2022-2024北京重点校初一（下）期中数学汇编：特殊的平行四边形

2022-2024北京重点校初一（下）期中数学汇编

特殊的平行四边形

一、单选题

1.（2024北京第三H^一中学初一下期中）如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若/1=40。，则/AEF=（）

2.（2023北京第三十五中学初一下期中）如图，把矩形A2CD沿族对折后使两部分重合，若4=50。,

A.110°B.115°C.120°D.130°

二、填空题

3.（2023北京第十三中学初一下期中）如图，将一张长方形纸片ABAC沿所折叠，ED'与BC交于点为

G,点。、点C分别落在点解、点C的位置上，若NEFG=50°,则4=.

4.（2023北京和平街第一中学初一下期中）如图，菱形ABCD面积为24,对角线AC=8,DEJ.AB于点

E,则£）E=.

5.（2023北京和平街第一中学初一下期中）如图，在cABCD中，及尸分别为边上的点

（E,尸不与端点重合）.对于任意ABCD,下面四个结论中：

AED

①存在无数个四边形ME，使得四边形丽E是平行四边形；

②至少存在一个四边形ABEE,使得四边形ME菱形；

③至少存在一个四边形⑷使得四边形？矩形；

④存在无数个四边形使得四边形AfiFE的面积是ABCD面积的一半.

所有正确结论的序号是.

6.(2023北京第三十五中学初一下期中)如图。是长方形纸带，NDEF=15。，将纸带沿斯折叠成图％,再

沿砥折叠成图c,则图c中的/CFE的度数是

三、解答题

7.(2023北京和平街第一中学初一下期中)如图，点尸为正方形ABCD的对角线5。上一点

(BF<DF),连接AF,过产作砂工",交。C于点E.作歹关于BC的对称点H,连接

FH、CH,FH交BC于点、P.

(1)补全图形；

(2)证明：四边形EC/专为平行四边形；

(3)写出A尸、FP和O尸之间的数量关系，并证明.

8.(2023北京和平街第一中学初一下期中)如图，在ABCD中，点。是AD的中点，连接CO并延长交

班的延长线于点E,连接AC,DE,AC工BE.

（1）求证：四边形AQ组是矩形；

（2）若OC=CD=2,求DE的长.

9.（2023北京和平街第一中学初一下期中）如图，在VA3C中，点。、E分别是边AC、AB的中点，点下

在线段DE上，AB=5,BF=4,AF=3,BC=1,求。尸的长度.

10.（2023北京和平街第一中学初一下期中）下面是小张同学设计的“利用等腰三角形作菱形”的作图过

程.

已知：等腰△ABD,AB=AD.

求作：点C,使得四边形ABC。为菱形.

作法：①作44D的角平分线A。，交线段50于点O；

②以点。为圆心，AO长为半径圆弧，交AO的延长线于点C；

③连接3GDC,所以四边形A2CD为菱形，点C即为所求.

根据小张同学设计的作图过程.

（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：=AO平分/BAD,

ABO=DO,AOLBD,（_）（填推理的依据）

VBO=DO,AO=CO,

四边形ABC。为平行四边形（_）（填推理的依据）

*.•ACJ.BD,

四边形ABC。为菱形（_）（填推理的依据）

11.（2022北京海淀初一下期中）对于平面直角坐标系xOy中的不同两点人（西,%），3（%,%），给出如下

定义：点A与点B两点横坐标差的绝对值与它们纵坐标差的绝对值的和，叫做A,B两点的折线距离，记

作d（A3）,即d（A3）=归—4+帆一..例如，图1中，点A（-U）与3（­2）之间的折线距离

c?（AB）=|-l-l|+|l-（-2）|=2+3=5.

(1)已知点C(-2,-l),则d(O,C)=:

⑵已知点0(—2,0),E(lj),且d(知E)=4,求/的值；

⑶如图2,已知点网0,2),G(2,0),点尸是线段PG上的一个动点，请判断d(0,P)是否是一个定值

(填“是"或‘否")；

(4)如果点。满足“(0,。)=3,请在图3中画出所有符合条件的点。组成的图形.

