数学优化训练：角的概念的推广

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第一章基本初等函数（Ⅱ)1.1任意角的概念与弧度制1。1.1角的概念的推广5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1。钟表的分针在一个半小时转了(）A.180°B.—180°C.540°D。-540°解析：分针旋转的角为负角，其值为—（360°+180°）=—540°。答案:D2。四个角—398°,38°，142°，1042°中，终边相同的角是（)A.—398°，38°B。-398°，142°C.-398°，1042°D.142°，1042°解析：—398°=-1×360°-38°,1042°=3×360°—38°。答案：C3.填空题：（1)角可以看成平面内______________________________所成的图形.（2）按___________________方向旋转形成的角叫做正角；按___________________方向旋转形成的角叫做负角；如果___________________，我们称它形成了一个零角。解析:在角的形成过程中，既要知道旋转量，又要知道旋转方向.答案：（1)一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置(2）逆时针顺时针一条射线没有做任何旋转4.终边落在射线y=（x＞0)上的角的集合为___________________。解析：直线y=的斜率为，所以倾斜角为60°.射线y=x（x＞0）是x轴上方的部分,所求的角可表示为｛β|β=k·360°+60°，k∈Z}.答案:｛β｜β=k·360°+60°,k∈Z｝10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.下列各命题正确的是（)A.终边相同的角一定相等B。第一象限的角都是锐角C。锐角都是第一象限的角D.小于90°的角都是锐角解析：对于选项A，如-60°和300°是终边相同但不相等的角，则应排除A项；对于选项B，390°是第一象限的角但不是锐角，则应排除B项；对于选项D,-60°是小于90°的角，但它不是锐角,则应排除D项。选C。答案：C2.与—457°角终边相同的角的集合是（）A。｛α｜α=k·360°+457°，k∈Z｝B.{α|α=k·360°+97°，k∈Z}C。{α｜α=k·360°—263°,k∈Z｝D。{α|α=k·360°+263°，k∈Z}解析:—457°=—2×360°+263°,所以D项正确。答案：D3。已知角α是第三象限角，则角—α的终边在（）A。第一象限B.第二象限C.第三象限D。第四象限解析：因为α是第三象限角，所以k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z，则-k·360°—270°＜—α＜—k·360°-180°，k∈Z,即—α所在范围与（—270°，—180°）范围相同,也即与(90°，180°)范围相同，则—α的终边在第二象限。答案:B4.下列命题中正确的是（）A。第二象限的角是钝角B.钝角的补角是第一象限的角C。小于90°的角是锐角D。第一象限的角小于第二象限的角解析：由一个角与它的外角互补知,钝角的外角必为锐角，而锐角是第一象限角.答案：B5.角α和β的终边关于直线y=-x对称，且α=30°，则β=___________________。解析：如图，OA为角α的终边,OB为角β的终边，由α=30°得∠AOC=75°.根据对称性知∠BOC=75°，因此∠BOx=120°，所以β=k·360°—120°，k∈Z。答案：k·360°—120°，k∈Z6.已知α、β是锐角，且α+β的终边与角—280°的终边相同,α—β的终边与角670°的终边相同，求角α与β的大小.解：由题意得α+β=k1·360°-280°,α—β=k2·360°+670°（k1、k2∈Z）。又∵α、β都是锐角，即0°＜α＜90°,0°＜β＜90°，∴0°＜α+β＜180°.又-90°＜—β＜0°,∴-90°＜α-β＜90°.∴α+β=80°(k1=1），α—β=—50°（k2=—2)。∴α=15°,β=65°。30分钟训练(巩固类训练，可用于课后）1.A=｛小于90°的角}，B=｛第一象限的角｝，则A∩B等于（）A.{锐角｝B.{小于90°的角}C。{第一象限的角｝D。