2022-2023学年人教版九年级数学上册专项复习：一元二次方程的解法（考点题型）解析版

专题02一元二次方程的解法

【思维导图】

◎题型1：直接开平方法

J.___1m3M,、化成X2=-£,当a、c异号时，两边同时开平方得x=±_

技巧：把方程ax2+c=0（a#0）a'a这解一兀二次方程

的方法叫做直接开平方法。

例.（2022•浙江绍兴•八年级期末）一元二次方程N-1=0的根是（）

A.X]~X2~1B.X/=l,无2=-1

C.x/=x?=-lD.X/=1,X2=0

【答案】B

【解析】

【分析】

先移项，再两边开平方即可.

【详解】

解：•次2-1=0,

■•■x2=l,

.••x=±l,

即X-1,xr1.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分

解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

变式1.（2023•福建省福州第十六中学八年级期末）方程X?-1=0的解是（）

A.&=x?=1B.再=0,%=1C.X]=1,——1D.X]=0,x?=-1

【答案】C

【解析】

【分析】

先移项，再两边开平方可得解.

【详解】

解：由原方程可得：X2=l,

两边开平方可得：Xt=l,x2=-1,

故选：C.

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键.

变式2.（2022•江苏•苏州市吴中区城西中学八年级期中）如果关于x的方程口-9>=加+4可以用直接开平

方法求解，那么加的取值范围是（）

A.m>3B.m>3C.m>-4D.m>-4

【答案】D

【解析】

【分析】

根据直接开平方法求解可得.

【详解】

解：•.•（x-9）2=m+4,且方程1-9）2=加+4可以用直接开平方法求解，

/.m+4>0,

•••m>-4.

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键.

变式3.(2022・全国•九年级课时练习)方程有实数根的条件是()

A.a<0B.a>0C.a>0D.a为任何实数

【答案】A

【解析】

【分析】

根据平方的非负性可以得出-壮0,再进行整理即可.

【详解】

解：•••方程/=有实数根，

-a>0(平方具有非负性),

••­a<0；

故选：A.

【点睛】

此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出-壮0.

◎题型2：配方法

技巧：将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c=0(aW0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx=-c；

方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1,如x?+

:x=_$方程的两边都加上一次项系数一半的平方，如+(A)2=-£+(±)\把方程的左边变形为一次二项式的完

aaa2aa2a

卜卜2—

全平方，右边合并或一个掌数，如(X+『)2=“2；方程的两边同

Za4a

时开平方，得到两个一元一次方程，如X+。±-：4ac,分别解这

2a2a

两个一元一次方程，求出两个根，晒二一±吏2-4ac。

2a

例.(2020•江苏无锡•九年级期中)用配方法解方程/+4x+l=0,配方后的方程是()

A.(X+2)2=5B.(x—2产=5C.(x—2尸=3D.(x+2)2=3

【答案】D

【解析】

【分析】

移项后两边配上一次项系数一半的平方可得.

【详解】

解：,■•x2+4x+l=0,

■■•x2+4x=-l,

；.X2+4X+4=-1+4,即(JC+2)2=3,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键.

变式1.(2021•浙江温州•八年级期中)用配方解方程/-6x+1=0,原方程可变形为()

A.(x-3)2=35B.(x-3)2=8C.(x+3『=8D.(x+3)2=35

【答案】B

【解析】

【分析】

方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果即可.

【详解】

解：%2—6x+1=0r变形得J—6x=-1,

配方得X2-6X+9=-1+9,BP(x-3)2=8.

故选:B.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

变式2.(2022•河北•大城县教学研究中心九年级期末)用配方法解方程/=4x+l,配方后得到的方程是

()

A.(x+2)2=5B.(x-2)2=5C.(x+2>=3D.(x-2)2=1

【答案】B

【解析】

【分析】

先把一次项移到等式的左边，然后在左右两边同时加上一次项系数-4的一半的平方.

【详解】

解：把方程，=4x+1移项，得：x2—4x—1,

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到尤2_以+4=1+4,

配方得(x-2)占5,

故选：B.