12.(2022北京海淀初一下期中)在平面直角坐标系xOy中，对正数左，定义"积值对"如下：

如果点A(x/,yi),8(X2,>2)(A与B可以是同一个点)满足X"X2=A,yi*y2=k,则称A,B构成Z积值对

例如：点A(；,1)与点2(2,1)构成“1积值对”；点C(2,-2)与其自身构成“4积值对”.

(1)已知点A(l,3)与点8构成“1积值对”，则点8的坐标为；将线段A8水平向左平移2个单位得

到线段AE,请判断线段AF上是否存在“1积值对”(填“是”或"否”).

1131

⑵如图所示：已知正方形口的顶点。的坐标为(],-),顶点。的坐标为(万，万).请判断正方形

COM的边界上是否存在力积值对"，如果不存在请说明理由；如果存在，请直接写出所有的力积值对”.

y

A

:仁：

-4^3-2-101234x

(3)对第一象限中的一个正方形，已知它的每条边都垂直于无轴或y轴(边可落在坐标轴上)，且它的一个顶

点坐标为(1,0).

①若该正方形的边界上存在“9积值对”，则此正方形边长的最小值为.

②对正数左，若该正方形的边界上存在“积值对”，则此正方形边长的最小值为（用含左的式子表

示）.

参考答案

1.A

【分析】如图设B的对应点为K.由AD〃BC,推出NAEF+NBFE=180。，求出NBFE即可解决问题.

【详解】解：如图设B的对应点为K.

.*.ZBFK=180°-40°=140°,

ZBFE=70°,

•・・AD〃BC,

.\ZAEF+ZBFE=180o,

.*.ZAEF=110°,

故选A.

【点睛】本题考查平行线的性质、翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考

常考题型.

2.B

【分析】先根据折叠的性质可得N3EE=NGEE=65。，再根据平行线的性质即可得.

由折叠的性质得：ZBFE=/GFE,

4=50。，

:"BFE=/GFE=65。,

•・•四边形ABCD是矩形，

.-.AD//BC,

ZAEF=1800-ZBFE=115°,

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、平行线的性质，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键.

3.100。/100度

【分析】利用矩形的性质即平行线的性质可得NDEF=NEFG=50。，再利用折叠的性质可得

ZDEF=ZDEF=50°,再利用平行线的性质即可.

【详解】解：四边形ABDC是长方形,

'.AC//BD,

:.ZDEF=ZEFG=50°,

又、长方形纸片沿跖折叠，

/.ZDEF=ZDEF=50°,

/.Zl=ZDEG=ZDEF+ZDEF=500+50°=100。，

故答案为100。.

【点睛】本题考查了矩形与折叠、平行线的性质，熟练掌握其基本知识是解题的关键.

24

4.——

5

【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD=[B。，AO=OC=]-AC,在

22

RtAO3中，根据勾股定理可以求得AB的长，再根据菱形的面积等于底乘以高即可求解.

【详解】解：：四边形ABCD是菱形，

ABO=OD=-BD,AO^OC^-AC=-184,ACJ.BD,

222

即

,*15变™4R形r„=-2AC-BO=24,224

：.BD=6,

OB=3,

,•AB=VOA2+OB2=，如+3?=5>

••1SMCD=AB?DE24,即5DE=24,

DE=—24

5

故答案为：—.

【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，菱形的面积，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘的一半，也等

于底乘以高是解题的关键.

5.①②④.

【分析】根据平行四边形的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定逐条判断即可.

【详解】解：只要满足四边形ABEE是平行四边形，这样的所有无数条，故①正确；

因为AD>AB,可在AD上截取AE=A8,再满足A8〃EF,四边形ABFE是菱形，故②正确；

因为是任意ABCD,不一定是直角，矩形不一定存在，故③错误；

当跖经过对角线交点时，四边形的面积是ABCD面积的一半，故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形、矩形的判定，解题关键是熟练运用所学四边形的性

质与判定，准确进行推理判断.

