2024•浦东新区二模）已知则下列结论不恒成立的是（）

A.4Z（1—Q）,,—B.QH---..2

4a

C.|a-1|+|〃+2|..3D.sincr+------------..0

2+sin二

K祥解》配方即可判断A的正误；a<0时，5不成立；根据绝对值不等式|。|+|6|…|a可判断C的正

误；根据基本不等式可判断。的正误.

【解答】解：a（l—a）=—a2+a=—（a——）2+—„—,A恒成立；

244

a<0时，«+-<0,5不恒成立；

a

|a—l|+|a+2|...|a—1—a—2|=3,C勺旦；

siner+-----------=（sina+2）d------\-------2..0，当且仅当sina=-l时取等号，£）恒成立.

2+sin。2+siner

故选：B.

【点评】本题考查了配方求二次函数最值的方法，基本不等式的应用，绝对值不等式|。|+|加…|〃-切的应

用，是基础题.

8.（2024•虹口区模拟）已知集合加={尤|（九一1）（%-2）<0},N={x|±>0},则（）

x-1

A.M=NB.N=MC.M\JN=RD."N=0

K祥解X先求出集合M,N,再利用集合的包含关系判断.

【解答】解：集合M={x|(x-l)(x—2)<0}={尤|1<尤<2},N={x|上>0}={x|尤<0或x>l},

x-1

:.MjN,M1)N=N,M(N=M.

故选：A.

【点评】本题主要考查了集合的基本运算，以及集合间的包含关系，属于基础题.

9.(2024•普陀区校级模拟)已知集合&=3彳+3>0},3=口|土出<0},则B=()

x-5

A.(3,5)B.(-3,4)C.(-3,0)D.(-3,5)

(祥解》先求解出一元一次不等式、分式不等式的解集为A,B,然后根据交集运算求解出结果.

【解答】解：因为％+3>0,所以%>-3,所以A=(-3,+oo),

因为£±1<0,所以(x+4)(x-5)<0,

x-5

所以B=(T,5),

所以08=(-3,5).

故选：D.

【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题.

10.(2024•长宁区校级三模)在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得,次测量分别得到%,

马,…，斗共〃个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”。应该满足与所有测量数据的差的平方

和最小.由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值”a应是()

K祥解』/(a)=(〃—%)2+(〃—％)2++(〃——2(玉+犬2++工〃)。+(耳++片)，看成关于。的

二次函数，即可求解.

［解答］解：根据题意得：一玉产+(〃_入2)2++(。一%产=〃。2_2(工］+/++Z)〃+(犬；++工：)，

由于〃>0,所以/(a)是关于。的二次函数，

因此当4=芯+々++%即°=上」时,f%)取得最小值.

nn

故选：A.

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，属于基础题.

11.(2024•松江区二模)已知某个三角形的三边长为a、b及c,其中a<6.若a,6是函数y=a尤?一版+c

的两个零点，则。的取值范围是（）

A.（1,1）B.C.（0,^^）D.（^=^,1）

（祥解R由。，Z?为函数/（尤）=加-Zzx+C的两个零点可得加-〃（Q+Z?）尤+々2/2=4_云+。，即可得

o二金,c二金，结合题意可得L＜好匚.

1-a1-a22

【解答】解：由。，6为函数/（x）=a*-fcv+c的两个零点，故有。（尤-。）（尤-6）=以2-fcv+c,

2

即ax-。（。+b）尤+〃。人=。无2-bx+cT亘成立,

224

故a（Q+b）=Z?,a1b=c，则b=-,c=c^b=6^x——=——,

1—a1—ci1—Cl

由a,b,c为某三角形的三边长，且avb,

2]

故1—Q>0,且〃<----,则一<Q<1,因为〃+c>a必然成立,

1—a2

a4a2

H------------>-----------

a+C>ba八下-1

,即.j1一°,解得<0<a<--------

所以2

a+b>ca2a4

aH------------>-----------0<a<l

1—a1—a

所以Q£（J

故选：B.

【点评】本题主要考查函数的零点，属于中档题.

填空题（共29小题）

12.（2024•奉贤区三模）若1+。=1,则仍有最大值为-

一4一

（祥解》结合基本不等式的公式，即可求解.

【解答】解：a+b=l,

则",，丝土生=!，当且仅当.=匕=工时，等号成立,

442

故仍有最大值」.

4

故答案为：1

【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题.

13.（2024•浦东新区校级模拟）设集合A={y\y=J-x1

K祥解》先求出集合A,B,再结合交集的定义，即可求解.

【解答】解：集合A={y|y=J-%2+4x}={y|ol%2},

B=[x\log3（x-1）<1}={x11<x<4},

故A「'5=（l,2].

故答案为：（1,2].

【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

14.（2024•浦东新区校级四模）已知集合4=屏|嚏<0},B=[-1,0,1},则4n8=—{T}

K祥解》根据已知条件，结合交集的定义，即可求解.

【解答]解：A={x\——<0}={x|-2<x<0},B=[-1,0,1）,

x+2

贝UHB={-1}.