【点睛】

本题考查了配方法解一元二次方程.配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的

系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方

程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

变式3.(2022•江苏•九年级专题练习)关于x的方程x(x-1)=3(x-1),下列解法完全正确的是

()

ABCD

整理得，x2-4x=

整理得，x2-4x=

-3:。=1,b=-4,

-3配方得，移项得，(x-3)

c=-3,

两边同时除以N-4x+2=-1(x-1)=0，x-3

b2-4QC=28

(x-1)得，x=3(x-2)2=-1=0或x-1=0

4士后

・•・、-2=±1X

•••x=2=2土2=3

•'•X7—1,%2=3

不

A.AB.Bc.cD.D

【答案】D

【解析】

【分析】

A.不能两边同时除以(x-1),会漏根；

B.化为一般式，利用公式法解答；

C.利用配方法解答；

D.利用因式分解法解答

【详解】

解：A.不能两边同时除以(x-1),会漏根，故A错误;

B.化为一般式，a=l,b=-4,c=3,故B错误；

C.利用配方法解答，整理得，N-4x=-3,配方得，N-4X+22=1,故C错误；

D.利用因式分解法解答，完全正确，

故选：D

【点睛】

本题考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题

关键.

◎题型3：配方法的应用

例.(2022•全国•九年级课时练习)已知三角形的三条边为a,6,c,a2-10a+Z>2-166+89=0,则这

个三角形的最大边c的取值范围是()

A.c>8B.5<c<8C.8<c<13D.5<c<13

【答案】C

【解析】

【分析】

先利用配方法对含。的式子和含有6的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出。和6的值，然后根据三

角形的三边关系可得答案.

【详解】

解：•••。2一100+〃_166+89=0,

•••(a2-10a+25)+(〃-166+64)=0,

(a-5)2+(6-8)2=0,

v(a-5)2>0,(6-8)2>0,

•••(7-5=0,6-8=0,

'­a=5,6=8.

•••三角形的三条边为q,b,c,

.*.3<c<13.

又・・・这个三角形的最大边为c,

.*.8<c<13.

故选：C.

【点睛】

本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系

是解题的关键.

变式1.（2022•全国•九年级课时练习）已知方程/-6x+4=口，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其

配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（）

A.6B.9C.2D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】

设印刷不清的数字是根据完全平方公式展开得出/一2川“2=7,求出N一2川+4=1122,再根据题意得出一

2p=-6,a=ll-p2,最后求出答案即可.

【详解】

设印刷不清的数字是。，

Cx-p）2=7,

x2-2px+p2=l,

■•■x2-2px=7-p2,

-'-x2-2px+4=\\-p2,

•••方程N-6x+4=口，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x-p）2=7的形式，

■'--2p=-6,a=\\-p2,

；.p=3,a=11-32=2,

即印刷不清的数字是2,

故选：C.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程和完全平方公式，能求出-22=-6是解此题的关键.

变式2.（2020•福建省泉州第一中学九年级阶段练习）已知实数〃7,八,c满足加2-机+Jc=0,

4

n=\2m2-\2m+c2+-,则〃的取值范围是（）

4

、77八八

A.〃之—B.〃〉—C.—2D.n>—2

44

【答案】A

【解析】

【分析】

由加2-加+'c=0变形得机2-加=一工C,代入〃=12加2-12加+，+J■中得到〃=H-3C+L再进行配方，

4444

根据非负数的性质即可得到答案.

【详解】

21

•/m-m+—c=0

4

/.m2-m=——c

4

2/、2、1

m—m—\m—1)—1>—

244

:.c<\

n=12m2-12m+c2+—=12(m2-m)+c2+—=12x(——c)+c2+—=c2-3c+—

44444

3

/.n=(c-1)?2-2

v(c--)2>-

24

、7

n>——

4

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键.

变式3.(2022・全国•九年级课时练习)若x为任意实数时，二次三项式-—6X+C的值都不小于0,则常数

c满足的条件是()

A.c>0B.c>9C.c>0D.c>9

【答案】B

【解析】

【分析】

把二次三项式进行配方即可解决.

【详解】

配方得：x2-6x+c=(x-3)2-9+c

22

v(x-3)>0,且对％为任意实数，x-6x+c>0

-9+c>0

c>9

故选：B

【点睛】

本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个

数即可配成完全平方式.

