数学优化训练：向量数量积的运算律

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。3.2向量数量积的运算律5分钟训练（预习类训练,可用于课前)1.有下面四个关系式：①0·0=0；②(a·b)c=a(b·c）；③a·b=b·a；④0aA.4B.3C.2解析:只有③是正确的.①错，因为数量积的结果是数量而不是向量；②错，因为数量积不满足结合律;④错，因为实数与向量的积结果应是向量.答案：D2.已知e1和e2是两个单位向量，夹角为，则下面的向量中与2e2—e1垂直的是（）A。e1+e2B。e1-e2C。e1D。解析：依题意，｜e1｜2=|e2｜2=1，θ=,∴e1·e2=｜e1｜｜e2｜cosθ=.对于A,（e1+e2)·（2e2—e1)=2e22—e12+e1·e2=;对于B，(e1-e2)·(2e2-e1）=—2e22—e12+3e1·e2=；对于C，e1·（2e2—e1）=2e1·e2—e12=0;对于D，e2·(2e2-e1)=2e22-e1·e2=.∴e1⊥（2e2-e1).答案:C3.已知|a｜=｜b|=5,向量a与b的夹角为，则|a+b|、|a-b|的值分别为___________、___________.解析：依题意得a2=｜a|2=25，b2=|b｜2=25.a·b=|a｜|b|cosθ=5×5×cos=.∴|a+b|=。同理,｜a—b|==5。答案：54.已知|a｜=6，|b|=4，a与b的夹角为60°，则（a+2b）·(a-3b）=___________。解:（a+2b）·（a-3b)=a·a—a·b—6b·b=｜a｜2—a·b—6｜b|2=｜a|2—｜a|｜b｜cosθ-6｜b｜2=62—6×4×cos60°—6×42=-72.答案：—7210分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.关于向量a、b,下列命题中正确的是（）A.a—b=a+(—b）B。a—a=0C.|a-b｜＞｜a｜—｜b|D.a∥b存在唯一的λ∈R，使b=λa解析：向量的和与差仍是向量,因此B是错误的，应改为a—a=0.根据向量减法的三角形法则，当非零向量a与b不共线时,|a-b|＞|a｜—｜b｜；当a与b同向或a，b中有一个为0时,|a-b｜=||a｜—｜b｜｜，因此C不正确;D是在判断两向量平行时最常见的错误，它成立的前提是a≠0。答案：A2.向量m和n满足|m|=1，｜n｜=2,且m⊥（m-n），则m与n夹角的大小为（）A。30°B。45°C.75°D。135°解析：设m与n夹角为θ,则由m⊥(m-n),知m·(m-n）=0，m2-m·n=0，∴m·n=m2=|m|2=1。∴cosθ=.∴θ=45°.答案：B3。已知非零向量a、b、c两两夹角相等,且|a|=|b｜=｜c｜=1，则｜a+b+c|等于（）A。0B。1C解析：a、b、c两两夹角相等有两种情形:夹角为0°（即三个向量同向)和夹角为120°.答案：D4.若向量a、b、c满足a+b+c=0,且｜a｜=3，|b｜=1，|c｜=4，则a·b+b·c+c·a=___________.解析：解法一：根据已知条件，知|c|=|a|+|b|，c=-a—b，从而可知a与b同向，c与a、b反向.所以有a·b+b·c+c·a=3×1×cos0°+1×4×cosπ+4×3×cosπ=3—4—12=-13.解法二：因为（a+b+c)2=a2+b2+c2+2（a·b+b·c+c·a)，所以a·b+b·c+c·a===—13.答案：—135。已知|a|=4，｜b|=5，且a，b夹角为60°。求值：（1)a2-b2；(2）（2a+3b）·（3a-2解:(1)a2—b2=|a|2—|b|2=42—52=-9;(2)（2a+3b)·（3a—2b）=6a2+5a·b6。在△ABC中，若·=·=·，那么点O是△ABC的什么特殊点?解：如图,由·=·，得·(-)=0，·=0。∴⊥即OB⊥CA。同理,OC⊥AB.⊥BC.∴O为△ABC的垂心。