6.135°

【详解】试题分析：根据图示可知NCFE=18(r-3xl5o=135。.故答案为135。.

考点：翻折变换(折叠问题).

7.⑴见解析

(2)见解析

(3)PF2+|DF2=AF2,证明见解析

【分析】(1)根据题意作图即可；

(2)证明丝得到AF=CF,NDAF=NDCF,再证明NF£C=NE4r>=NFCE,得到

FE=FC,由对称性可得CF=CH,CP±FH,进而证明EF〃CH,即可证明四边形ECHF为平行四边

形；

(3)如图所示，过点歹作FGLCD于G,则四边形PPGC是矩形，一DFG是等腰直角三角形，得到

FG=CP』DF,由勾股定理得P尸+尸C?=C产，即可推出尸=A尸.

22

【详解】(1)解：如图所示，即为所求；

(2)证明：如图所示，连接CR,

:四边形ABCD是正方形，

/.ZADC=ZBCD=90°,AD=CD,ZADF=ZCDF=45°,

：.ADF会CDF(SAS),

：.AF=CF,ZDAF=ZDCF,

EFLAF,即NAFB=90°,

ZDAF+ZDEF=360°-/ADE-ZAFE=180°,

又ZDEF+NCEF=180°,

ZFEC=NFAD=NFCE,

FE=FC,

:点打和点P关于2C对称，

CF=CH,CP±FH,

:./FCP=/HCP,CF=CH=EF,

NFCE+NFCP=90。，

：.NFEC+NFCE+/FCP+NHCP=180。,

:.EF//CH,

・・・四边形ECHF为平行四边形；

(3)解：PFVDF'AF?,证明如下：

2

如图所示，过点尸作FGLCD于G,则四边形PPGC是矩形，一刀尸G是等腰直角三角形,

FG=CP=-DF,

2

在RtACPF中，由勾股定理得PF?+PC2=CF2,

•*.PF2+FG2=AF-,

APF2+^-DF=AF2,

：.PF2+-DF1AF2.

2

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，全等三角形的性

质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键.

8.(1)见解析

Q)2出

【分析】(1)首先根据平行四边形的性质，可得/EAO=NCDO,由点。是AD的中点，可得。4=0。，

再根据全等三角形的判定和性质，即可证得四边形ACDE是平行四边形，再由ACL3E,即可证得结论；

(2)首先由矩形的性质可求得EC的长，再利用勾股定可理即可求得DE的长.

【详解】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，

:.AE//CD,

:.ZEAO=ZCDO,

点。是的中点，

OA=OD,

在△AEO与DCO中，

ZEAO=ZCDO

<OA=OD

ZAOE=ZDOC

AEO也。CO(ASA),

AE=CD,

••・四边形ACDE是平行四边形，

又，ACLBE,

.\XEAC=90°,

••・四边形ACDE是矩形；

(2)解：四边形ACDE是矩形，

：.EC=2OC=4fNEDC=90。,

・•・在RtACDE中，DE=y)EC2-CD2=742-22=2』.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形与矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握和

运用各图形的判定与性质是解决本题的关键.

9.1

【分析】由三角形中位线定理得到DE=3.5,再证明尸是直角三角形，即/AFB=90°,即可利用直角

三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出EF=2.5,则L>F=DE—EF=1.

【详解】解：：点。、E分别是边AC、AB的中点，

/.DE是VABC的中位线，

DE=-BC=3.5,

2

*.•AB=5,BF=4,AF=3,

BF2+AF2=32+42=25=52=AB2,

...△?!£尸是直角三角形，即NAF3=90。，

EF=-AB=2.5,

2

DF=DE-EF=1.

【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线的性质，证明

△ABF是直角三角形是解题的关键.

10.(1)见解析

(2)三线合一定理；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形

【分析】(1)按照题意进行作图即可；

(2)先由三线合一定理得到30=OO,AO1BD,再根据平行四边形和菱形的判定定理证明即可.