◎题型4：公式法

技巧：一元二次方程ax2+bx+c=0(a

#0),用配方法所求出的两个根％="+-"a、和==

…噌小(b2_4ac>Q),有

2a

广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a,b,c的值代入两根公式中直接解出，所以

―b+—4ac

把这种方法称为公式法’耐匕一(b-4ac》o)叫做一+bx+c=0(a#O)的求根公式。

例.(2022•全国•九年级课时练习)已知某一元二次方程的两根为[=一5±,52+4x3x1,则此方程可能是

2x3

()

A.3X2+5X+1=0B.3X2-5X+1=0

C.3/-5x-l=0D.3X2+5X-1=0

【答案】D

【解析】

【分析】

直接根据一元二次方程的求根公式进行判断即可.

【详解】

解：A.3/+5才+1=0的两根为》=最旦±1辽，故选项A不符合题意；

2x3

B.3尤2-5x+l=0的两根为x=5±，52-4x3x1,故选项B不符合题意；

2x3

C.3尤2-5工一1=0的两根为工=也三运11，故选项C不符合题意；

2x3

D.3/+5x_]=0的两根为x=一5±J5?+4x3xl,故选项D符合题意；

2x3

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解答本题的关键.

变式1.（2022•全国•九年级课时练习）用公式法解方程4产-12y-3=0,得到（）

八-3±V603±V6小3±2A/36-3±273

A.y=----------B.y=--------C.y=-------D.y=------------

2222

【答案】c

【解析】

【分析】

按照公式法求解一元二次方程的步骤，求解即可.

【详解】

解：4/-12j;-3=0

Q=4,b=—12,c=-3

判另ij式A=b2_4〃c=（—12）2—4x4x（—3）=192>0

_-b士正-4ac_12土_12±8/_3±2若

“-2a."8--8---2~

故选：C

【点睛】

此题考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求解一元二次方程的步骤.

变式2.（2021•河南南阳•九年级阶段练习）x=3±g?+4x1x2是下列哪个一元二次方程的根（）

2x2

A.2/-3x+l=0B.2/+3X+1=0

C.2X2+3X-1=0D.2X2-3X-1=0

【答案】D

【解析】

【分析】

根据求根公式，反推出一元二次方程各项的系数，即可求解.

【详解】

解：设一元二次方程为ax2+6x+c=0（aw0）,

则方程的根为x=七土正-4ac

2a

又因为*_3土13~+4x1x2_-(-3)±>/(-3)—4x(-1)x2

2x22x2

则a=2,6=—3,c=—1

一元二次方程为2X2-3X-1=0

故选D

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是利用求根公式得到一元二次方程各项的系数.

变式3.(2021•湖南邵阳•九年级期末)用求根公式法解方程/一2x-5=0的解是()

A.xl-\+V6,x2=l—>/6B.-2+V6,x2-2—>/6

C.&=1+#>,x1—\—D.&=2+#>,x2-2-y/5

【答案】A

【解析】

【分析】

列出方程各项系数，再利用公式法求解即可.

【详解】

得解：-2x-5=0中，a=l,b=-2,c=-5,

；.△=4-4x1x(-5)=24>0,

••.方程有两个不相等的实数根，

•.・x二2±2/=i土J,

2

即X]=1+y/6,X2—i—V6,

故选:A.

【点睛】

本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用公式法，本题属于基础题型.

◎题型5:根的判别式

【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(aHO)的根与△=b2-4ac有如下关系:①当△>0时,

方程有两个不相等的实数根；

②当△=()时，方程有两个相等的实数根；

③当△<0时，方程无实数根.上面的结论反过来也成立.

例.（2022・湖南•长沙市立信中学八年级期中）关于X的一元二次方程3x2+2x+l=0的根的情况，下列判断

正确的是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

【答案】C

【解析】

【分析】

判断方程的根的情况，根据一元二次方程根的判别式/=〃-4碇的值的符号即可得到结论.

【详解】

解:vzl=Z72-4ac=22-4x3x1=-8<0,

•••方程总没有实数根.

故选：C.

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程OX2+6X+C=0（存0）的根与/=62-4ac有如下关系：当/>0时，方

程有两个不相等的实数根；当/=0时，方程有两个相等的实数根；当/<0时，方程无实数根.

变式1.（2022•吉林长春•九年级期末）一元二次方程——3x—2=0的根的判别式的值为（）

A.17B.IC.-1D.-17

【答案】A

【解析】

【分析】

找出方程a,b,c的值，代入中计算即可.

【详解】

解：一元二次方程N-3X-2=0,

"-"a=l,b=-3,c=-2,

：.A=b2Aac=（-3）2-4xlx（-2）=9+8=17.

故选：A.

