第02讲 勾股定理的逆定理（原卷版）-八年级数学

第02讲勾股定理的逆定理1.经历勾股定理的逆定理的探索过程，知道勾股定理与逆定理的联系与区别.2.能用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题.3.初步认识勾股定理的逆定理的重要意义，会用勾股定理就解决一些几何问题.4.通过具体例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立.知识点1：勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.知识点2：勾股数像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数考点一：直角三角形的判断例1．（2023八下·怀集期中）下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（）A．2、3、7 B．5、4、8 C．3、5、4D．2、3、5【变式1-1】（2023八下·定州期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．9，12，15 B．6，8，10C．5，2，3 D．1.5，2.5，3.5【变式1-2】（2023八下·会昌期中）在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的为（）A．1，2，3 B．4，7，5 C．5，13，12 D．2，3，5【变式1-3】（2023八上·开江期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17例2.（2023八上·达川期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为A．a=32，b=C．∠A=2∠B=3∠C D．∠A∶∠B∶∠C=2∶5∶2【变式2-1】（2023八上·内江期末）已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（）A．a2=b2−c2C．∠A=∠B+∠C D．∠A例3．（2023八下·咸宁期中）如图，每个小正方形的边长为1（1）求四边形ABCD的周长；（2）∠BCD是直角吗？说明理由.【变式3-1】（2023八上·鄞州期末）如图：△ABC的三个顶点坐标分别是A(−2，0)，B(1，4)，C(5，1).（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；（2）判断△ABC的形状，并说明理由.【变式3-2】（2022八上·历城期中）如图，正方形网格的每个小正方形边长都是1，△ABC的顶点在格点上．（1）判断△ABC的形状，并说明理由．（2）△ABC面积是，AC边上的高是．考点二：勾股数的应用例4.（2021八上·灵石期中）设三角形的三边分别是下列各组数，则不是直角三角形勾股数的一组是（）A．3，4，5 B．2，3，4 C．5，12，13 D．6，8，10【变式4-1】（2021八上·城阳月考）下列各组数中不是勾股数的是（）A．9，15，12 B．11，60，61C．6，8，10 D．0.3，0.4，0.5【变式4-2】（2021八上·惠来期中）下列各组数中，不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，13，18【变式4-3】（2020八上·昌平期末）下列是勾股数的有()3、4、5；②5、12、13；③9、40、41；④13、14、15；⑤7、⑥11、60、61A．6组 B．5组 C．4组 D．3组考点三：勾股定理的逆定理应用例5.（2022八上·北仑期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪.（1）△ABC是直角三角形吗？为什么？（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？【变式5-1】（2022八上·大丰期中）如图所示四边形ABCD，已知AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求：（1）AC的长；（2）该四边形ABCD的面积.【变式5-2】（2021八上·嵩县期末）2021年10月10日是辛亥革命110周年纪念日．为进一步弘扬辛亥革命中体现的中华民族的伟大革命精神，社区开展了系列纪念活动．如图，有一块四边形空地，社区计划将其布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片．现测得AB=AD=26m，BC=16m，CD=12m（1）试说明∠BCD=90°；（2）求四边形展区（阴影部分）的面积．1．（南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．5，11，12 B．2，3，4 C．4，6，7 D．3，4，52．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，43．（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．4．（北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格线交点）．5．（贵阳）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为三角形．（2）猜想，当a2+b2c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2c2时，△ABC为钝角三角形．（3）判断当a＝2，b＝4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．6．（河北）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2，求整式B．联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：直角三角形三边n2﹣12nB勾股数组Ⅰ/8勾股数组Ⅱ35/1．（2023八下·咸宁期中）以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（）A．6，12，13 B．6，8，9 C．3，4，5 D．5，12，152．（2023八下·洪山期中）下列条件中，能够判断△ABC为直角三角形的是（）A．AB=6，BC=8，AC=10 B．ABC．∠A=∠B=∠C D．∠A3.下面各组数中，是勾股数的是（）A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5 C．1，3，2 D．7，24，254．我们把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三个称为勾股数．现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股数．你能发现其中规律吗？请完成下列空格．3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，，；…5．（2020八上·柯桥期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如(3，4，5)，(5,12，13)，(7,24,25)，(8，15，17)等等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加l得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”.若“由9生成的勾股数”的“弦数“记为A，“由20生成的勾股数”的“弦数“记为B，则A+B=.6．（2023八上·榆林期末）如图，在△ABC中，D是BC上一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.（1）求证：∠ADB=90°；（2）求△ADC的面积.7．（2023八下·洪山期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=3，BC=78．（2021八上·六盘水月考）如图所示，六盘水市某中学有一块不规则四边形的空地ABCD，学校计划在空地上铺悬浮地板，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m.（1）求空地ABCD的面积.（2）若每铺1平方米悬浮地板需要120元，问总共需投入多少元？9．（2022八上·太原期中）为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，