2014年高考理科数学全国卷2(含详细答案)

数学试卷第=*36页）在此卷上答在此卷上答题无效2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）理科数学使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、西藏姓名________________准考证号_____________注意事项姓名________________准考证号_____________1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则 ()A.B.C.D.2.设复数满足,则 ()A.B.C.D.3.等比数列的前项和为.已知,,则 ()A.B.C.D.4.已知,为异面直线,平面,平面.直线满足,,,,则 ()A.且B.且C.与相交,且交线垂直于D.与相交,且交线平行于5.已知的展开式中的的系数为5,则 ()A.B.C.D.6.执行如图的程序框图,如果输入的,则输出的()A.B.C.D.7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,,,,画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到的正视图可以为 ()8.设,,,则 ()A.B.C.D.9.已知,,满足约束条件若的最小值为1,则 ()A.B.C.1D.210.已知函数,下列结论中错误的是 ()A.,B.函数的图象是中心对称图形C.若是的极小值点,则在区间上单调递减D.若是的极值点,则11.设抛物线:的焦点为,点在上,.若以为直径的圆过点,则的方程为 ()A.或B.或C.或D.或12.已知点,,,直线将分割为面积相等的两部分,则的取值范围是 ()A.B.C.D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题本大题共4小题,每小题5分.13.已知正方形的边长为2,为的中点,则________.14.从个正整数中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为,则________.15.设为第二象限角,若,则________.16.等差数列的前项和为.已知,,则的最小值为________.三、,.17.（本小题满分12分）在内角,,的对边分别为,,,已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求面积的最大值.18.（本小题满分12分）.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值.19.（本小题满分12分）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出该产品获利润500元,未售出的产品,每亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了该农产品.以(单位：,)表示下一个销售季度内的市场需求量,(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（Ⅰ）将表示为的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于57000元的概率；20.（本小题满分12分）（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）,为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）设是的极值点,求,并讨论的单调性；（Ⅱ）当时,证明:.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做，则按做的第一题积分.作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,为外接圆的切线,的延长线交直线于点,,分别为弦与弦上的点,且,,,,四点共圆.（Ⅰ）证明：是外接圆的直径；（Ⅱ）若,求过,,,四点的圆的面积与外接圆面积的比值.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知动点,都在曲线：（为参数）上,对应参数分别为与,为的中点.（Ⅰ）求的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲设,,均为正数,且.证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）.4/12PAGE2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】A【解析】解不等式，得，即，而，所以，故选A．【提示】求出集合M中不等式的解集，确定出M，找出M与N的公共元素，即可确定出两集合的交集．【考点】集合的基本运算（交集），解一元二次不等式．2.【答案】A【解析】．【提示】根据所给的等式两边同时除以，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．【考点】复数代数形式的四则运算．3.【答案】C【解析】设数列的公比为q，若，则由，得，此时，而，不满足题意，因此.∵时，，∴，整理得.（步骤1）∵，即，∴．（步骤2）【提示】设等比数列的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可求出．【考点】等比数列的通项和前n项和．4.【答案】D【解析】因为，，，所以．同理可得．又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D．【提示】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．【考点】直线与平面的位置关系．5.【答案】D【解析】因为的二项展开式的通项为，则含x2的项为，所以，.【提示由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中的系数为，由此解得a的值．【考点】二项式定理6.【答案】B【解析】由程序框图知，当，，时，，；当时，，；当时，，；当时，，；；（步骤1）当时，，，k增加1变为11，满足，输出S，所以B正确．（步骤2）【提示】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．【考点】循环结构的程序框图．7.【答案】A【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图象为下图：第7题图则它在平面zOx上的投影即正视，故选A．【提示】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．【考点】空间直角坐标系，三视图．8.【答案】D【解析】根据公式变形，，，，因为，所以，即．故选D．【提示】利用，化简a，b，c然后比较，，大小即可．【考点】对数函数的化简和大小的比较．9.【答案】B【解析】由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示，作直线，因为直线与直线的交点坐标为，结合题意知直线过点，代入得，所以．第9题图【提示】先根据约束条件画出可行域，设，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线过可行域内的点B时，从而得到a值即可．【考点】二元线性规划求目标函数的最值．10.【答案】C【解析】由于是二次函数，有极小值点，必定有一个极大值点，若，则在区间上不单调递减，C不正确．