【点睛】

此题考查了根的判别式，一元二次方程aN+6x+c=0（0邦），当〃一4℃>0时，方程有两个不相等的实数

根；当〃-4m<0时，方程没有实数根；当〃一4m=0时，方程有两个相等的实数根，反之也成立.

变式2.（2022•全国•九年级课时练习）如果关于x的一元二次方程/+"+q=0的两根分别为占=3,

%=1,那么这个一元二次方程是（）

A.X2—4x+3=0B.x2+4x-3=0

C.x2+3x+4=0D.x2+3x-4=0

【答案】A

【解析】

【分析】

根据根与系数的关系，直接代入计算即可.

【详解】

解：•••关于x的一元二次方程尤2+px+«=0的两根分别为占=3,x2=l,

­•-3+l=-p,3xl=q,

■■■p=-4,q—3,

所以这个一元二次方程是X2-4X+3=0,

故选：A.

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算.

变式3.（2022•江西上饶•九年级期末）已知关于x的方程2/-2x+2左-1=0有实数根，则k的取值范围是

（）

.,1,1,3,3

A.k<—B.k<—C.k<—D.k>—

4444

【答案】C

【解析】

【分析】

若一元二次方程有实数根，那么方程根的判别式△=抉-4ac^0,可据此求出k的取值范围.

【详解】

解：：关于x的方程2x?_2x+lk-1=0有实数根，

AA=b2-Aac^O,即4-4义2（2左-1）20,

3

解得人“

故选：c.

【点睛】

本题考查了根的判别式.一元二次方程根的情况与判别式A=62-4ac的关系：(1)△=〃-4ac>0,方

程有两个不相等的实数根；(2)A=〃-4ac=0,方程有两个相等的实数根；(3)A-4«c<0,方程

没有实数根.

◎题型6：因式分解法

技巧：

提取公因式法：am-bm-cm=m(a-b-c)

公式法：a2-b2=(a-b)(a-b),a2T2ab-b2=(a-b)2

十字相乘法：x2十(arb)x-ab=(x+a)(x-b)

例.(2022•全国•九年级课时练习)用因式分解法解方程，下列方法中正确的是()

A.(2x—2)(3x—4)=0,；.2x—2=0或3x—4=0

B.(x+3)(x—1)=1,.,.x+3=0或x—1=1

C.(x—2)(x—3)=2x3,---x—2=2或x—3=3

D.x(x+2)=0,.,-x+2=0

【答案】A

【解析】

【分析】

用因式分解法时，方程的右边为0,才可以达到化为两个一次方程的目的.

【详解】

A：等式右边为0,分解正确，符合题意；

B：等式右边和，不符合题意；

C：等式右边却，不符合题意；

D：x(x+2)=0，［x+2=0或x=0；

故答案为：A

【点睛】

本题考查了因式分解法解一元二次方程，用因式分解法时，方程的右边必须为0,根据两个因式的积等于

0,则这两个因式中至少有一个为0,才能将方程降次为两个一元一次方程.

变式1.(2022・湖北恩施•九年级期末)一元二次方程/+》-6=0的根是()

A.x=2B.x=—3C.x=—2D.X1=2,迎=—3

【答案】D

【解析】

【分析】

运用因式分解法求得方程的根，选择即可.

【详解】

***x~+x—6=0，

(x+3)(x-2)=0,

解得再=2,x2=-3,

故选：D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的解法，选择适当的求根方法是解题的关键.

变式2.(2022•北京通州•八年级期末)如果l+2a=0,那么。的值是()

A.0B.2C.0,2D.0,-2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用因式分解法求解即可.

【详解】

解：•••a2+2a=0,

:,a(a+2)=0,

即a=0或。=-2,

故选：D.

【点睛】

本题考查因式分解法解一元二次方程.能正确对等式左边分解因式是解题关键.

变式3.(2022••八年级期末)已知关于x的方程N+(后+3)x+左+2=0,则下列说法正确的是()

A.不存在人的值，使得方程有两个相等的实数解

B.至少存在一个人的值，使得方程没有实数解

C.无论左为何值，方程总有一个固定不变的实数根

D.无论人为何值，方程有两个不相等的实数根

【答案】C

【解析】

【分析】

根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解.

