新教材2023-2024学年高中数学第4章计数原理测评选择性

第4章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游,若从广州到深圳一天中动车组有30个班次,特快列车有20个班次,汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳的不同的方法有()A.240种 B.180种C.120种 D.90种2.根据数组中的数构成的规律,其中的a所表示的数是()A.2 B.4 C.6 D.83.下列计算结果是21的是()A.A42+CC.A72 D4.在(a+b)n的二项展开式中,与第r项二项式系数相同的项是()A.第nr项 B.第nr1项 C.第nr+1项 D.第nr+2项5.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,如图就是一重卦.如果某重卦中有3个阳爻,3个阴爻,则该重卦的种数是()A.6 B.15 C.20 D.16.某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课.如果数学只能排在第一节或者最后一节,物理和化学必须排在相邻的两节,则所有符合条件的排法总数为()A.24 B.144 C.48 D.967.1+x+1x4的展开式中,常数项为(A.1 B.3 C.4 D.138.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(0,3)=()A.80 B.8 C.40 D.24二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若x+1x2n的展开式中含x2项,则n的值可能是(A.6 B.9 C.12 D.1410.若(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,x∈R,则()A.a0=1 B.a0=0C.a0+a1+a2+…+a10=310 D.a0+a1+a2+…+a10=311.在含有3件次品的50件产品中,任取2件,则下列说法正确的是()A.恰好取到一件次品有C3B.至少取到一件次品有C3C.两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有C3D.把取出的产品送到检验机构检查,能检验出有次品的不同方式有C312.小赵、小李、小罗、小王、小张五人报名志愿者服务,现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排,则下列说法正确的有()A.若五人每人可任选一项工作,则不同的选法有54种B.若每项工作至少安排一人,则有240种不同的方案C.若礼仪工作必须安排两人,其余工作安排一人,则有60种不同的方案D.已知五人身高各不相同,若安排五人拍照,前排两人,后排三人,后排三人中要求身高最高的站中间,则有40种不同的站法三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.x+2x2n的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大,则n的值为14.学校要邀请9位学生家长中的6人参加一个座谈会,其中甲、乙两位家长不能同时参加,则不同的邀请方法为种.

15.若(ax1)6展开式中x3的系数为160,则实数a的值为,展开式中各项系数之和为.

16.若x6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6,则a3=.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(1)计算:C33+C43(2)解不等式:3Ax3≤2Ax+118.(12分)在①前三项系数成等差数列,②二项式系数之和为64这两个条件中,任选一个,补充在问题中,并进行解答.问题:在x+12xn的展开式中,,求n的值及展开式中的常数项.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)已知3x1xn的展开式中各项系数之和为32.(1)求n的值;(2)求x+1x3x1xn展开式中的常数项.20.(12分)我们曾用组合模型发现了组合恒等式Cn+1m=Cn(1)某医院有内科医生8名,外科医生x(x≥3)名,现要派3名医生参加赈灾医疗队,已知某内科医生必须参加的选法有66种,求x的值;(2)化简:Cn2Cnn21.(12分)现有编号为A,B,C的3个不同的红球和编号为D,E的2个不同的白球.(1)若将这些小球排成一排,且要求D,E两个球相邻,则有多少种不同的排法?(2)若将这些小球排成一排,要求A球排在中间,且D,E各不相邻,则有多少种不同的排法?(3)现将这些小球放入袋中,从中随机一次性摸出3个球,求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数.(4)若将这些小球放入甲、乙、丙三个不同的盒子,每个盒子至少一个球,则有多少种不同的放法?(注:请列出解题过程,结果保留数字)22.(12分)(1)如图1所示,某地有南北街道5条,东西街道6条,一邮递员从该地东北角的邮局A出发,送信到西南角的B地,要求所走的路程最短,共有多少种不同的走法?(2)如图2所示,某地有南北街道5条,东西街道6条,一邮递员从该地东北角的邮局A出发,送信到西南角的B地,已知C地(十字路口)在修路,无法通行,要求所走的路程最短,共有多少种不同的走法?(3)如图3所示,某地有南北街道5条,东西街道6条(注意有一段DE不通),一邮递员从该地东北角的邮局A出发,送信到西南角的B地,要求所走的路程最短,共有多少种不同的走法?(4)如图4所示,某地有南北街道5条,东西街道6条,已知C地(十字路口)在修路,无法通行,且有一段路DE无法通行,一邮递员从该地东北角的邮局A出发,送信到西南角的B地,要求所走的路程最短,共有多少种不同的走法?

