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文档简介
湖南省益阳市六校2022-2023学年高二上学期数学期末联考试卷姓名:__________班级:__________考号:__________题号一二三四总分评分一、单选题1.已知向量a=(1A.a∥b,a∥c B.a⊥bC.a⊥b,b∥c D.a∥b2.在三棱锥P−ABC中,CP、CA、CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,如图,建立空间直角坐标系,则下列向量中是平面PAB的法向量的是()A.(1,1,12) B.(13.已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若q=2,A.8 B.10 C.12 D.144.如图,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并擦去中间一段,得图(2),如此继续下去,得图(3)…,设第n个图形的边长为an,则数列{A.13n B.13n−1 C.15.数学家欧拉在1765年发现,任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线称为欧拉线已知ΔABC的顶点A(2,0),B(0,4),若其欧拉线的方程为x−y+2=0,则顶点C的坐标为()A.(−4,0) B.(−3,−1) C.(−5,0) D.(−4,−2)6.已知定点B(3,0),点A在圆(x+1)2+y2=4A.(x+1)2+yC.(x−1)2+y7.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),F1,F2A.2 B.3 C.2 D.58.已知F1,F2分别为双曲线C:x22−y26=1的左、右焦点,过F2的直线与双曲线C的右支交于A,B两点(其中点A在第一象限).设点H,G分别为△AF1A.[22,4) B.[2,9.已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,如果AB=(2,−1,−4)A.AP⊥AB C.AP是平面ABCD的法向量 D.AP二、多选题10.数列{an}的前n项和为Sn,a1A.Sn=3n-1 B.{Sn}为等比数列C.an=2·3n-1 D.a11.已知双曲线C过点(3,2)A.C的方程为xB.C的离心率为3C.曲线y=ex−2−1D.直线x−2y−1=0与12.定义点P(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0(a2+A.若d1=d2=1B.若d1=1,d2=−1,则直线C.若d1+d2=0D.若d1⋅d2≤0三、填空题13.如下图,以长方体ABCD−A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若14.在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.15.已知等差数列{an}中,a2=4,a6=1616.设抛物线x2=4y,点F是抛物线的焦点,点M(0,m)在y轴正半轴上(异于F点),动点N在抛物线上,若∠FNM是锐角,则m的范围为四、解答题17.如图,在三棱柱ABC−A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,∠CAB=90∘,AB=AC=2(1)求证:平面APM⊥平面BB(2)试判断直线BC1与AP是否能够垂直.若能垂直,求18.设数列{an}(1)求a2和a(2)求数列{a(3)令bn=nan,求数列19.已知各项都为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的通项公式bn=(1)求数列{a(2)求数列{an⋅bn20.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.21.已知圆C过点M(0,−2)(1)求圆C的标准方程.(2)设直线ax−y+1=0与圆C交于不同的两点A,B,是否存在实数a,使得过点P(22.已知椭圆C的离心率为32,长轴的两个端点分别为A(−2,0)(1)求椭圆C的方程;(2)过点(1,0)的直线与椭圆C交于M,N(不与A,B重合)两点,直线AM与直线x=4交于点Q,求证:
答案解析部分1.【答案】D【解析】【解答】由题可知:b=−3a得ab故答案为:D.
【分析】由b=−3a,a→2.【答案】A【解析】【解答】∵PA=(1,0,−2),由n⋅PA=0n⋅AB=0又(1,1,12故答案为:A.
【分析】设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,1),利用n3.【答案】D【解析】【解答】由题意S2=a所以a3=2×2故答案为:D.
