上海市浦东新区2023-2024学年高二上学期期末数学试题

关注公众号《品数学》加入高中数学资料群（QQ群号734924357），获取更多精品资料浦东新区高二（上）期末考试数学试卷一、填空题1.三点不在同一直线上，则经过这三个点的平面有______个.【答案】1【解析】【分析】根据确定平面的方法即可.【解析】不在同一条直线上的三点确定一个平面.故答案为：1.2.现行国际比赛标准的乒乓球直径是40毫米，在忽略材料厚度和制造误差的情况下，则乒乓球的表面积大约为______平方毫米．（数值近似到0.01）【答案】【解析】【分析】利用球的表面积公式计算即可．【解析】由题意知．故答案为：．3.以下论述描述正确的是______.（请填写对应序号）①随机现象是不可重复的；②随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的；③概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小.【答案】③【解析】【分析】根据随机现象的性质即可逐一求解.【解析】对于①，随机现象是可以重复的，比如抛一枚硬币多次，可以重复出现正面朝上，故错误，对于②,比如抛一枚骰子，出现1点朝上的可能性显然小于偶数点朝上的可能性，故错误，对于③,概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小，正确，故答案为：③4.甲和乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙和棋的概率为______.【答案】##【解析】【分析】利用互斥事件概率加法公式直接进行求解【解析】甲和乙下中国象棋，甲获胜的概率为，甲不输的概率为，甲乙和棋概率为：故答案为：.5.从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是______.【答案】6【解析】【分析】利用列举法即可直接得出结果.【解析】设第一次取出的球标号为，第二次取出的球标号为，记基本事件为，，则所有的基本事件为，共6个.所以上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是6.故答案为：66.已知正方体，点为线段上的点，则满足平面的点的个数为______.【答案】1【解析】【分析】根据面面垂直的性质定理及在一个平面内过一点作已知直线的垂线的唯一性可得结果.【解析】在正方体中，面，所以平面面，且平面面，连接，交于P，则有,即，由面面垂直的性质定理有平面，又在平面内过点作直线的垂线有且仅有一条，故垂足点P有且仅有一个，故答案为：1.7.若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4，则球的体积为______.【答案】##【解析】【分析】利用球的截面小圆性质，求出求半径及体积.【解析】依题意，球的半径，所以球的体积.故答案为：8.中国17岁射击运动员黄雨婷在2023年杭州亚运会上以顽强作风和精湛技艺为中国代表团摘得三枚金牌，展现了奋发向上、勇攀高峰的精神面貌.以下是她在女子10米气步枪个人项目决赛最后淘汰赛阶段14次射击取得的成绩（单位：环）123456789101112131410.310.310.410.410.810.810.510.410.710.510.710.710.310.6则该组数据的方差是______.（近似到0.001）【答案】【解析】【分析】由题意中表格中的数据求出平均数，结合方差公式计算即可求解.【解析】由题意知，平均数为，则方差为.故答案为：0.0329.在正方体八个顶点中任取两点，则这两个点所确定的直线与正方体的每个面都相交的概率是______.【答案】【解析】【分析】结合概率公式与组合数的计算即可得.【解析】只有体对角线和每个面都相交，体对角线共有条，正方体八个顶点中任取两点共有种取法，则其概率为.故答案为：.10.把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别写在10张一样的卡片上，并随机抽取1张.设A：出现偶数，B：出现3的倍数.若“A，B两个事件至少有一个发生”的对立事件是C，则事件C对应的子集是______.【答案】【解析】【分析】根据事件的关系即可求解，结合子集的定义求解.【解析】事件包含的基本事件有事件包含的基本事件有包含的基本事件有,事件包含的基本事件有则事件C对应的子集是.故答案为：.11.两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是______.【答案】【解析】【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可.【解析】记事件“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”，由相互独立事件同时发生概率乘法公式得，，所以.故答案为：.12.如图，在正四棱柱中，分别是棱的中点，直线过点．①存在唯一的直线与直线和直线都相交；②存在唯一的直线与直线和直线所成的角都是；③存在唯一的直线与直线和直线都垂直；以上三个命题中，所有真命题的序号是______.【答案】①③【解析】【分析】根据异面直线的性质以及夹角即可结合选项求解.【解析】对于①，若直线与直线相交，则直线在平面内，若直线与直线相交，则直线在平面内，因此直线为平面与平面的交线，因此只有一条；对于②，直线和直线所成角为，其补角为，，故应该是三条直线；对于③，异面直线的公垂线有且只有一条，过点作与公垂线平行的直线即可；故答案为：①③.二、单选题13.某校有学生1800人，为了解学生的作业负担，学校向学生家长随机抽取了1000人进行调查，其中70%的家长回答他们孩子每天睡眠时间大致在6-7小时，28%的家长回答他们孩子回家做作业的时间一般在3-4小时，下列说明正确的是（）.A.总体是1000 B.个体是每一名学生C.样本是1000名学生 D.样本容量是1000【答案】D【解析】【分析】根据总体、个体、样本和样本容量的概念依次判断选项即可.