【详解】(1)解：如图所示，即为所求;

B

(2)证明：=AO平分154。，

:.BO=DO,AO1.BD,(三线合一定理)

VBO=DO,AO=CO,

四边形ASCD为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)

AC.LBD,

二四边形ABC。为菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)

故答案为：三线合一定理；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱

形.

【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，三线合一定理，菱形的判定，平行四边形的判定等等，灵

活运用所学知识是解题的关键.

11.(1)3

(2)+1

⑶是

(4)见解析

【分析】(1)根据折线距离的定义求解即可；

(2)根据折线距离的定义，构建方程求解即可；

(3)如图2中，过点P作PMLy轴于点无轴于点N.则四边形尸MON是矩形，证明

PM+PN=0G=2即可；

(4)根据d(。，Q)=3,画出图形即可.

【详解】(1)解：(-2,-1),

：.d(0,C)=|-2|+|-11=3,

故答案为：3.

(2)解:由题意卜2-l|+|f|=4,

t=±l;

(3)解：如图2中，过点尸作PMLy轴于点PNL无轴于点N.则四边形PMON是矩形，

图2

：.PM=ON,

•.•点F(0,2),G(2,0),

：.OF=OG=2,

：.ZPGN=ZGPN=45°,

：.PN=NG,

：.d(O,P)=\x\+\y\=ON+NG=2,是定值.

故答案为：是；

(4)解：如图3中，正方形ABC。即为点Q组成的图形.

图3

【点睛】本题考查作图-复杂作图，坐标与图形性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解

决问题.

12.(1)(1,1),是

7332

⑵存在，(寸5)与(5，§)

(3)3,限

【分析】(1)设点B的坐标为(2，%)，根据题意得出无2=1，%=g，可知点B坐标为(1，；);由平移的性

质可知A，(-1,3),,根据“1积值对”的定义计算即可得出结论；

(2)设正方形C£＞所的边界上存在“1积值对”加与N,分情况讨论，点%)分别在正方形四条边界上

时是否符合题意即可；

（3）①根据题意，正方形的一个顶点坐标为（1,0）,设该点为A,若其对角点C在A点左侧，验证此情况

不存在“9积值对”；若其对角点C在A点右侧，若要使正方形的边长尽可能小，则“9积值对”两点之一应

在C点，分情况讨论另一点P在A。、CD、上时a的值，可确定正方形的边长的最小值；②当该正方

形的边界上存在"积值对“，设正方形的边长为，"，结合①的结论可确定当正方形的边长最小时，满足

m-m=k,进而可计算正方形边长的最小值为

【详解】（1）解：设点8的坐标为（%，%），根据题意，点41，3）,

可有lx%=1,3x%=l,

解得％=1，%=g，

•••点B坐标为（l,g）,

将线段AB水平向左平移2个单位得到线段AE,

则A'（T,3）,"（T，；），

V（-l）x（-l）=l,3xi=1,

3

线段AE上存在“1积值对

故答案为：（1,］）,是；

（2）正方形CDEF的边界上存在“1积值对”，理由如下：

设正方形CDEF的边界上存在“1积值对"M与N,

①若点在线段CP上，则为=g,点应当满足超=2,

可知点N不在正方形的边界上，不符合题意；

②若点乱（3,乂）在线段CD上，则■，点可（不，%）应当满足%=2,

可知点N不在正方形的边界上，不符合题意；

32

③若点"（玉,乂）在线段E/上，则/=万，点N%,%）应当满足%=］，

点N只可能在线段。E上，即点N（j3：2）,

此时/牛2立3在线段所上，满足题意；

二正方形CDEF的边界上存在“1积值对”（余方与（-,j）；

（3）①根据题意，正方形的一个顶点坐标为（1,0）,设该点为A,若其对角点C在A点左侧，如图1,

此时最大正方形为点C在y轴上，正方形边长为1,由于。4、0c在坐标轴上，不存在“9积值对”，AB,

BC边上的点的横坐标