2023-2024学年上海市奉贤区高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海市奉贤区高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.3x−y+1=0直线的法向量可以为(

)A.n=(3,1) B.n=(1,3) C.n=(−1,3)2.直线3x−y−1=0与直线x−3A.π6 B.π3 C.π23.如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为e1、e2、e3、e4，其大小关系为(

)A.e1<e2<e4<e4.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为23，M，N为体对角线BD1的三等分点，动点P在三角形A.269π

B.26二、填空题：本题共12小题，共54分。5.椭圆x23+6.抛物线y2=−2x的准线方程为______．7.双曲线x24−y8.已知球的表面积为16π，则该球的体积为________．9.已知空间向量a=(−3,2,5)，b=(1,x,−1)，且a与b垂直，则x等于______．10.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，11.将边长分别为1cm和2cm的矩形，绕边长为2cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为______cm2．12.“共享单车，绿色出行”是近年来火爆的广告词，现对某市10名共享单车用户一个月内使用共享单车的次数进行统计，得到数据如茎叶图所示，下列关于该组数据的说法错误的是______．

①极差为36；

②众数为34；

③第50百分位数为27；

④平均数为32．13.已知事件A与事件B相互独立，如果P(A)=0.2，P(B)=0.7，则P(A−∩B)=14.以双曲线x29−15.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,y0)到其焦点的距离为5，双曲线C：x2−y16.已知P是椭圆C：x29+y28=1上的动点，且与C的四个顶点不重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若点三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO是圆锥的高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点．

(1)求该圆锥的体积；

(2)求直线CD与平面PAB所成角的大小．18.(本小题14分)

《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行.某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试(满分：100分)，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中m的值；

(2)估计该组测试成绩的平均值；

(3)该社区在参加问卷且测试成绩位于区间[80,90)和[90,100]的居民中，采用分层随机抽样，抽取5人．

①根据此次分层随机抽样，成绩位于区间[80,90)和[90,100]的居民各抽取多少？

②若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件A=“两人的测试成绩分别位于[80,90)和[90,100]”，求P(A)．19.(本小题14分)

如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．

(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；

(2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求|CQ|的值．

(3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)？20.(本小题18分)

已知椭圆C：x24+y2=1的左右焦点为F1，F2，M为椭圆C上一点．

(1)若点M的坐标为(1,m)(m>0)，求△F1MF2的面积；

(2)若点M的坐标为(x0,y0)，且∠F121.(本小题18分)

我们把等轴双曲线的一部分C1：x2a2−y2b2=1(y≥0)与半圆C2：x2+y2=a2(y≤0)合成的曲线称作“异型”曲线C，其中C1是焦距为22的等轴双曲线的一部分，如图所示．

参考答案1.D

2.A

3.A

4.B

5.26.x=17.y=±8.3239.4

10.π211.4π

12.③

13.0.56

14.(x+3)15.516.(0,1)

17.解：(1)由题意可得，OB=2，PB=4，

所以OP=PB2−OB2=23，

故圆锥的体积为V=13πr2ℎ=13π×22×23=833π；

(2)因为PO是圆锥的高，

则PO⊥平面AOC，又OC⊂平面AOC，

则OC⊥OP，

因为点C是底面直径AB所对弧的中点，

所以OC⊥AO，

又AO∩OP=O，AO，OP⊂平面PAB，

故OC⊥平面PAC，

所以∠CDO即为直线CD与平面PAB所成的角，

因为D为Rt△PAO18.解：(1)根据题意可得(0.004+0.006+0.02+0.03+0.024+m)×10=1，解得m=0.016；

(2)估计该组测试成绩的平均值为：x−=45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2．

(3)①∵[80,90)和[90,100]人数的概率之比为3：2，

∴在[80,90)内抽取3人，[90,100]内抽取2人；

②根据题意可得P(A)=19.解：(1)如图所示．

依题意，设该抛物线的方程为x2=−2py(p>0)，

因为点C(5,−5)在抛物线上，可得25=10p，

解得p=52，

所以该抛物线的方程为x2=−5y；

(2)C(5,−5)，F(0,−54)，k=−34，设Q(x2,y2)，令x1=5，

所以直线y=−34x−54与抛物线联立，

由y=−34x−54x2=−5y解得，x1=5，y120.(1)解：∵点M(1,m)在椭圆上，∴14+m2=1，∵m>0，∴m=32，

∵a=2，b=1，∴c=a2−b2=3，F1(−3,0)，F2(3,0)，

∴S△F1MF2=12|F1F2|⋅m=12×23×32=32．

(2)解：如图：

∵点M在椭圆上，∴−2≤x0≤2，

由余弦定理得cos∠F1MF2=|F121.解：(1)由题意得2c=22a=bc2=a2+b2，解得a=1b=1c=2，则“异型”曲线C的方程为x2−y2=1,y≥0x2+y2=1,y≤0；

(2)直线y=kx−1与“异型”曲线有公共点A(0,−1)，

由x2−y2=1(y≥0)x2+y2=1(y≤0)，解x=1y=0或x=−1y=0，

即C1与C2有公共点B(1,0)和C(−1,0)，

①当k=0时，直线y=−1与C1无公共点，与C2有唯一公共点，不符合题意；

②当0<k≤1时，kAB=1，易得直线y=kx−1与C2有两个公共点；又C1渐近线为y=±x，且C1中y≥0，直线y=kx−1与C1无公共点．此时符合题意．

(3)直线y=kx−1与