【提示】利用导数的运算法则得出讨论，即可得出．【考点】利用导数求函数的极值．11.【答案】C【解析】设点M的坐标为，由抛物线的定义，得，则．（步骤1）又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为.（步骤2）将，代入得，即，所以.由，得，解之得，或.（步骤3）所以C的方程为或．故选C．【提示】已知抛物线焦点到抛物线上点的线段的距离和以这条线段为直径的圆上的一点，求出抛物线的方程．【考点】抛物线的定义和抛物线的标准方程．12.【答案】B【解析】根据题意画出图形，如图（1），由图可知，直线BC的方程为．由解得．可求，．直线将△ABC分割为面积相等的两部分，．又，，即．整理得．，，即，可以看出，当a增大时，b也增大．当时，，即．当时，直线接近于．当时，如图（2），．．由上分析可知，故选B．第12题图（1）第12题图（2）【提示】已知含有参数的直线将三角形分割为面积相等的两部分和点的坐标，求出参数的取值范围．【考点】函数单调性的综合应用．第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】2【解析】以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为，点E的坐标为，则，，所以．第13题图【提示】结合几何的关系，求出向量的数量积．【考点】平面向量的数量积运算．14.【答案】8【解析】从1，2，…，n中任取两个不同的数共有种取法，两数之和为5的有，2种，所以，即，解得.【提示】列出从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有取法种数，求出和等于5的种数，根据取出的两数之和等于5的概率为列式计算n的值．【考点】古典概型，排列组合的应用．15.【答案】【解析】由，得，即．（步骤1）将其代入，得．因为θ为第二象限角，所以，，．（步骤2）【提示】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，即可求出的值．【考点】两角和与差的正切，同角三角函数的基本关系．16.【答案】【解析】设数列的首项为a1，公差为d，则，①.②（步骤1）联立①②，得，，所以．（步骤2）令，则，．令，得或．（步骤3）当时，，时，，所以当时，取最小值，而，则，，所以当时，取最小值－49.（步骤4）【提示】已知等差数列前10项和与前15项和，求出n与前n项和乘积的最小值．【考点】等差数列的前n项，利用导数求函数的最值．三、解答题17.【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知及正弦定理得．①又，故．②由①，②和得，即，又，所以．（步骤1）（2）△ABC的面积．由已知及余弦定理得．（步骤2）又，故，当且仅当时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为．（步骤3）【提示】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把的值代入，得到三角形面积最大即为ac最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面积的最大值．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的正弦．18.【答案】（1）连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，连结DF，则．因为DF⊂平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（步骤1）（2）由，得以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz．设，则，，，，，．设是平面A1CD的法向量，则即可取．（步骤2）同理，设m是平面A1CE的法向量，则可取．（步骤3）从而，故．即二面角D－A1C－E的正弦值为．（步骤4）第18题图（1）【提示】（1）通过证明平行平面内的直线，利用直线与平面平行的判定定理证明（2）．由，得以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz．设，是平面A1CD的法向量，同理，设m是平面A1CE的法向量，由，故【考点】直线与平面的判定，空间直角坐标系，空间向量及其运算．19.【答案】（1）（2）0.7（3）59400【解析】（1）当时，，当时，.所以（步骤1）（2）由（1）知利润T不少于元当且仅当.由直方图知需求量的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于元的概率的估计值为0.7（步骤2）（3）依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以.（步骤3）【提示】（1）由题意先分段写出，当时，当时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（2）由（1）知，利润T不少于57000元，当且仅当再由直方图知需求量的频率为，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值．（3）利用利润T的数学期望=各组的区间中点值x该区间的频率之和即得．【考点】频率分布直方图，分段函数的模型，离散型随机变量的数学期望．20.【答案】（1）（2）【解析】（1）设，，，则，，，由此可得．因为，，，所以（步骤1）又由题意知，M的右焦点为，故.因此，.所以M的方程为．（步骤2）（2）由解得或因此．（步骤3）由题意可设直线CD的方程为，设，．由得.于是．（步骤4）因为直线CD的斜率为1，所以．由已知，四边形ACBD的面积．当n＝0时，S取得最大值，最大值为．所以四边形ACBD面积的最大值为．（步骤5）【提示】（1）把右焦点代入直线可解得C．设，，线段AB的中点，利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与联立即可得到a，b，c．（2）把直线与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长，由，可设直线CD的方程为，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长．利用即可得到关于n的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．【考点】椭圆的方程、椭圆的简单几何性质、点差法的应用和直线与椭圆的位置关系．21.【答案】（1）．由是的极值点得，所以.于是，定义域为，．（步骤1）函数在单调递增，且.因此当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增．（步骤2）（2）当，时，，故只需证明当时，.当时，函数在单调递增．又，，故在有唯一实根x0，且．（步骤3）当时，；当时，，从而当时，取得最小值．由得，，故.综上，当时，.（步骤4）【提示】（1）求出原函数的导函数，因为是函数的极值点，由极值点处的导数等于0求出m的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间；（2）证明当时，，转化为证明当时求出当时函数的导函数，可知导函数在上为增函数，并进一步得到导函数在上有唯一零点，则当时函数取得最小值，借助于是导函数的零点证出，从而结论得证．【考点】利用导数求函数的单调区间和极值，利用导数解决不等式问题．22.【答案】（1）因为CD为△ABC外接圆的切线，所以，由题设知，故，所以．（步