【详解】

解：由题意得：A=/-4ac=（左+3）2-4（左+2）=左？+2左+1=（4+1）220,

.•.A、存在后的值，使得方程有两个相等的实数根；故错误；

B、无论人为何值，方程总有实数根；故错误；

C、'-x2+（左+3）x+k+1=0,

•••（x+k+2）（x+1）=0,

'■X]=-k-2,X2=-l>

••.无论人为何值，方程总有一个固定不变的实数根，正确；

D、无论左为何值，方程总有实数根；故错误；

故选C.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.

◎题型7：换元法

【技巧】换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的

是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,

变得容易处理.

例.（2022•江苏南京•二模）若关于龙的方程aN+bx+c=0的解是打=3,x2=-5,则关于y的方程

a(y+1y+b(y+1)+c=0的解是()

A.必=4,y2=-4B.必=2,y2=—6

C.%=4,%=-6D.必=2,y2=—4

【答案】B

【解析】

【分析】

设片y+L则原方程可化为0+6/+c=0,根据关于％的一元二次方程aN+bx+c=O的解为肛=3,x2=-5,得到

力=3,勿=・5,于是得到结论.

【详解】

解：设年y+1,

则原方程可化为at2+bt+c=0,

2

•・・关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的解为X]=3,x2=-5,

•,•力=3,，2=-5,

•,少+1=3或y+l=-5,

解得力=2,力=-6.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系.

变式1.（2022•安徽•合肥市第四十五中学八年级阶段练习）关于x的方程4（2X+加）2+6=0的解是

国=2,x2=-1,（a,b,加均为常数，中0）,则方程a（2x+"?+2）2+6=0的解是（）

A.修=2,工2=-1B.X]~4,%2=1C.X；—0»x2=-3D.M=1,X2=L-2

【答案】D

【解析】

【分析】

把方程a（2x+机+2）2+6=0可变形为4[2（X+1）+〃?『+6=0,即可把X+1看作整体，相当于前面一个方程

中的x进行求解即可.

【详解】

方程a（2x+机+2>+b=0可变形为0[2（工+1）+加J+6=0,

••・关于苫的方程。（2工+加）2+6=0的解是否=2,无2=一1（a,m,6均为常数，存0）,

***x+1=2或x+1=—1,

解得：再=1,x?=-2.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了方程解的定义.注意根据两个方程的特点进行简便计算.

变式2.（2021•江苏镇江•九年级期中）解方程（x-1）2-5（x-1）+4=0时，我们可以将x-l看成一个整体，

设x-l=y,则原方程可化为产-5>4=0,解得刃=1,"=4.当尸1时，即x-l=l,解得x=2；当y=4时，即x-

1=4,解得x=5,所以原方程的解为：xi=2,X2=5.则利用这种方法求得方程（2x+5）2-4（2x+5）+3=0的

解为（）

A.再=1,%=3B.X]=-2,无②=3

C.&=_1,%=_2D.%=­3,x?=—1

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据题意可以设尸2x+5,方程可以变为产4尹3=0,然后解关于y的一元二次方程，接着就可以求出

X.

【详解】

解：（2x+5）2-4（2x+5）+3=0,

设y=2x+5,

方程可以变为俨-4y+3=0,

.•少尸1,h=3,

当y=l时，即2x+5=l,解得x=-2；

当y=3时，即2x+5=3,解得x=-1,

所以原方程的解为：Xi=-1,X2=-l.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了利用换元法解一元二次方程，解题的关键是利用换元法简化方程，然后利用一元二次方程

的解法解决问题.

变式3.（2021・全国•八年级课时练习）已知，+力，+/_1）_6=0,则的值是（）

A.3或-2B.-3或2C.3D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】

设■=/+/，则原方程变为=0解出关于。的方程，取非负值值即为寸+，的值.

【详解】

解：设。=x?NO),

••1(尤2+y2)(/+y2-l)-6=0,

a(a-1)-6=0,即a?-q-6=0,

(a-3)(a+2)=0,

解得。=3或〃=-2(舍去)，

*'•x2+y2=3,

故选C.

【点睛】

本题考查解一元二次方程，掌握换元思想可以使做题简单，但需注意。=—+/20.

◎题型8：根与系数的关系

【技巧】根与系数的关系若xLx2是一元二次方程ax2+bx+c=°(a*0)的两根时，xl+x2=-J,xlx2=

c

z-

例.(2022•贵州黔东南•中考真题)已知关于X的一元二次方程工2一2x-a=o