30分钟训练（巩固类训练，可用于课后)1.以下等式中恒成立的有（）①｜a·b｜=|a|｜b|②（a·b)2=a2·b2③|a|=④a2—2b2=(a-b)·(a+b）A.1个B.2个C.3个D。4个解析：对于①,|a·b|=｜a｜｜b|｜cosθ|≤|a|｜b|，仅当θ=0°或180°时或b=0或a=0时等号成立；对于②，实质上是依据乘法结合律进行的变形，对于向量的内积运算不适用；③和④均符合运算法则，故只有③④正确。答案：B2.若a+b=c，a-b=d,且c⊥d，则一定有()A.a=bB。｜a｜=｜b｜C.a⊥bD.｜a|=|b|且a⊥b解析：∵c⊥d，∴（a+b)·（a-b)=0.∴a2—b2=0，即|a|=｜b|，故应选B。答案：B3.（2006高考浙江卷，文2)设向量a,b，c满足a+b+c=0,a⊥b，|a｜=1,｜b|=2,则｜c|2等于(）A。1B。2C解析：｜c|2=|a+b｜2=a2+b2+2a·b=｜a｜2+|b|2答案:D4.已知a,b是非零向量，满足(a—2b)⊥a,（b—2a）⊥b,则a与bA。B.C.D.解析：由（a—2b)⊥a，（b-2a)⊥b∴a·(a-2b)=0，b·（b—2a∴a2=2a·b，b2=2a·∴2|a||b|cosθ=｜a｜2=｜b｜2。cosθ=，∴θ=。答案：B5。在菱形ABCD（如图2—3—1）中，下列关系式不正确的是（）图2-3—1A.∥B。（+)⊥(+)C。(-)·(—）=0D。·=·解析：A显然正确；B：+=,+=，∵菱形对角线垂直,∴⊥。∴B正确；C：—=，-=，同B一样，正确。D：·=|||｜cos∠BAD，=｜｜||cos(π—∠BAD）=-｜||｜cos∠BAD=-｜|｜｜。∴D错误.答案：D6。A、B、C、D为平面上四个互异点，且满足(+—2）·（-）=0，则△ABC的形状是（)A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D。等边三角形解析：由(+—2）·(—)=0，知［(—)+(-）]·（—)=0，（+）·(-)=0，即2=2。∴|｜=｜｜。答案：B7。已知:a·b=，|a|=4，则b在a方向上的射影数量为_____________.解析：|a｜|b|cos〈a，b〉=,又|a|=4,∴|b｜cos〈a，b〉=.答案：8。设O、A、B、C为平面上的四个点,=a，=b，=c,且a+b+c=0，a·b=b·c=c·a=-1,则|a｜+｜b|+|c|=_____________.解析：∵a·(a+b+c）=a·0=0，a·a+a·b+a·c=0，a·a-1-1=0,∴｜a|=.同理｜b｜=｜c|=，即｜a|+｜b｜+|c｜=。答案：9。已知|a｜=4,｜b|=3,a与b的夹角为120°，且c=a+2b，d=2a+kb（1)c⊥d；(2)c∥d？解:设c与d的夹角为θ,则由已知得c·d=(a+2b）·（2a+kb）=2a2+（4+k)a·b+2k=2×42+（4+k)×4×3×cos120°+2k·32=8+12k，｜c|=｜a+2b｜=，|d|=|2a+kb|=.∴cosθ=.(1）要使c⊥d，只要cosθ=0，即6k+4=0.∴k=。(2)要使c∥d，只要cosθ=±1，即=±(6k+4），解得k=4.综上，当k=时，c⊥d；当k=4时,c∥d。10。已知a，b为非零向量，当a+tb（t∈R）的模取到最小值时，(1)求t的值；(2）已知a与b共线同向，求证：b⊥（a+tb）。(1)解：令m=|a+tb|，θ为a，b的夹角，则m2=｜a｜2+2ta·b+t2｜b|2=t2|b｜2+2t｜a｜|b|cosθ+|a|2=|b|2（t+cosθ）2+|a|2sin2θ，∴当t=cosθ时，｜a+tb|有最小值|a|sinθ.（2)证明：∵a与b共线且同向，故cosθ=1，∴t=.∴b·（a+tb）=a·b+t|b|2=|a｜｜b|-｜a｜|b｜=0。∴b⊥（a+tb）.11.设a⊥b，且｜a｜=2，｜b｜=1，又k,t是两个不同时为零的实数，（1)若x=a+(t—3)