5.2.1排列与排列数课件高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第五章

基本计数原理

5.2.1排列与排列数

1.理解并掌握排列的概念.2.能应用排列知识解决简单的实际问题.探究13名同学排成一行照相，共有多少种排法？提示

设三名同学分别为A，B，C.共6种.排列及排列问题(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照____________排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数：我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的______，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作_________.(3)排列问题：把有关求____________的问题叫作排列问题.知识梳理一定的顺序个数排列的个数温馨提示(1)要满足m≤n.(2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同.(3)m＝n时叫全排列.例1(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但来回票价是一样的，不存在顺序差别，所以不是排列问题.判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(2)植树和种菜是不同的，存在顺序差别，属于排列问题.(3)(4)不存在顺序差别，不属于排列问题.(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信.(5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序差别，属于排列问题.(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在顺序差别，属于排列问题.所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题.判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑(1)“取”指检验取出的m个元素是否重复；(2)“排”指检验取出的m个元素是否有顺序，其判断标准是，交换两个元素位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.思维升华(1)(多选)下列问题中是排列问题的是A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动C.从a，b，c，d中选出3个字母D.从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数训练1√√由排列的定义知AD是排列问题.①④(2)下列问题属于排列问题的是________.①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算.对于①，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，故有顺序，是排列问题；对于②，从10个人中选2人去扫地，选出的2人没有顺序，不是排列问题；对于③，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，选出的5人没有顺序，不是排列问题；对于④，从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题.例2画出树形图.由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.思维升华利用树形图解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：解决排列元素个数不多的问题.(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列.训练2由题意作树形图，如图.故所有排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共24个.例3分别用具体数字和排列数表示下列问题的结果.(1)从5个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；(2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；(2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数.可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，思维升华要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么.训练3(1)某学习小组共5人，约定假期每两人相互各发起一次微信聊天，共需发起的聊天次数为A.20 B.15

C.10 D.5由题意得共需发起的聊天次数为5×4＝20.√(2)沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为A.15 B.30

C.12 D.36√对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30(种).1、背诵利用树形图解决简单排列问题的适用范围及策略2、背诵记忆简单排列问题的方法1.(多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果.在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有 A.加法

B.减法

C.乘法

D.除法√因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字的位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题.√√244.某机场是一座跨地域、超大型的国际航空综合交通枢纽，目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东跑道、北跑道，如图.若有2架飞往不