故答案为：{-1}.

【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

15.（2024•杨浦区校级三模）关于x的不等式工_/暇*<1的解集为_（L+°°）_.

X

（祥解》设出了（x）=L-/og,x，再利用导数研究函数的单调性，即可求解.

X

【解答】解：设/（X）=L-/。82彳，

X

贝UfXx）=~一一—<0,

x2xln2

故/（%）在（0,+oo）上单调递减，

f（1）=1，

故/。）<1的解集为（1,+<»）.

故答案为：（1,+00）.

【点评】本题主要考查其他不等式的解法，属于基础题.

16.（2024•闵行区校级模拟）不等式盘（无+1）>1的解集为—{x|尤>9}_.

（祥解》根据已知条件，结合对数的运算性质，以及单调性，即可求解.

【解答】解：/g（x+l）>l=/gl0,

则x+l>10,解得龙>9,

故所求解集为{x|尤>9}.

故答案为：{x|x>9}.

【点评】本题主要考查对数不等式的解法，属于基础题.

17.（2024•黄浦区校级三模）若x>0,y>0,且x+4y=l,则孙的最大值是

（祥解I由己知结合基本不等式即可求解.

【解答】解：由于1>0,y>0，且％+4y=l,

所以1=x+4y..Ay[xy,则xy„—，当且仅当％=4y=工时等号成立.

162

故答案为：

16

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

18.（2024•闵行区三模）已知两个正数“，6的几何平均值为1,则一+立的最小值为2

K祥解工由几何平均值的定义得到。6=1,利用基本不等式求解即可.

【解答】解：由题意得弋ab=1，即出?=1,故.2a6=2,当且仅当a=b=l时，等号成AL.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

（•普陀区模拟）若实数满足。-力则上的最小值为

19.2024a,6..0,2"+2

（祥解》根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.

【解答】解：实数。，6满足。-出.0,

则2"++=2"+2口至也".2必=242"口26=2,当且仅当cz=—2）时，等号成立,

故

2"+:的最小值为2.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题.

20.（2024•浦东新区校级模拟）不等式log?无<3的解集是_（0,8）_.

K祥解》由对数函数的单调性可出原不等式的解集.

【解答】解：因为函数y=log2尤在（0,+<»）上为增函数，由log?无<3=logz8可得0<x<8.

因此，不等式log?3的解集为（0,8）.

故答案为：（0,8）.

【点评】本题主要考查了对数函数单调性在不等式求解中的应用，属于基础题.

21.（2024•普陀区校级三模）已知集合4={0,1,2,3,4},B={x|-x2+2x+3>0},则43中的元素

个数为3.

K祥解工求解一元二次不等式解得集合3,再求冏B,即可求得其元素个数.

【解答】解：由-尤2+2X+3>0,得—1<X<3,所以8={x|T<尤<3},

Af8={0,1,2）,故A「B中的元素共有3个.

故答案为：3.

【点评】本题主要考查交集的定义，属于基础题.

22.（2024•浦东新区校级模拟）若关于x的不等式:n?-5x+/,0的解集为R,则实数机的取值范围是

5

5

K祥解》根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可.

【解答】解：当机=0时，不等式为-5琳。nx0,显然不符合题意;

当加工0时，因为关于x的不等式mx1-5A:+m,,0的解集为R,

m<05

所以有

&=(-5)2-4根2,,02

所以实数"7的取值范围是（-8,-|].

故答案为：.

【点评】本题主要考查一元二次不等式及其应用，属于基础题.

23.（2024•浦东新区三模）已知全集。=r，集合4={尤|f-新+2..0},则』=_（1,2）_.

K祥解》先求出集合A,然后结合集合的补集运算即可求解.

【解答】解：因为。=尺，集合4={%|/一3尤+2题}={犬|尤2或覆1},

则,=（1,2）.

故答案为：（1,2）.

【点评】本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题.

24.（2024•长宁区校级三模）已知集合4={0,1,2},B=[x\x3-3x,,1},则48=_{0_1}

K祥解》由已知结合集合交集运算即可求解.

【解答】解：因为集合4={0,1,2},B={尤|d-3%,1},

则A「B={0,1}.

故答案为：{0,1}.

【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题.

25.（2024•黄浦区校级三模）已知全集。=R，集合A={X|V-2X-3>0},则4=_[-1-3]

（祥解』根据已知条件，结合补集的运算，即可求解.

【解答】解:全集。=R,A=（-<x>,-l）|J（3,+a>）,A=[-l,3].

故答案为：[-1,3].

【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题.

26.（2024•闵行区二模）已知正数a、6满足a+»=l,则仍的最大值是-.

一8一

（祥解]]直接利用均值不等式计算得到答案.

【解答】解：正数。、b,则a+24=1..2《2ab，故成，L

8

当且仅当a=2b,即a=1,时等号成立.

24

故答案为：

8

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

11L

27.（2024•浦东新区三模）设正数a,。满足a+26=l,则上+，的最小值为3+2形.

ab——

K祥解力正数a,6满足a+2b=l,可得工+1=m+26）d+g,展开，再利用基本不等式的性质即可得

abab

出.