【解析】A：总体是1800学生每天睡眠时间和作业时间，故A错误；B：个体是每一名学生每天睡眠时间和作业时间，故B错误；C：样本是1000名学生每天睡眠时间和作业时间，故C错误；D：样本容量是1000，故D正确.故选：D.14.下列命题中，为假命题的是（）A.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B.垂直于同一个平面的两条直线平行C.是空间两条直线，若且，则D.若直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线垂直于平面【答案】C【解析】【分析】根据空间中的点线面的关系即可求解.【解析】对于A，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确；对于B，垂直于同一个平面的两条直线平行，正确；对于C，是空间两条直线，若且，则或者异面，故C错误；对于D，根据线面垂直的判定定理即可知D正确.故选：C15.某同学将观察学校柚子树生长习性作为自主研究课题，他观察了校园内6株柚子树成熟结果个数（两位数）并用茎叶图（如图所示）做了记录，则这6株柚子树成熟结果个数的中位数为（）A.21 B.21.5 C.22 D.22.5【答案】B【解析】【分析】利用中位数的定义，结合茎叶图列式计算即得.【解析】由茎叶图知，这6株柚子树成熟结果个数的中位数为.故选：B16.如图，圆锥形容器的高为3厘米，圆锥内水面的高为1厘米，若将圆锥容器倒置，水面高为，下列选项描述正确的是（）A.的值等于1 B.C.的值等于2 D.【答案】D【解析】【分析】设圆锥形容器的底面积为S，由相似的性质可得未倒置前液面的面积为，根据圆锥的体积公式求出水的体积；再次利用相似的性质表示出倒置后液面面积，由水的体积建立关于的方程，解之即可求解.【解析】设圆锥形容器的底面积为S，未倒置前液面的面积为，则，所以，则水的体积为；设倒置后液面面积为，则，则水的体积为，解得.故选：D.三、解答题17.如图，已知圆柱底面半径为2，母线长为3，（1）求该圆柱的体积和表面积（2）直角三角形绕旋转一周，求所得圆锥的侧面积【答案】（1）体积为，表面积为；（2）【解析】【分析】（1）由圆柱体积公式可得体积，由侧面积公式先求侧面积，表面积为侧面积加上两个底面积可得；（2）先求圆锥母线长，再由侧面积公式可得.【小问1解析】圆柱的底面半径，母线长，即高，体积，表面积.【小问2解析】由题意，圆锥母线，所得圆锥的侧面积为.18.（1）骰子是每一面上分别标注数字圆点1，2，3，4，5，6且质地均匀小正方体，常被用来做等可能性试验，习惯上总是观察朝上的面和点数，请写出下列随机试验的样本空间；①单次掷一颗骰子，观察点数；②先后掷两颗骰子，观察点数之和为7且第二次点数大于第一次点数的可能结果；（2）掷一颗骰子，用分别表示事件“结果是偶数”与事件“结果不小于3”.请验证这两个随机事件是否独立，并请说明理由.【答案】（1）；②；（2）相互独立，理由见解析【解析】【分析】（1）列举法即可求解，（2）根据乘法公式验证即可判定是否独立.【解析】（1）①；②.（2），，则事件是相互独立的.19.如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形．（1）求异面直线与所成的角的大小；（2）在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，1【解析】【分析】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角，根据三角形的边角关系即可求解，（2）根据几何法求解线面角，利用三角形的边角关系即可求解.【小问1解析】因为正方形，则，则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角，因为三角形是等边三角形，则平面，平面，，．所以异面直线AC与BD所成的角为．【小问2解析】作交于点，连接，平面，平面，则与平面所成的角为，设，则，则.20.如图，在长方体中，.（1）求二面角的正切值；（2）设三棱锥的体积为，是否存在体积为（为正整数），且十二条棱长均相等的直四棱柱，使得它的所有棱长和为24，若存在，求出该直四棱柱底面菱形的内角的大小；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，答案见解析【解析】【分析】（1）过作，根据题意，证得，得到为二面角的平面角，在直角中，即可求解；（2）求得三棱锥的体积为，结合题意，得到每条棱的长度为2，设底面菱形的一个角为，得到直四棱柱的体积为，进而求得，从而得解.【小问1解析】过作交于，连接，因为为长方体，可得平面，又因为在底面的投影为且，所以，所以即为二面角的平面角，在直角中，可得，在直角中，可得，所以二面角的正切值为.【小问2解析】三棱锥的体积为，因为十二条棱长均相等的直四棱柱，使得它的所有棱长和为24，则每条棱的长度为2，设直四棱柱的底面菱形的一个角为，则底面积为，则直四棱柱的体积为，可得，当时，，可得；当时，，可得；当时，，可得；当时，此时，无解，综上可得，当时，；当时，；当时，；当时，不存在.21.年月日至月日在国家会展中心举办中国国际进口博览会期间，为保障展会的顺利进行，有、两家外卖公司负责为部分工作者送餐.两公司某天各自随机抽取名送餐员工，统计公司送餐员工送餐数，得到如图频率分布直方图；统计两公司样本送餐数，得到如图送餐数分布茎叶图，已知两公司样本送餐数平均值相同.（1）求的值（2）求、的值（3）为宣传道路交通安全法，并遵循按劳分配原则，公司决定员工送餐份后，每多送份餐对其进行一次奖励，并制定了两种不同奖励方案：方案一：奖励现金红包元.方案二：答两道交通安全题，答对题奖励元，答对题奖励元，答对题奖励元.员工每一道题答题相互独立且每题答对概率为与该员工交通安全重视程度相关）.求下表中的值（用表示）；从员工收益角度出发，如何选择方案较优？并说明理由.附：方案二综合收益满足公式，为该员工被奖励次数.方案二奖励元元元概率【答案】（1）（2），（3），答案见解析【解析】【分析】（1）根据两公司样本送餐数平均值相同，可得出关于的等式，解之即可；（2）在公司中，送餐数在区间和送参数在区间的员工人数之比为，结合频