第4章测评1.D根据分类加法计数原理,得方法种数为30+20+40=90.故选D.2.C从第三行起头尾两个数均为1,中间数等于上一行肩上两数之和,所以a=3+3=6.故选C.3.D由题意可知A42+C62=4!2!+6!2!4.D第r项的二项式系数是Cnr-1,由于Cnr-15.C根据题意,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,某重卦中有3个阳爻,3个阴爻,则满足题意的重卦有C63=20种.6.D根据题意,先排数学有2种方法,物理和化学相邻有A22种排法,再与剩下的3节随意安排,有A44种安排方法,故所有符合条件的排法总数为2A27.D由于1+x+1x4表示4个因式x+1x+故展开式中的常数项可能有以下几种情况:①所有的因式都取1;②有两个因式取x,一个因式取1,一个因式取1x.故展开式中的常数项为1+C428.D在(1+x)6(1+y)4的展开式中,x3y0项的系数为C63C40=20,即f(3,0)=20;x0y3项的系数为C60C43=4,即f(0,3)=9.BD因为x+1x2n的展开式的通项为Tr+1=Cnr(x)nr1x2r=Cn令n-5r2=2,得n=4+5r,因为r∈N,若若r=2,则n=14,故D正确.故选BD.10.AC因为(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,所以令x=0可得a0=1,令x=1可得a0+a1+a2+…+a10=310.故选AC.11.AC在含有3件次品的50件产品中,任取2件,恰好取到1件次品包含的基本事件个数为C3至少取到1件次品包括两种情况:只抽到一件次品,抽到两件次品,所以至少取到一件次品有C3两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有C3由题意可知有次品即可,所以把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有C31·C12.BCD对于A,若五人每人可任选一项工作,则每人都有4种选法,则5人共有4×4×4×4×4=45种选法,A错误;对于B,先将5人分为4组,将分好的4组安排四项不同的工作,有C52对于C,分2步分析:在5人中任选2人,安排礼仪工作,有C52=10种选法,再将剩下3人安排剩下的三项工作,有A33=6种情况,则有10对于D,分2步分析:在5人中任选2人,安排在第一排,有A52=20排法,剩下3人安排在第二排,要求身高最高的站中间,有2种排法,则有20×2=40种不同的方案,D正确.13.5因为x+2x2所以Cn2=C14.49若甲、乙两位家长都不参加,则有C76=7种不同的方法;若甲、乙两位家长只有1人参加,则有C21C75=42种不同的方法15.21若(ax1)6展开式中x3的系数为160,则有C63(ax)3(1)3=20a3x3,即20a3=160,解得a=由a=2,则(ax1)6=(2x1)6,令x=1,得(2x1)6=16=1,即展开式中各项系数之和为1.16.20x6=[1+(1+x)]6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6,∴a3=C63(1)3=17.解(1)根据题意,C33+C43+C53+…+C12(2)根据题意,x∈N+,且x≥3,3Ax3≤2Ax+1即3x(x1)(x2)≤2(x+1)·x+6x(x1),变形可得3(x1)(x2)≤8x4,解得23≤x≤5又x≥3,则x=3或4或5.所以原不等式的解集为{3,4,5}.18.解因为二项展开式的通项为Tr+1=Cnrxnr12xr=Cnr·12rxn选择①:前三项的系数成等差数列,前三项的系数分别为Cn0·120=1,Cn1·12=n则2×n2=1+n(n-当n=8时,Tr+1=C8r·2rx82令82r=0,解得r=4,所以展开式的常数项为C84·24=选择②:二项式系数和为64,则2n=64,所以n=6.当n=6时,Tr+1=C6r·2rx62r,令62r=0,解得所以展开式的常数项为C63·23=19.解(1)由题意,令x=1得(31)n=2n=32,解得n=5.(2)因为二项式3x1x5的通项为Tr+1=C5r(3x)5r·1xr=C5r(1)r·35r·x52令52r=1,解得r=3,故展开式中含有x-1项的系数为C53(1)3再令52r=1,解得r=2,展开式中含有x项的系数为C52(1)2·3所以x+1x3x1x5展开式中的常数项为x·C53·(1)3·32·x1+1xC52·(1)2·33·x=9C53+27C20.解(1)内科医生8名,外科医生x(x≥3)名,现要派3名医生参加赈灾医疗队,某内科医生必须参加,该事件等同于从剩下7名内科医生,外科医生x(x≥3)名,派2名医生参加赈灾医疗队,即C7+x2=66,C7+x2=(7+x)(6+x)2(2)∵(1+x)n(1+x)n=(Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn)(Cn∴xn+1的系数Cn1Cnn∴原式可以看作(1+x)n(1+x)n展开式中xn+1的系数减Cn1Cnn,∴21.解(1)依题意将D,E两个球看作一个整体与其他3个球全排列,由分步乘法计数原理可知不同的排列方法有A22·(2)将这些小球排成一排,要求A球排在中间,且D,E各不相邻,则先把A安在中间位置,从A的2侧各选一个位置插入D,E,其余小球任意排,方法有A11·(3)将这些小球放入袋中,从中随机一次性摸出3个球,求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为C53-(4)将这些小球放入甲、乙、丙三个不同的盒子,每个盒子至少一个球,则先把5个小球分成3组,再进入3个盒子中.若按3,1,1分配,方法有12C53·C21·C11·A综上可得,不同的放法共有60+90=150种.22.解(1)由题意可