【分析】由等比数列的基本量运算求出a1后,求出a3,由此求出S3.4.【答案】D【解析】【解答】解:由题得,从第二个图形起,每一个三角形的边长组成了以1为首项,以13为公比的等比数列,所以第n个图形的边长为an=故答案为:D.【分析】由前三个图形归纳出边长构成等比数列。5.【答案】A【解析】【解答】设C(m,n),由重心坐标公式得,三角形ABC的重心为(2+m3,4+nAB的中点为(1,2),kAB=4−0即x-2y+3=0.联立x−2y+3=0x−y+2=0解得x=−1y=1
则(m+1)2+(n-1)2=32+12=10,整理得:m2+n2+2m-2n=8②联立①②得:m=-4,n=0或m=0,n=4.当m=0,n=4时B,C重合,舍去.∴顶点C的坐标是(-4,0).故答案为:A【分析】结合重心坐标计算公式,代入直线方程,得出m,n的值,计算三角形ABC的外心坐标,即可得出答案。6.【答案】C【解析】【解答】设M(x,y),则A(xA,yA)满足又点A在圆(x+1)2+y故选:C【分析】设M(x,y)再表达出A的坐标代入圆方程(x+1)27.【答案】B【解析】【解答】设|MF2|=m,则|NF2|=m,|MN|=2m,|NF在△NF1F2中,由余弦定理可知4c2=故答案为:B
【分析】设|MF2|=m,易得|NF2|=m,|MN|=2m,8.【答案】D【解析】【解答】ΔAF1F有H,M的横坐标相等,|AP|=|AQ|,||AF∴M在双曲线上,即M是双曲线的顶点,∴HG与双曲线相切于顶点(如图)∴H,G的横坐标都是设直线AB的倾斜角为θ,那么∠OF2ΔHF2=(c−a)双曲线C:x2可得|HG|=22∴3|HG|的范围是[2故答案为:D.
【分析】利用平面几何图形的性质可得H、G的横坐标相等为a,得到HG⊥x轴且过双曲线右顶点E,设直线AB的倾斜角为θ,求解三角形可得HG=(c−a)⋅2sin9.【答案】D【解析】【解答】因为AB⋅AP=−2−2+4=0因为AP⋅AD=−4+4+0=0由A,B知,C正确,不符合题意;BD=AD−故答案为:D.
【分析】由数量积是否为0判断A与B;由A,B可判断C;求出BD→的坐标,结合不存在实数λ,使得BD10.【答案】A,B,D【解析】【解答】依题意a1当n=1时,a2当n≥2时,anan+1−a所以an所以an当n≥2时,Sn=an+12=3Sn+1Sn=3,所以数列{S所以ABD选项正确,C选项错误.故答案为:ABD
【分析】根据an=S1,n=1S11.【答案】A,C【解析】【解答】解:由双曲线的渐近线方程为y=±33x把点(3,2)代入,得∴双曲线C的方程为x23−由a2=3,b2∴双曲线C的离心率为23=2取x−2=0,得x=2,y=0,曲线y=ex−2−1过定点(联立x−2y−1=0x所以直线x−2y−1=0与C只有一个公共点,故故答案为:AC.
【分析】由双曲线的渐近线为y=±312.【答案】B,C,D【解析】【解答】设P1(xA,若d1=d2=1,则ax1B,点P1,P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等,直线C,若d1=d2=0则点P1,P2都在直线l上,所以此时直线D,若d1⋅d所以点P1,P2分别位于直线所以直线P1P2故答案为:BCD
【分析】根据有向距离的定义,及点P(x0,y0)与13.【答案】(【解析】【解答】因为DB1的坐标为(4,3,2),所以B(因此BD故答案为:(−4
【分析】由DB1的坐标得点B,D14.【答案】x【解析】【解答】解:设圆的方程为x∴F=0D+E+F+2=04+2D+F=0∴圆的方程为x【分析】设圆的一般方程,解三元一次方程组.15.【答案】31【解析】【解答】设等差数列{an}的公差为d在数列{an}每相邻两项之间插入三个数,则新的等差数列{故新数列的首项为4−3=1,故通项公式为bn故b41故答案为:31