以上都不对解析：小于90°的角由锐角、零角、负角组成,而第一象限的角指锐角及其他终边落在第一象限的角,所以A∩B是由锐角和终边落在第一象限的负角组成。答案：D2.终边与两坐标轴重合的角α的集合是()A。{α｜α=k·360°，k∈Z}B.{α|α=k·180°，k∈Z｝C.｛α|α=k·90°，k∈Z}D.{α｜α=k·180°+90°，k∈Z}解析：终边为x轴的角的集合为M={α|α=k·180°,k∈Z｝，终边为y轴的角的集合为N={α｜α=k·180°+90°，k∈Z｝,则终边为坐标轴的角的集合为S=M∪N=｛α｜α=k·180°，k∈Z}∪{α|α=k·180°+90°，k∈Z｝=｛α｜α=2k·90°，k∈Z}∪{α｜α=（2k+1)·90°,k∈Z｝={α｜α=n·90°，n∈Z｝。答案：C3。已知角α、β的终边相同，那么α—β的终边在（)A。x轴的正半轴上B.y轴的正半轴上C。x轴的负半轴上D.y轴的负半轴上解析：∵角α、β终边相同,∴α=k·360°+β，k∈Z.作差α-β=k·360°+β-β=k·360°，k∈Z，∴α—β的终边在x轴的正半轴上。答案：A4。如果θ=k·360°+α，φ=n·360°-α，k、n∈Z，则角θ和φ的终边的位置关系是(）A.重合B。关于原点中心对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称解析：θ与α终边相同，φ与-α终边相同,由α与—α角的终边关于x轴对称知θ和φ的终边关于x轴对称。答案：C5.集合A=｛α｜α=k·90°-36°，k∈Z｝，B=｛β｜—180°＜β＜180°},则A∩B等于()A。｛-36°，54°}B.｛—126°，144°}C.｛-126°，-36°，54°，144°｝D.｛—126°，54°}解析:根据集合B的范围，确定集合A中的k的值.k=-1，0，1，2时求得相应α的值为—126°，-36°，54°，144°.答案：C6。(2005全国高考卷Ⅲ，1)已知α为第三象限的角,则所在的象限是（)A。第一或第二象限B.第二或第三象限C。第一或第三象限D。第二或第四象限解析：由k·360°+180°＜α＜k·360°+270°（k∈Z）,得k·180°+90°＜＜k·180°+135°（k∈Z).k为偶数时，为第二象限角；k为奇数时,为第四象限角.答案:D7.若α是第四象限角，则180°-α是（)A。第一象限角B。第二象限角C。第三象限角D。第四象限角解析：∵α为第四象限角，∴k·360°—90°＜α＜k·360°(k∈Z).∴—k·360°＜-α＜-k·360°+90°(k∈Z）。∴—k·360°+180°＜180°-α＜—k·360°+270°（k∈Z).∴180°—α是第三象限角.答案：C8。终边在第一、第三象限角平分线上角的集合为______________。解析：在0°—360°范围内满足条件的角为45°和225°,所以，所求集合为{α|α=k·360°+45°，k∈Z}∪｛α｜α=k·360°+225°，k∈Z｝={α|α=2k·180°+45°，k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°+45°，k∈Z｝={α｜α=n·180°+45°,n∈Z｝。答案：｛α｜α=n·180°+45°，n∈Z}9.时针走过2小时40分，则分针转过的角度是______________.解析：分针按顺时针方向转动,则转过的角度是负角为—360°×=—960°。答案:-960°10。表示出顶点在原点，始边重合于x轴的正半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（如图1—1—1)。图1—1—1解：(1）｛α|k·360°—15°＜α＜k·360°+75°,k∈Z｝;(2)｛β|k·360°-135°＜β＜k·360°+135°,k∈Z}；（3）{γ1|k·360°+30°＜γ1＜k·360°+90°,k∈Z}∪{γ2｜k·360°+210°＜γ2＜k·360°+270°，k∈Z}=｛γ1|2k·180°+30°＜γ1＜2k·180°+90°，k∈Z｝∪｛γ2|（2k+1）·180°+30°＜γ2＜（2k+1)·180°+90°，k∈Z｝={γ|k·180°+30°＜γ＜k·180°+90°,k∈Z}。11.写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式—360°≤β＜720°的元素写出来.解：如图所示,在直角坐标系中画出直线y=x，可以发现它与x轴的交