【解答】解：正数a,6满足a+2b=l,可得1+4=（4+26）（工+工）=3+4+4

ababab

..3+2.1——=3+2A/2,当且仅当a=同,a+2b=1时即：a=&-1,b=l-走取等号.

\ab2

因此_1L+_1L的最小值为：3+2应L.

ab

故答案为：3+2&.

【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

11L

28.（2024•徐汇区模拟）若正数a、。满足上+上=1,则2a+b的最小值为3+2点.

ab——

K祥解》由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解.

【解答】解：因为正数。、。满足工+L=1,

ab

贝|2。+6=（24+6）（工+3=3+2+二.3+2、口^=3+2夜，

ababyab

当且仅当6=即a=l+变，。=1+&时取等号.

2

故答案为：3+2应.

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

29.（2024•普陀区校级模拟）已知实数x、y满足x+2y=5,则2工+4〉的最小值为_80

（祥解力由已知结合基本不等式及指数的运算性质即可求解.

【解答】解：因为x+2y=5,

则2,+4；2抄⑷=2也、・22y=2,2'+2〉=2收=8后,

当且仅当x=2y且x+2y=5,即x=],时取等号，止匕时2*+4＞最小值为8夜.

故答案为：8夜.

【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，还考查了指数的运算性质，属于基础题.

30.（2024•松江区校级模拟）设实数尤、y满足|x+y|=l,则孙的最大值是

-4―

K祥解』易知x+y=±l,禾U用完全平方和公式（％+»=%2+丁+2孙，再结合基本不等式，即可得解.

【解答】解：因为|x+y|=l,所以％+y=±l,

所以（x+»=/+J+2xy,,2xy+2xy=4xy,

即1..4孙，当且仅当x=y=g时，等号成立，

所以xy„；,

所以孙的最大值是;.

故答案为：

4

【点评】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

31.（2024•静安区二模）在下列关于实数a、6的四个不等式中，恒成立的是②③④.（请填入全部正

确的序号）

@a+b..2slab;③|a|Z?|,,|a—6|；©a2+b2..2b-1.

2

K祥解》根据基本不等式可判断①不成立；作差比较法可判断②④是否成立；根据绝对值不等式的性质可

判断③成立.

【解答】解：a,。<0时，a+b..2痣不成立，①不成立；

,a+b、2,,a—b、2八/a+b、?,否4一

（------）-ab=（------）..0,?.（-------）②成山

222

\a\-\b\^a-b\\a\+\b\,③成立；

ci+b~—2b+1=a~+（6—1）~..0,a~+b~..2b—1,④成立.

故答案为：②③④.

【点评】本题考查了基本不等式的条件，绝对值不等式的性质，作差比较法的运用，是基础题.

32.（2024•浦东新区二模）已知集合4={0,1,2},集合3={尤12*>3},则B=_{2}_.

K祥解》求出集合3,利用交集定义能求出Ar'B.

【解答】解:集合A={0,1,2},集合3={x|2，>3}={x|x>log23},

则4B={2}.

故答案为：{2}.

【点评】本题考查指数不等式、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

1-1

33.(2024•浦东新区校级模拟)已知集合&={》|----„0},全集U=R,则A=_{x|苍，-1观龙〉—

x+1~~2~

(祥解》先求出集合A,再利用补集运算求解.

7r—1

【解答】解：由二一,,0可得(2x-l)(x+l),,0且X+1W0,

X+1

解得一1<用,，

2

即A={x|-l<%,g},

又因为全集U=R,

—1

所以A={x|兀，-1或%>—}.

2

故答案为：{%|工，-1或l>；}.

【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题.

34.(2024•浦东新区校级四模)已知正实数a、b满足a+46=l,则仍的最大值为—.

~16~

K祥解R直接利用基本不等式求出结果.

【解答】解：正实数a、6满足a+46=l,则("竺了=’,当且仅当。=L，6=工时

4421628

等号成立.

故答案为：--

16

【点评】本题考查的知识要点：基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题.

35.(2024•宝山区校级四模)平面点集{(x,y)|(x-cos6)2+(y-sine)2=9,6eR}所构成区域的面积为

1671_.

K祥解工由已知结合圆的性质即可求解.

【解答】解：尸是在圆心为(cos。,sin6),半径为3的圆。上，

22

而(cossin0)到原点的距离为1,则(cos。,sin。)是在圆O2:x+y=i上运动，

/+/=1的半径为1,再加上01的半径即为最大半径，则最大圆的半径为4.

故面积为16万.

故答案为：161.

【点评】本题主要考查了圆的性质的应用，属于基础题.

36.(2024•黄浦区校级模拟)已知无z-2x+m=0("zeR)的两共软虚根为玉，x2,且|+|々|=26,贝!J〃?=

3.

K祥解》由根与系数关系有无"2=7"设占=1+出，9=1-出且aeH,结合题设和复数模长、乘法运