【分析】先计算出等差数列{an}的公差,进而得到新的等差数列{16.【答案】(0,1)∪(1,9)【解析】【解答】设N(4t,4t2),可知F(0,1),m>0所以NF=(−4t,1−4t2因为∠FNM是锐角,所以NF⋅即16t整理得16t等价于8t4+(6−2m)令x=t2≥0,则f(x)=8因为f(x)的对称轴为x=−3−m⑴−3−m8≤0f(x)所以0<m≤3;⑵−3−m8>0应有Δ=(6−2m)得3<m<9;综上所述:m∈(0,1)∪(1,9).【分析】设N(4t,4t2),由∠FNM是锐角得到8t4+(6−2m)t2+17.【答案】(1)证明:因为在三棱柱ABC−A1B1C1中,BB1⊥底面ABC,∠CAB=90∘,AB=AC=2所以AM⊥BC,AM⊥BB因为BC∩BB1=B,所以AM⊥平面BB因为AM⊂平面APM,所以平面APM⊥平面BB(2)解:以A为原点,AC为x轴,AB为y轴,AA1为B(0,2,0),C1(2,设BP=t(0≤t≤3则P(0,若直线BC1与AP能垂直,则解得t=4因为t=4所以直线BC1与【解析】【分析】(1)推导出AM⊥BC,AM⊥BB1,由此证明平面APM⊥平面BB1C1C;
(2)以A为原点,AC为x轴,AB为y轴,A18.【答案】(1)解:当n=1时,a2=a1+3⋅所以a2(2)解:由数列{an}可得a2−a1=3⋅21,a相加可得an所以an所以数列{an}(3)解:由bn可得Sn则4S两式相减,可得−3S=2×(1−所以Sn【解析】【分析】(1)根据递推公式,逐项计算,即可求解出a2和a3的值;
(2)由an+1=an+3⋅22n−1,结合累加法,利用等比数列的求和公式,即可求解出数列{19.【答案】(1)解:∵数列{bn}∴b5设各项都为正数的等比数列{an}的公比为q∵S3=b5+1=7∵b4是a2和a4的等比中项,∴a3由①②得3q2−4q−4=0,解得q=2∴a1(2)解:a当n为偶数时,T=(2设Hn=则2Hn③减④,得−H∴Hn=(n−1)×2n当n为奇数,且n≥3时,Tn经检验,T1∴T【解析】【分析】(1)运用等比数列的通项公式及性质,由S3=b5+1,a32=a2a20.【答案】(1)证明:直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,故无论k取何值,直线l总过定点(-2,1).(2)解:直线l的方程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则k≥01+2k≥0解得k≥0,故k的取值范围是[(3)解:依题意,直线l在x轴上的截距为−1+2k∴A(−1+2k又−1+2k∴k>0.故S=12|OA||OB|=12×1+2kk×(1+2k)=12(当且仅当4k=1k,即k=1故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.【解析】【分析】(1)把已知方程变形,利用线性方程求出直线所过定点即可;
(2)化直线方程为斜截式,由斜率大于等于0且在y轴上的截距大于等于0联立不等式组,求解可得k的取值范围;
(3)由题意画出图形,求出直线在两坐标轴上的截距,代入三角形面积公式,利用基本不等式求出S的最小值及此时直线l的方程.21.【答案】(1)解:设圆C的方程为x2则有−D2−E+1=0所以圆C的方程为x2化为标准方程,得(x−3)2(2)解:假设存在符合条件的实数a,由于直线l垂直平分弦AB,故圆心C(3,−2)又kAB=a=−1将ax−y+1=0与圆C的方程联立,整理得(a2+1)故Δ=36(a−1)2−36(a2故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.【解析】【分析】(1)设出圆的一般式方程,利用待定系数法可求出圆C的一般方程,进而整理成圆C的标准方程;
(2)利用反证法,先假设存在符合条件的实数a,根据线段垂直平分线的性质得到圆心C必然在直线l上,由点C与点P的坐标求出直线PC的斜率,根据两直线垂直时斜率的乘积为-1,求出直线AB的斜率,进而求出实数a的值,然后将ax−y+1=0与圆C的方程联立,消去y得到关于x的一元二次方程,根据直线与圆有两个交点,得到根的判别式大于0,即可求出a的取值范围,发现求出的a的
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